三曲面论基本定理PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.,曲面论的基本定理,1,通过上面几节的讨论,我们知道,给定曲面,我们就可以得到它的两个基本形式：,曲面,的各种曲率完全由它的两个基本形,式决,定。因为曲率是用来描述曲面的形状的，所,以如果我们知道了曲面的第一第二基本形式后,也,就基本上知道了曲面的形状。现在提出这样的问,形式完全确定？说得详细一点,如果给出了,u,v,的,题：曲面在空间的形状是否由第一第二基本形式,两个二次微分形式,我们能否确定一个,曲面,使它的第一第二基本形式恰为上述,所给出的两个微分形式？,2,一般说来，这个反问题不可能有解。因为确定一个曲,面需要三个函数,x(u,v),y(u,v),z(u,v),而曲面的第一第二基,本形式是由这三个函数确定的，也即第一第二基本形式中,的六个函数,E(u,v),F(u,v),N(u,v),有联系。反过来说,如果这六个函数之间没有联系，就不可能确定一个曲面。,y(u,v),z(u,v)。,所以这六个函数只有三个是独立的。也就,是说这六个函数之间有三个关系式。这一节的目的就是要,寻找这三个关系式,称为高斯,科,达齐,迈因纳尔迪公式，,并将证明定理：给出两个二次微分形式，如果它们满足,它的第一第二基本形式正好就是给定的两个二次微分形式,.,由六个函数确定一个曲面，就是确定三个函数,x(u,v),高斯,科,达齐,迈因纳尔迪条件,则存在一个曲面,3,为了把一些式子表达的更有规律些，本节将,采用以下一些新的记号，以后将同时采用这一套,符号和以前采用的记号。记,4,5.1 曲面的基本定理和克里斯托菲耳（,Christoffer),符号,在曲线论中，曲线的三个基本向量的导向量可以用三,个基本向量来表出,即有伏雷内(,Frenet),公式。,在空间给出一个,类曲面,S：,它确定了向量,那么这三个向量的导向量能否由这三个向量表出呢？,表出的系数是什么呢？,结论 对于,我们有,这式称为曲面的基本方,程。第一式称为高斯方程，第二是称为魏因加尔吞方程。,5,其中,称为第二类克里斯托菲耳,符号，也记,叫做第一类克里斯托菲耳符号。而,证明 我们设,（*）,下面我们确定这些式子的系数,因此得,（1）,简称克氏记号,.,而,ij,l=,作,将(*)的第一式点乘,6,因为,对此式求导数得,所以,即：,两边左乘,得,即,（*）,下面确定（*）中第二式的,用,点乘（*）中第二式的两边得：,7,I,j=1,2,因此（像求 一样）得,(2),将(1)(2)带入(*)即得所证关系式,并且,注：采用过去的记号：,8,于是得六个系数 如下：,对于正交网来说，,F=0,这时,而,9,在正交网下，,F=0,可有下面的统一表达式,10,5.2,曲面的黎曼,(Riemann),曲率张量和,高斯,-,科达齐,-,迈因纳尔迪,(Gauss-Codazzi-Mainardi),公式,11,2025/7/7 周一,12,第一类黎曼曲率张量定义为：,一,.,黎曼(,Riemann),曲率张量,容易验证黎曼曲率张量满足下列恒等式：,注,I,j,k,取值为,1,，,2,。,后一等式中，下角码总有两个相等。所以由第一式可推出第二式，再推出第三式。,第一类黎曼曲率张量定义为：,m,I,j,k=1,2(),13,二,.Gauss-Codazzi-Mainardi,公式,命题（1）高斯公式：,（2）科达齐-迈因纳尔迪公式,证明 对基本方程中的高斯方程求导数得：,再把基本方程带入上式得,14,类似的：,所以,是线性无关的向量，比较 的系数得：,因为曲面是 类的，所以,15,比较 的系数得：,命题得证。,推论 第一黎曼曲率张量满足以下恒等式：,说明(1)由推论知，这16个分量中只有一个,是独立的。事实上,由,独立的还有,再由 知，独立的只有 。,(2)科达齐-迈因纳尔迪公式中,j=k,是恒等式,而,j,k,对调方程不变.故可令,j=1,k=2,于是再依次令,I=1,2,即可知该公式中只包含两个独立式,即,I=1,j=1,k=2,和,I=2,j=1,k=2,时的两个。,16,因此，命题中一共包含三个独立关系式，也就是说，,曲面的第一、第二基本形式中的系数 应满足三个关式,(,即,命题中的三个关系式）。,(4)科达齐-迈因纳尔迪公式用基本量表示是：,（3）由两种黎曼曲率张量的定义，两曲率张量都仅与第一基本形式的系数 及其关于变量的导数有关（因为,仅与第一基本量有关）,所以它们都是曲面的内在量。,17,正交坐标网（,F=0),下:,即,18,三.高斯定理,高斯定理 曲面的高斯曲率是内蕴量.(即曲的高斯曲率,K,被曲面的第一基本形式完全确定).,证明 由高斯公式（中的独立关系式）:,故,因 都是内蕴量，故,K,是内蕴量。,推论1 两个曲面可以建立等距对应，则对应点的高斯曲率相等。换言之，高斯曲率经等距变换不变。,证明等距对应下，第一基本量不变，仅,与第一基本量有关，故不变。故 不变,.,19,推论2 曲面可与平面建立等距对应充分必要条件是该曲面为可展曲面。,证明 充分性：即可展曲面中的命题5。,必要性：曲面与平面建立等距对应，则由高斯定理曲,面与平面的高斯曲率相等，都为零。而高斯曲率为零的曲,面为可展曲面。推论得证。,四.高斯曲率的另一计算公式（用第一基本量表示的）,特别对曲面的正交网：,F=0,所以,这再一次证明高斯曲率是内蕴量。,20,5.3 曲面论的基本定理,基本定理：,设,是给定的,两个二次形式，其中 是正定的。若 和 的系数,和 对称且满足高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式，则除了,别为此曲面的第一和第二基本形式。,空间的具体位置外，唯一的存在一个曲面，,以 和 分,21,曲面论的基本定理及其证明解决了以下三个问题：,（1）曲面的形状由第一、第二基本形式唯一确定；,（2）给出某一区域上的六个连续的二元函数,满足高斯,高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式时，以 为第一类基本量，,以 为第二类基本量；,（3）当 正定，且 ，满足高斯-科达齐-迈因,纳尔迪公式时，以 为第一类基本量，以 为第,二类,基本量的曲面方程为以下偏微分方程租得解：,I,j=1,2,22,2025/7/7 周一,23,