太原理工大学理论力学知识点集合.doc

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平面力系
1. 平面汇交力系可简化为以合力，其大小和方向等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
2. 平面汇交力系平衡的充要条件为合力等于零，与任意力系不同，任意力系由于不能汇交，会产生力偶，必须得满足主矢主矩都等于零才平衡。
3. 平面汇交力系可以通过解析法，即将各力分解到直角坐标系上，再求合力。
4. 力对点取矩：是一个代数量，绝对值等于力的大小与力臂的乘积：
5. 合力矩定理：平面力系的合力对于平面内任一点的矩等于所有分力对该点的矩的代数和。
6. 力偶、力偶矩：力偶由两个大小相等，方向相反，作用线不在同一直线上的平行力组成。力偶矩等于平行力的大小乘上平行力的间距，逆时针为正，顺时针为负。
7. 力偶的等效定理：在同一平面内，只要力偶矩的大小和转向不变，力偶的作用效果就不变。
8. 平面力系的简化：平面任意力系向一点的简化结果为一合力和一合力偶，合力称为主矢，合力偶为主矩。主矢作用线过简化中心。
9. 平面任意力系平衡的充要条件：，其平衡方程为，，，是三个独立的方程，可以求解三个未知数。
10. 静定问题：当系统中的未知量数目等于独立平衡方程的数目，则所有未知数都能解出，这种问题称为静定问题。反之为非静定问题。
空间力系
11. 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点。可得合力的大小和方向余弦：，，其余类似。
12. 空间汇交力系平衡的充要条件为该力系的合力为零，或所有分力在三个坐标轴上投影的代数和为零，，可求三个未知数。
13. 力对点的矩矢等于该力作用点的矢径与该力的矢量积：；若，由行列式可得，，在坐标轴上的投影为，，。
14. 力对轴的矩是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩，而正负号只表示其转向。
15. 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系：。
16. 空间力偶矩矢是自由矢量，而空间力偶对刚体的作用效果完全由力偶来确定，于是存在空间力偶等效定理：作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。
17. 等效定理表明：空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面而不改变力偶对刚体的作用，只要力偶矩矢的大小方向不改变，其作用效果不改变。力偶矩矢，其中d为的间距。
18. 空间力偶系平衡的充要条件为：该力偶系的合力偶矩等于零或在各坐标轴上的投影代数和分别为零。
19. 空间力系向任一点的简化同平面力系一样得到主矢和主矩，而主矢与简化中心的选取无关，主矩与简化中心的选取一般有关。
20. 当简化结果为一合力偶时，主矩与简化中心的位置无关，当简化结果为一合力时，由于合力与力系等效，因此合力对空间任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的矢量和。当简化结果为主矢与主矩而时，便形成了力螺旋，如钻头。
21. 空间任意力系平衡的充要条件：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。其平衡方程为：，，，。可以求6个未知数。
22. 空间平行力系的平衡方程只有3个方程，如，。
23. 为了解题方便，每个方程最好只含有一个未知数，为此，选择投影轴应尽量与其余为治理垂直，选择矩的轴时应尽量与其余未知的力平行或相交。投影轴不必相互垂直，取矩的轴不必与投影轴重合。
24. 平行力系合力作用点的位置仅由各平行力的大小及作用点的位置确定，与方向无关，该点即为平行力系的中心。
25. 平行力系中心坐标公式：，y,z与此类似。
26. 重心坐标公式：，y，z与此类似。如果物体是均质的，则，（V为均质物体的体积）y,z与此类似。均质物体的重心是其几何重心。
27. 常用求重心的方法有积分法和分割法和负面积法。
摩擦
28. 最大静摩擦力的大小与两物体见的正压力成正比：,其中称为静摩擦因素，相应的，其中称为动摩擦因素，一般。
29. 全约束力是指所有约束力的合力，全约束力与法线之间的夹角达到最大时，即全约束力最大（经摩擦力最大）时，此时称为摩擦角，其正切值等于静摩擦因素。
30. 如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线在之间，那么无论该力多大，物体都静止，相反，若在之外，那么无论该力多小，物体都会运动。
点的运动学
31. 矢量法：选取某点O为坐标原点，自点O到M的矢量表示M相对于O的位置矢量，当该矢量随时间变化时，称为以矢量表示点的运动方程。点的速度矢量，点的加速度矢量。
32. 直角坐标法：点的运动方程为，可以求出任一瞬时点的位置。消除t即可获得点的轨迹方程。注意：计算点的速度加速度时，一定要算出各自的方向余弦。
33. 自然法：称为点沿轨迹的运动方程，或以弧坐标表示的点的运动方程。沿轨迹切线方向的单位矢量为，其指向与弧坐标正向一致。
34. 自然法中点的速度：。理解此式时，牢记是单位矢量，和单位向量的作用相同。
35. 自然法中的切向法向加速度：，。
刚体的简单运动
36. 平移的特点：刚体上各点的速度大小及方向均相同，加速度大小方向也相同。所以刚体的平移可以归结为刚体上任一点的运动。
37. 刚体绕定轴转动的运动方程：。角速度，瞬时角加速度：。
38. 定轴转动刚体中：任一点的速度，任一点的切向加速度，任一点的法向加速度，其中R为该点到转轴的距离。
39. 齿轮转动和带轮转动：齿轮转动：，z为齿轮齿数；带轮转动：。
点的合成运动
40. 点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。即。
41. 牵连运动是平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于它的牵连加速度和相对加速度的矢量和。即。
42. 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理：当动系做定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。其中科氏加速度。注意，此处的为角速度矢量，与角速度的方向不同，确定其方向要对角速度用右手螺旋定则。
刚体的平面运动
43. 求速度的基点法：平面运动可分解成基点的平移以及绕基点的转动，则速度就为基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。,一共有6个要素，解题时一般要知道其中4个要素才行，而的方向总是已知的，故只需要知道任何其他三个要素即可。
44. 速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
45. 求速度的瞬心法：平面内速度等于零的点称为瞬时速度中心，平面内任一点的速度等于该点随图形绕瞬心转动的速度。
46. 确定瞬心的方法：对于纯滚动的情况，图形与固定面的接触点就是图形的速度瞬心；如果已知图形上两点的速度的方向，则过两作用点作速度方向的法线，法线交点即为速度瞬心。当两点的大小方向均相同时，此时图形作瞬时平移。
47. 用基点法求平面内各点的加速度：平面内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。如图，，其中为点B绕基点A转动的切向加速度，；为点B绕基点A转动的法向加速度，，其中分别为平面图形的角加速度、角速度。
48. 当平面图形做瞬时平动时，任意两点的加速度在两点连线上投影相等。
质点动力学的基本方程
49. 第二定律：质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同：。
50. 第三定律：两物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。
51. 矢量形式的微分方程：
52. 微分方程在直角坐标系上的投影：，，。
53. 微分方程在自然轴上的投影：，，其中分别为沿轨迹切线方向和主法线方向的单位矢量，为沿副法线法向的分量。其中，，，。
54. 质点动力学的两类基本问题：一：一直质点的运动求作用于质点的力；二：已知作用于质点的力求质点的运动。解决第一类问题只需将运动方程两次求导得到质点的加速度，待人质点的运动微分方程，即可求解。解决第二类问题，其实就是解微分方程或求积分的问题，需按照作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分函数。
动量定理
55. 质点的动量定理：微分形式：；积分形式：。
56. 质点系动量定理：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢），即，可改写成，。以上格式均可在直角坐标系上投影
57. 在实际计算中，记得先表示出动量，常常要用到动量的分量，再利用质点系动量定理的投影式，计算在各投影轴上合外力。
58. 质点系动量守恒定律：如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的动量保持不变。如果外力主矢在某一轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该轴上的投影恒不变。
59. 质心坐标：。
60. 质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和，即。此式可在直角坐标系上投影。在自然轴上的投影为。
61. 质心运动守恒定律：如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心的运动状态恒不变；做合外力在某轴上的投影为零，则质心在该轴上的速度投影恒为零。若开始速度为零，则质心沿该轴的坐标不变。
动量矩定理
62. 质点的动量矩：质点Q的动量对点O的矩，定义为质点对点O的动量矩，即。
63. 质点动量在Oxy平面内的投影对点O的矩等于质点动量对于Z轴的矩，质点对点O的动量矩矢在Z轴上的投影等于对Z轴的动量矩，即。
64. 质点系的动量矩等于各质点动量对该点矩的矢量和。质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的Z轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。
65. 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对其转轴的转动惯量与转动角速度的乘积，即。（注意：只能对固定点或固定轴求动量矩）
66. 质点动量矩定理：质点对某点的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对同一点的矩。即
67. 将质点动量矩定理在直角坐标系上投影，可用于求在各轴上的分力，常用于求约束力分力。
68. 质点系动量矩定理：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，即。此式还可投影到直角坐标系上。
69. 实际计算时，先用速度和角速度表示出动量矩，然后再用外力对转轴取矩，将两式相等，然后适量变形，求出要求量。详见例11-1
70. 动量矩守恒定律：当外力对某定点(或某定轴)的主矩恒等于零时，质点系对该点的动量矩保持不变。
71. 运用动量矩守恒定律解题时，先受力分析，当分析出所有外力对固定轴或固定点的矩为零时，就可直接用动量矩守恒定律。
72. 刚体绕定轴转动的微分方程：或。
73. 转动惯量：均质细直杆对于杆端Z轴的转动惯量为，均质细直杆对于中点Z轴的转动惯量为，均质薄圆环对于中心轴的转动惯量为，均质圆板对于中心轴的转动惯量为，薄壁空心球对球心的轴的转动惯量为，实心球对球心的轴的转动惯量为。
74. 回转半径：。
75. 平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即。
76. ，表明以质点的相对速度或绝对速度计算质点系对于质心的动量矩，其结果是相等的。为质点相对于质心的矢径。
77. ，表明质点系对任一点O的动量矩等于质点系随质心平移时对点O 的动量矩加上质点系相对于质心的动量矩。
78. 相对于质心的动量矩定理：，即对质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对质心的矩的矢量和（即主矢）。
79. 刚体平面运动的微分方程为，。既有随刚体的平动又有饶刚体的转动。后者就为刚体定轴转动的微分方程。平面运动的微分方程可分解为以下式子：直角坐标系上，，，自然坐标上，，。以上两种投影均可求解三个未知数。（注意：C为质心）
动能定理
80. 弹性力的功：弹性力做功只与弹簧在初末位置的变形量有关：。
81. 定轴转动刚体上作用力的功：，表明该作用力做功等于该作用力对转轴的矩在转动角度上的积分。
82. 任意运动刚体上力系做功：，其中C为质心，即力系做功可分解为主矢做功与主矩做功的代数和。若C不是质心，此式也成立。
83. 定轴转动刚体的动能：。
84. 平面运动刚体的动能：，表明平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能的和。
85. 质点的动能定理：在质点的某个运动过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力做的功，即。
86. 质点系动能定理：起点终点的动能的改变量等于作用于质点系的全部力在这段过程中所做功的和。
87. 注意下表

动量(只与质心有关)
动量矩
动能
平动

定轴转动

平面运动

88. 功率：公式一:,其中为沿轨迹切线方向的作用力；公式二：，该式是绕定轴转动刚体的功率公式。
89. 重力场中的势能：取为零势能点，则处的势能为：
90. 弹性力场中的势能：，以变形量为处为零势能点，该式为形变量为处的势能。当为弹簧的自然位置时，。
达朗贝尔原理
91. 惯性力：它的大小等于质量与加速度的乘积，但是方向与加速度的方向相反。
92. 达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。即.
93. 不管刚体做平移、定轴转动或平面运动，其惯性力系大小和方向均为。
94. 谨记下表：
运动类型
平移
定轴转动
平面运动
主矢

主矩

简化中心
质心C
转轴O
质心C
虚位移原理
95. 几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件为几何约束。
96. 运动约束：限制质点系运动情况的运动学条件。
97. 非定常约束：约束条件随时间变化的约束。
98. 实位移除了与约束条件有关，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关；而虚位移仅与约束条件有关。
99. 如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所做虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。
100. 虚位移原理(虚功原理)：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件为：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所做虚功的和等于零。
101. 记住：运用虚位移原理求约束力时应该先将约束去掉。
102. 在外力较多时，各力的约束力大小往往不同，这是要根据虚位移之间的关系，计算各力的虚功。
分析力学基础
103. 在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目等于系统的自由度数。而描述质点系在空间中位置的独立参数称为广义坐标。广义坐标的数目不一定等于系统的自由度数，只有在完整系统中才相等。
104. 广义虚功方程：。其中为与广义坐标相对应的广义力。当为线位移时，有力的量纲；当为角位移时，有力矩的量纲。
105. 求广义力的两种方法：一，由下式求解，；二，利用广义虚位移的任意性，。注意，广义坐标的选择应与实坐标关系易判定。
106. 广义惯性力 ，此式不方便使用，往往可以经过以下变形：(1) 。(2)。
107. 拉格朗日方程：，，其中T为质点系的动能，，为广义坐标。
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