初三几何8旋转4.综合应用(2013-2014)教师.doc

2014年中考解决方案

旋转4—综合应用

学生姓名：

上课时间：

旋转4

中考说明

内容
基本要求
略高要求
较高要求
旋转
了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形
能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角
能运用旋转的知识解决简单问题

中考满分必做题

在做与旋转相关的题目时，利用题目中的中点构造中位线

【例1】 直角三角形中；为的中点，绕着点逆时针旋转
到，求重叠部分的面积．

【答案】9
【解析】过点做垂足为、．
∵绕着点逆时针旋转到， ∴．
又∵
∴． ．
∴．

【例2】 在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点．四边形和都是
正方形．的中点是．
（1）如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，求证：，；
（2）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：是等腰直角三角形；
（3）将图2中的缩短到图3的情况，还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

【答案】（1）证明：∵四边形和都是正方形，
又∵点与点重合，点与点重合，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．∴．
（2）证明：连接、，如图，设与交于点．
∵分别是的中点，
∴，
且，
且．
∴四边形是平行四边形．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴，且．
∴．
∴是等腰直角三角形．

（3）是．

【例3】 若△ABC和△ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点．
(1)当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时，求证：CD=BE，△AMN是等边三角形；
(2) 如图②，当∠EAB=30°，AB＝12，AD=时，求AM的长．
（11年朝阳二模）

图1 图2
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°.
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC，∠DAC=∠EAD-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC.∴△ABE≌△ACD.
∴CD=BE. ∠ABE=∠ACD．
∵M、N分别是BE、CD的中点，即BM=BE，CN=CD.
∴BM= CN.
又AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°．
∴△AMN是等边三角形
（2）解：作EF⊥AB于点F，
在Rt△AEF中，
∵∠EAB=30°，AE=AD=，
∴EF=. ∵M是BE中点，作MH⊥AB于点H，
∴MH∥EF，MH=EF=
取AB中点P，连接MP，则MP∥AE，MP=AE.
∴∠MPH=30°，MP=．
∴在Rt△MPH中，PH=.∴AH=AP+PH=.
在Rt△AMH中，.

中心

【例4】 如图，四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动．
（1）如图1，当四点共线时，四边形的面积为 __；
（2）如图2，当三点共线时，请直接写出= _________；
（3）在正方形绕中心旋转的过程中，直线与直线的位置关系是____________,请借助图3证明你的猜想．

图1 图2 图

【答案】（1）==6；
（2）=；
（3）．
证明：连接，延长
交于点.如图所示：
由正方形的性质可知：

，
即：
△≌△

即： ．

中点倍长类旋转

【例5】 如图，在△外面作正方形与，为△的高，其反向延长线交于，求证：(1)；(2)

【答案】证明△≌△；
（1）作，，
先证△≌△，△≌△，
再证△≌△．

【例6】 如图，在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中
点, 点E在直线CF上（点E、C不重合）.且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，试探究BN与NE的位置关系及的值, 并证明你的结论;

【答案】如图，延长BN交的延长线于点，连结、，过作⊥，
交于点．
∵ 四边形是矩形，
∴ ∥．
∴ ，
∵ 为的中点，
∴ ．
∴ △≌△．
∴ ,.
∵ ，
∴ .
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
由（1）得．
∴ ．
∴ , ．
∵，
∴ ∠ =∠．
∴ △≌△．
∴ ,．
∵ ，
∴ ⊥.
∵
∴.
【例7】 已知任意，分别以为边作，，
（1）如图a，若是以点为直角顶点的等腰三角形，取中点，连接、，求证：
（2）在第（1）问的条件下，过点做边的垂线，交于点，则
（3）在边上有一动点，连接，以为腰，为直角顶点，作等腰直角三角形，连接，若要使的，求的度数

【答案】（3）

【例8】 已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

【解析】（1）提示：直角三角形斜边上的中线；
（2）可用中点倍长即旋转；亦可用中位线法：要证与的关系，只需要将构造成线段的中点，辅助线如下图．

【巩固】如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点E在AB上， F是线段BD的中点，连结CE、FE.
（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

【解析】倍长即旋转略．第三问亦可用中位线法

【例9】 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点如图2所示．求证：BE-DE=2CF；

【解析】倍长即旋转略．第三问亦可用中位线法：构造辅助线，证．

【巩固】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，如图1．
（1）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；
（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；
（3）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图4，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．

图1 图2 图3 图4
【解析】（1），．
（2），
证明：如图3，延长交延长线于，连接
∵，,，∴四边形是矩形，∴BE=CH，
又∵,∴
∵，,∴
∵,，∴ 图2
∵，∴，∴
又，∴
∴，∴≌
∴，
∵，,，∴
∴
∴，即∴．

图3
（3），
方法一（旋转思想）：如图4，延长至，使，连接、、
∵，，，
∴△≌△
∴,，∴∥
∵正方形，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，
∴，∴≌
∴,，∴,
∴△为等腰直角三角形
又∵
∴，
方法二（中位线法）：如下图，解析略

利用旋转构造三角形
【例10】 在凸四边形中，，，，求证：．

【答案】解法1：将绕点逆时针旋转，得到.
因为，，
故是等边三角形，
即有，
而，
则.
连接，在中，由勾股定理可得，
而，
因此.
解法2：将绕点逆时针旋转，得到.
注意到，
故，
因此．
注意到，，因此.
点评：通过本题，我们可以体会到，正确的辅助线的产生不仅得益于条件，也得益于结论的启发.本题正是先利用旋转变换将与置于一个直角三角形中，再证明与这个直角三角形的斜边相等．

【例11】 已知，以为边在外作等腰，其中．
⑴如图①，若，，四边形是平行四边形，则
⑵如图②，若，是等边三角形，，，求的长；
⑶如图③，若为锐角，作于，当时，是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．

【答案】⑴略；⑵如图，以为边作等边三角形，连接、，其他略

⑶如图，辅助线虽然相对容易能够知道位置，但是本题比较特殊，或难点在于如何利用给出的已知条件，如何描述辅助线，将直接影响到能否解决本问

下面给出参考方法，注意体会为什么这样做辅助线，而不是像以前的题型一样，为什么按照其他的辅助线的作法不能解决第⑶问：(谁有更好的方法欢迎在论坛发帖探讨)
如图，在上取点，使得，连接并延长到点，使得，连接
易证为直角三角形，且，∴也为直角三角形，由勾股定理可得，∴，∵，∴
此时，易证(SSS)，则易证

四边形中的旋转

【例12】 问题：如图1，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，是线段的中点，连结,．若探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

D
C
G
P
A
B
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
(08年北京市中考题)
【解析】（1）线段与的位置关系是；．
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长交于点，连结．
是线段的中点，
．
D
C
G
P
A
B
E
F
H
由题意可知．
．
，
．
，．
四边形是菱形，
，．
由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，
可得．
．
四边形是菱形，

．
．
．
，．
．
即．
，，
，．
．
（3）．

【例13】 如图1，在平行四边形中，于点，恰为的中点，．
⑴求证：；
⑵如图2，点在线段上，作于点，连结．
求证：；
⑶请你在图3中画图探究：当为线段上任意一点（不与点重合）时，作垂直直线，垂足为点，连结，线段、与之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
（10年西城一模）

【答案】⑴略；⑵在上取一点，使得，连接，证明即可其他略

⑶结论：
辅助线：延长到点使得，连接,证明即可

【例14】 在平行四边形中，，过点作，且，连接、，
、分别为、的中点，连接．
（1）如图1，若点在上，与交于点，试探究线段NP与线段NM的数量关系及与满足的等量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图2，若点在线段EF上，当点在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点的位置，并证明（1）中的结论.
图1
A
B
C
D
P
E
F
N
M
图2
A
B
C
D
P
E
F
N

【答案】（1） NP=MN, ∠ABD +∠MNP =180°
（2）点是线段EF的中点
M
1
3
2
4
P
N
A
E
F
C
D
B
证明：如图, 分别连接、
∵ 四边形是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，
∴∠ABD=∠BDC.
∵ ∠A=∠DBC，
∴ ∠DBC=∠DCB.
∴ DB=DC. ①
∵∠EDF =∠ABD,
∴∠EDF =∠BDC.
∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .
即∠BDE =∠CDF. ②
又 DE=DF， ③
由①②③得.
∴,
∵ 、分别为、的中点，
∴∥, ．
同理可得 ∥，．
∴ ．
∵ ∥
∴．
∴．
∵∥，
∴
∴
=∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD.
∴ ∠ABD +∠MNP =180°.

【例15】 在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点．
（1）在图1中证明；
（2）若，是的中点（如图2），直接写出的度数；
（3）若，，，分别连结、（如图3），求的度数．
（2011年中考）

【解析】⑴证明：如图1.
∵平分
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
⑵.
⑶分别连结、、（如图2）.
∵
∴
∵且
∴四边形是平行四边形.
由⑴得
∴是菱形.
∴.
∴是等边三角形.
∴①
.
∴.
∴. ②
由及平分可得.
∴.
在中，.
∴. ③
由①②③得.
∴.
∴.
∴

【例16】 在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.
图3

图1
图2

【解析】（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH.
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等边三角形.
∴AG=HG.
∴EG =AG+BG.
(2)
（3）
如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180°.
∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH.
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形.
∴AG=HG.
∴

线段的旋转
【例17】 如图，中，,，以为边向右侧作等边三角形．
（1）如图1,将线段绕点逆时针旋转，得到线段，联结，
则与长度相等的线段为 （直接写出结论）；
（2）如图2，若是线段上任意一点（不与点重合），点绕点逆时针旋转得到点,求的度数；
图1 图2
（3）画图并探究：若是直线上任意一点（不与点重合），点绕点逆时针旋转得到点,是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点的位置，并求出的长；若不存在，请说明理由．

备用图
备用图

【答案】(1)
（2）由作图知，
∵是等边三角形．
∴,
∴
在和中

∴≌
∴
（3）如图3，同①可证≌,

当∥时，

∵
∴
∵
∴,
∴且…………………………… 5分
∴此时四边形是梯形．
如图4，同理可证△≌△,
当∥时，
,
∵
∴,
∴
此时与不平行，四边形是梯形．

【例18】 在中，过点作交于点,将线段EC绕点逆时针旋转得到线段(如图1)
（1）在图1中画图探究：
①当为射线上任意一点（不与重合）时，连结绕点逆时针旋转得到线段判断直线与直线的位置关系，并加以证明；
②当为线段的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点逆时针旋转得到线段.判断直线与直线的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若,, ,在①的条件下，设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
（09年中考）

【答案】（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．
证明：如图1，设直线与直线的交点为．
∵线段、分别绕点逆时针旋转依次得到线段、，
∴,,．
F
D
C
B
A
E
图1
G2
G1
P1
H
P2
∵,，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴．
②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．

（2）∵四边形是平行四边形，
∴．
∵,，
∴,．
D
G1
P1
H
C
B
A
E
F
图2
可得．
由（1）可得四边形为正方形．
∴．
①如图2，当点在线段的延长线上时，
∵，，
∴．

∴．
F
G1
P1
C
A
B
E
D
H
图3
②如图3，当点在线段上（不与、两点重合）时，
∵，，，
∴．
∴．
③当点与点重合时，即时，不存在．

综上所述,与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．

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