初三几何5旋转1.基本模型(2014-2015)教师.doc

2014年中考解决方案

旋转1—基本模型

学生姓名：

上课时间：

旋转1

中考说明

内容
基本要求
略高要求
较高要求
旋转
了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形
能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角
能运用旋转的知识解决简单问题

知识点

一、旋转有关概念
旋转基本概念见《解决方案高分必备》，请配合该课本使用
二、旋转秘籍（旋转前提，有等线段）
☞秘籍：四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）
解读：等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来
☞等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）

☞等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）

☞等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）

☞不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）

旋转秘籍：图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．
图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转角后与另一边重合．
图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转角后与另一边重合．
中考满分必做题

等边三角形
【例1】 如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与
相等的理由．

【答案】∵，，
∴
∴
又∵
∴

【巩固】已知：如图，点为线段上一点，是等边三角形．
求证：①；②是等边三角形；③平分

【答案】第三问提示，往角两边作垂线，利用全等三角形高相等．

【例2】 平面上三个正三角形，，两两共只有一个顶点，求证：与平分．

【答案】连接与
∵，∴，
∴在与中
∴∴
在与中

∴∴∴四边形为平行四边形，∴，互相平分．

【例3】 已知，在中，为锐角，是射线上一动点(与不重合)，以为一边向右侧
作等边(与不重合)，连接．
（1）若为等边三角形，当点在线段上时(如图1所示)，则直线与直线所夹锐角为__________度；
（2）若为等边三角形，当点在线段的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若不是等边三角形，且(如图3所示)．试探究当点在线段上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当满足什么条件时，能使（1）中的结论成立，并说明理由．

【答案】（1）；
（2）成立．
∵是等边三角形，∴，
∵是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
即直线与直线所夹锐角为．
（3）原结论不成立．当时，才能使⑴中的结论成立．
当时，在上取一点，使得，
则是等边三角形，∴，
∵是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，
∴．
∴当时，能使⑴中的结论成立．

等腰直角三角形

【例4】 如图，中，，，是中点，，与交于，与
交于．求证：，．

【答案】连结．
∵，
∴
∵是中点
∴且
∵
∴
∵
∴
在与中，，，
∴
∴．∴．

总结：若则

【巩固】 在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动， 交于点，试说明的形状和面积将如何变化．

【答案】连接．因为且，所以．
因为是的中点，所以，
且，则．
因为，所以，
所以，所以．
因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．
的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；
当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大．

【巩固】等腰直角三角形，，，为中点，，试猜想，、、三者的关系．

【答案】如图，过点作，交于，
连结，易知，
，又∵，
，，
∴，∴
∴
又∵，
∴、、又存在另一关系式

注意：关于三条线段的两个结论．

【例5】 如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶
点放在的中点上(直角三角板的短直角边为，长直角边为)，将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．
⑴ 在图1中，交于，交于．
①证明；
②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
⑵ 继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
⑶ 继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．

【答案】(1) 在中，∵，．
∴，．
方法一：
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
方法二：
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
②四边形的面积不发生变化；
由①知：，
∴．∴．
(2) 仍然成立，
证明：连结．
在中，∵，，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
(3) ．

【巩固】在Rt△ABC中，，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时，
① 如图1， 三角板的两直角边分别交，于、两点，连接，猜想线段、与之间存在的等量关系（无需证明）；
② 如图2， 三角板的两直角边分别交，延长线于、两点，连接，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交，于、两点，若，
求的值．

图1 图2 图3

【答案】（1）① 猜想：.
② 成立.
证明：连结.
∵,,点为的中点,
∴,,.
∵，∴. 又，
∴.∴.
又∵, .
在Rt中，, ..
A
O

B
C
E
F
M
N
（2）解：如图，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N.
,.
°,

∵,∽.
∴
和为等腰直角三角形，
∴∽∴.
∵， ∴.
正方形
【例6】 如图，正方形的顶点在正方形的中心，且两个正方形的边长都为4，则阴影部分面积
为 ( )
2 4 6 8

【答案】
【解析】图中的阴影部分是一个不规则的四边形，直接求它面积比较困难．如果把正方形看作可以
绕着点转动，那就转动到右上图位置，阴影部分就变成一个正方形且面积不变．易得它的面积是原来正方形面积的，所以答案选．

【巩固】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．

【答案】正方形中，，
而，
∴，∴
∴，∴

注意：正方形的边被覆盖部分的总长度为定值：正方形的边长．

【例7】 如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已
知、的长分别为、，求三角形的面积．

【答案】显然，
所以，
所以，
所以，
则逆时针旋转，则与重合，
落在上．是等腰直角三角形．
则，
容易得到cm2．
所以cm2．

【例8】 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE．
（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O． BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．
①求证：OG＝OH；
②连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的长．
A
B
C
D
O
P
E
F
图2
G
H
A
B
C
D
E
F
P

图1

(2013,7北京市西城八年级第二学期期末)
【答案】（1）解： ．
理由如下：∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；

（2）①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ （已证），
∴ ，
即 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ；

②解：如图2，过点 作 于 ，作 于 ，
∵ （已证），
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴正方形 的边长 AB=OA=×=2．

【例9】 如图所示，在四边形中，，，于，若四边形
的面积是16，求的长．

【答案】如图，过点作，
延长交于点，
容易证得
(实际上就是把逆时针旋转，得到正方形)
正方形的面积等于四边形面积为，∴．

【例10】 如图，正方形中，．求证：．

【答案】延长至，使得，连接．
易证得：，从而可得：
，
，故．

【巩固】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．
（1）求证：．
（2）设()，与的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时的值及．若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明： 如图，延长至点，使得，连结．
因为是正方形，
∴在和中，，
，．∴，
∴，．又 ∵ 是的平分线．
∴，∴．
即．∵，∴，
∴，∴．即．
∴，得证．
（2）．∵，∴由⑴知，，所以．在中，，，∴，∴．由上式可知，当达到最大值时，最大．而，所以，当时，最大值为．
【例11】 如图①，一等腰直角三角尺的两条直角边与正方形的两条边分别重合在一起．现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点(点也是中点)按顺时针方向旋转．
（1）如图②，当与相交于点，与相交于点时，通过观察或测量，的长度，猜想，满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺旋转到如图③所示的位置时，线段的延长线与的延长线相交于点，线段的延长线与的延长线相交于点，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【答案】⑴．
证明如下：因为是等腰直角三角形，四边形是正方形，
所以，．
又，所以．即．
⑵仍然成立．
理由是：因为是等腰直角三角形，四边形是正方形，
所以，．
所以．又，所以．所以．

真题拔高

如图，和均为等边三角形，，．若，则_______．

【答案】．
【解析】易知≌≌，从而，，
由知是一条高的一部分，
不难算出答案为．

【例12】 已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、．
当绕点旋转到于时（如图1），易证．当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

【答案】图2成立；图3不成立．
证明图2：
过点作，
则
再证，
有
∴
∴
由信息可知S△ABC
∴
图3不成立，、、的关系是：

【例13】 如图①，在中，、分别是、上的点，且，将绕点顺时针旋转一定角度，连结、，得到图②，然后将、分别延长至、，使，，连结、、，得到图③，请解答下列问题：
（1）若，请探究下列数量关系：
①在图②中，与的数量关系是________________；
②在图③中，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若（），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：与的数量关系、与的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
（09年朝阳二模）

图① 图②

图③ 图④
【答案】⑴①
②，
证明：在和中
∵∴，由题意知：，，
∴
∴，，又，，∴
∴,∴,∴,∴
⑵，
证明如下
∵，∴,∵，∴

∴，，∴
又，,∴，，∴，∴
∴，,∴，．
【例14】 已知，中，，，，为延长线上一点，，点在的平分线上，且满足是等边三角形．
（1）求证：；
（2）求点到的距离．

【答案】⑴ 解法一：连结
∵，∴，
∵，平分，
∴，
∵是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，．
解法二：作交于，证明，
证明过程略．
⑵ 解法一：作于，于．
∵，∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
即点到的距离等于．
解法二：作于，
∴，，，
∴．
以下同解法一．

【例15】 如图1，若和为等边三角形，分别的中点，易证：，是
等边三角形．
（1）当把绕点旋转到图2的位置时，是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当绕点旋转到图3的位置时，是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当时，与及的面积之比；若不是，请说明理由．

【答案】（1）．理由如下:
∵和为等边三角形
∴，，
∵，，
∴， ∴
∴
（2）是等边三角形．理由如下：
∵， ∴．
∵分别是的中点， ∴
∵，， ∴．
∴．
∴
∴是等边三角形．
设，则．
∵，∴．
∵为等边三角形，
∴，∴，
∴∴在中，，，
∴ ．∵为中点，∴，
∴．
∵，，为等边三角形，
∴
解法二：是等边三角形．理由如下：
∵，、分别是、的中点，
∴．
∵，∴，∴，
∴
∴是等边三角形
设，则，
易证，∴，
∴ ∴
∵，，为等边三角形
∴

【例16】 已知：在四边形中,,， 点、分别在、上， 且
∠，试探究AE与EF之间的数量关系.
（1）如图1，若， 则与之间的数量关系为____________；
（2）如图2，若， 你在（1）中得到的结论是否发生变化? 写出你的猜想，并
加以证明；
（3）如图3，若， 你在（1）中得到的结论是否发生变化? 写出你的猜想，并
加以证明.
（09年海淀二模）

图1 图2 图3

【答案】（1）与之间的数量关系为.
（2）猜想：（1）中得到的结论没有发生变化.
证法一：
如图，过点作交于点， 则
，.
，, .
. ，
. ，
.， ，
. . .

证法二：
如图，过点作交于点， 则
.，
，. ∠BAC=∠D，
， ．
. .
，
. ，
. ，
四边形是等腰梯形. .
≌..

（3）猜想： .
证法一：
如图，过点作， 交于点， 则∽.
，
同（2）可证，，.
∽. 即.

证法二：
如图，过点E作，交于点， 则∽.
. ， .
．
同（2）可证，，. ∽.
即 .

【例17】 如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，， ．将直线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．

图1 图2 图3
解答问题：
（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为 ；
②在平移过程中，的值为 （用含的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点落在线段上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；
（3）将图1中的三角板 绕点 逆时针旋转度，≤，原题中的其他条件保持不变.计算的值（用含k的代数式表示）．

(13年海淀区九上期末)

【答案】（1）①1；②；
（2）连接AE.
∵均为等腰直角三角形，，
∴
∴
∴
∴点为的中点.
∴
∴,
∵
∴.
∴
∴∽.
∴ ∴.
∴.
∴.

（3） 过作的垂线交直线于点，连接、.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵△为等腰直角三角形，
∴
∴.
∴△≌△. …
∴.
∵，
∴.
∴∥.
∴△∽△.
∴

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