1、关于线段最短问题在几何中的运用之课前预习指导探索 三界中学 杨良举在初中平面几何的动态问题中,求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题,称为几何最值问题.近年来,成都中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析.最值问题也学生在解决时比较困难,失分比较严重的题型,因此结合我们校实际,把几何最值问题作为我校的微课题研究,下面就最值问题的解决方法研究如下:案例分析一、应用几何性质1.三角形的三边关系例1 如图1,矩形的顶点、分别在边上.当分在边上运动时,随之在边
2、上运动,矩形的形状保持不变,其中,运动过程中,点到点的最大距离为( ) (A) (B) (c) (D)分析 如图1,取的中点,连结.,当三点共线时,点到点的距离最大,此时,,., 的最大值为. 故选A.2.两点间线段最短 例2 如图2,圆柱底面半径为2cm,高为cm,点分别是回柱两底面圆周上的点,且在同一母线上,用一棉线从顺着圆柱侧面绕3圈到,求棉线长度最短为 . 分析 如图3,将圆柱展开后可见,棉线最短是三条斜线的长度,第一条斜线与底面圆周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形. 由周长公式知底面圆一周长为cm,圆柱的三分之一高为cm,根据勾股定理,得一条斜线长为cm,根据平行四边形的性质,棉线
3、长度最短为cm.3.垂线段最短例3 如图4,点的坐标为,点在直线运动,当线段最短时,点的坐标为( )(A) (B) (C) (D) 分析 如图4,过点作,垂足为点,过作轴,垂足为.由垂线段最短可知,当与点重合时,最短. 点在直线上运动, 是等腰直角三角形 为等腰直角三角形点的坐标为,的坐标为当线段最短时,点的坐标为故选B.4.利用轴对称(放牛问题)例4 如图5,正方形,是的中点,点是对角线上一动点,则的最小值为 . 分析 连结,交于点,连结. 点与点关于对称,的长即为的小值,是的中点,在中二、代数证法1.利用配方法例5 如图6是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米,怎样才能得出最大面积,使得窗户透光最好?分析 设表示半圆半径,表示矩形边长,则有,于是, 若窗户的最大面积为,则 把代入,有.上式中,只有时,等号成立.这时,由有, 即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,窗户面积最大. 通过以上的研究,我们可以总结出在几何最值方面归纳为以下几点:两点之间线段最短,三角形三边的关系,垂线段最短,轴对称问题(放牛问题),二次函数框架法,但近几年来在几何最值方面几乎都是以放牛问题为解决问题的载体,因此在教学过程中我们应加强学生的引导,让学生去感知问题的转化,从而提高学生的解决问题的能力.4