初中数学几何最值问题.doc

关于线段最短问题在几何中的运用之课前预习指导探索
三界中学 杨良举
在初中平面几何的动态问题中，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.近年来，成都中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析.最值问题也学生在解决时比较困难，失分比较严重的题型，因此结合我们校实际，把《几何最值问题》作为我校的微课题研究，下面就最值问题的解决方法研究如下：
案例分析
一、应用几何性质
1.三角形的三边关系
例1 如图1，，矩形的顶点、分别在边上.当分在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点到点的最大距离为( )
(A) (B) (c) (D)

分析 如图1，取的中点，连结.
,
当三点共线时，点到点的距离最大，此时，,
.,
的最大值为. 故选A.
2.两点间线段最短
例2 如图2，圆柱底面半径为2cm,高为cm，点分别是回柱两底面圆周上的点，且在同一母线上，用一棉线从顺着圆柱侧面绕3圈到，求棉线长度最短为 .

分析 如图3，将圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线的长度，第一条斜线与底面圆周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形.

由周长公式知底面圆一周长为cm，圆柱的三分之一高为cm，根据勾股定理，得一条斜线长为cm，根据平行四边形的性质，棉线长度最短为cm.
3.垂线段最短
例3 如图4，点的坐标为，点在直线运动，当线段最短时，点的坐标为（ ）
(A) (B) (C) (D)

分析 如图4，过点作，垂足为点，过作轴，垂足为.由垂线段最短可知，当与点重合时，最短.
∵点在直线上运动，
∴是等腰直角三角形
∴为等腰直角三角形
∵点的坐标为，
，
的坐标为
∴当线段最短时，点的坐标为
故选B.
4.利用轴对称(放牛问题)
例4 如图5，正方形，，是的中点，点是对角线上一动点，则的最小值为 .
分析 连结，交于点，连结.
∵点与点关于对称，
∴的长即为的小值
，是的中点，

在中

二、代数证法
1.利用配方法
例5 如图6是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好?

分析 设表示半圆半径，表示矩形边长，则有,
于是， ①
若窗户的最大面积为，则
②
把①代入②，有

.
上式中，只有时，等号成立.
这时，由①有
，
即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大.

通过以上的研究，我们可以总结出在几何最值方面归纳为以下几点：两点之间线段最短，三角形三边的关系，垂线段最短，轴对称问题（放牛问题），二次函数框架法，但近几年来在几何最值方面几乎都是以放牛问题为解决问题的载体，因此在教学过程中我们应加强学生的引导，让学生去感知问题的转化，从而提高学生的解决问题的能力.
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