全国硕士研究报告生入学统一考试线性代数复习.doc

全国硕士研究报告生入学统一考试线性代数复习

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2020年4月19日
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考研数学中，线性代数占五个考题，2 个选择题 1 个填空题 2 个解答题：分值为34分，平均用时为40分钟左右，以下为考研数学中出现过的题型:

第一章行列式
题型1求矩阵的行列式<十<２）， ；一<５）， ；一<５）， ；一<5）， ）
题型2判断矩阵的行列式是否为零<二<４），1999）
第二章矩阵
题型1解矩阵方程或求矩阵中的参数<十， ；一<４）， ）
题型2求矩阵的ｎ次幂<十一<３）， ）
题型3初等矩阵与初等变换的关系的判定<二<１１）， ；二<12）， ）
题型4矩阵关系的判定<二<１２）， ）
题型5矩阵的秩(二(15>， >
第三章向量
题型1向量组线性相关性的判定或证明<十一，1998；二<４）， ；十一<２）， ；二<４）， ；二<１２）， ；二<１１）， ；二<11）， ；一(7>， ）
题型2根据向量的线性相关性判断空间位置关系或逆问题<二<4）， ）
第四章线性方程组
题型1齐次线性方程组基础解系的求解或判定<九， ）
题型2求线性方程组的通解<十二，1998；九， ；三<２０<Ⅲ））， ）
题型3讨论含参数的线性方程组的解的情况，如果方程组
有解时求出通解<三<20）， ；三<２１）， ；三(21>， ）
题型4根据含参数的方程组的解的情况，反求参数或其它<一<４）， ；三<20）， ）
题型5两个线性方程组的解的情况和它们的系数矩阵的关系的判定<一<５）， ）
题型6直线的方程和位置关系的判定<十， ）
第五章矩阵的特征值和特征向量
题型1求矩阵的特征值或特征向量<一<４），1999；十
一<２）， ；九， ；三<21<Ⅰ））， ；三(22>， ）
题型2已知含参数矩阵的特征向量或特征值或特征方程的情况，求参数<三<２１）， ）
题型3已知伴随矩阵的特征值或特征向量，求矩阵的特征
值或参数或逆问题<一<4），1998；十，1999）
题型4将矩阵对角化或判断矩阵是否可对角化<三<２１）， ；三<21<Ⅱ））， ）
题型5矩阵相似的判定或证明或求一个矩阵的相似矩阵<二<４）， ；十<１）， ）
题型6矩阵相似和特征多项式的关系的证明或判定<十， ）
第六章二次型
题型1化实二次型为标准二次型或求相应的正交变换<三<２０<Ⅱ））， ）
题型2已知一含参数的二次型化为标准形的正交变换，反求参数或正交矩阵<十，1998；一<４）， ）
题型3已知二次型的秩，求二次型中的参数和二次型所对应矩阵的表示式<三<２０<Ⅰ））， ）
题型4矩阵关系合同的判定或证明<二<４）， ；一(8>， ）
题型5矩阵正定的证明<十一，1999）

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<5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则< ）
不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.
可逆，可逆. 可逆，不可逆.
<6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为< ）
0. 1. 2. 3.

<13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为.
.
(20><本题满分11分）
，是三维列向量，为的转置，为的转置
<1）证；<2）若线性相关，则.
<21）<本题满分11分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
<1）求证
<2）为何值，方程组有唯一解，求
<3）为何值，方程组有无穷多解，求通解

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(7> 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A> . (B> .
(C> . (D> .【】
(8> 设矩阵, ,则A与B
(A>合同, 且相似. (B> 合同, 但不相似 .
(C>不合同, 但相似. (D> 既不合同, 又不相似.【】
(15> 设矩阵, 则的秩为___________.
(21> (本题满分11分>
设线性方程组
①
与方程
②
有公共解，求a的值及所有公共解．

(22> (本题满分11分>
设3阶对称矩阵Ａ的特征值是Ａ的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.
(I> 验证是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．
(II> 求矩阵Ｂ．

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<5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则
<11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是【 】
<A）若线性相关，则线性相关.
<B）若线性相关，则线性无关.
<C）若线性无关，则线性相关.
<D）若线性无关，则线性无关.
<12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则【 】
<A） <B）
<C） <D）
20 已知非齐次线性方程组

Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩
Ⅱ求的值及方程组的通解
21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ>求A的特征值与特征向量 (Ⅱ>求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.

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<5）设均为3维列向量，记矩阵
，，
如果，那么.
<11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是[ ]
(A> . (B> . (C> . (D>.
<12）设A为n<）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则[ ]
(A>交换的第1列与第2列得. (B> 交换的第1行与第2行得.
(C> 交换的第1列与第2列得. (D> 交换的第1行与第2行得.

<20）<本题满分9分）
已知二次型的秩为2.
<I） 求a的值；
<II） 求正交变换，把化成标准形；
<III） 求方程=0的解.

<21）<本题满分9分）
已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵<k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.

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<5）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则
<11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为[ ]
(A> . (B> . (C> . (D>
<12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有 [ ]
(A> A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.
(B> A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.
(C> A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.
(D> A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

<20）<本题满分9分）
设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

<21）<本题满分9分）
设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.

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<4）从的基到基的过渡矩阵为 .
<4）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则[ ]
(A> 当时，向量组II必线性相关. (B> 当时，向量组II必线性相关.
(C> 当时，向量组I必线性相关. (D> 当时，向量组I必线性相关.

<5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：
① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A>秩(B>；
② 若秩(A>秩(B>，则Ax=0的解均是Bx=0的解；
③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A>=秩(B>；
④ 若秩(A>=秩(B>， 则Ax=0与Bx=0同解.
以上命题中正确的是 [ ]
(A> ①②. (B> ①③.
(C> ②④. (D> ③④.

九 、<本题满分10分）
设矩阵，，，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.

十 、<本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
，
，
.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为