二次函数与一元二次方程.docx

22.2 二次函数与一元二次方程
沙田一中 唐金凤
教学目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
过程与方法
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
教学重点和难点
重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
教学过程设计
（一）问题的提出与解决
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系
h＝20t—5t2
考虑以下问题
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？

分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数
h=20t－5t2.
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
（2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
（3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0
因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.
（4）解方程 0＝20t－5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面
播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.
从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.
由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？
例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） .反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.
一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
（二）问题的讨论
二次函数（1）y＝x2＋x－2；
（2） y＝x2－6x＋9；
（3） y＝x2－x＋0.
的图象如图26.2－2所示.

（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.
可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.
可以看出：
（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.
（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.
（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.
总结：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根.
（三）归纳
一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，
（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.
（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
（四）例题
例 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.
解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.
所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.

播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.
(五)当堂练习
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26

2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；

3.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是
（六）小结
总结本节的知识点.
（七）作业:
（八）板书设计
二次函数与一元二次方程
1、抛物线y＝ax2＋bx＋c与方程ax2＋bx＋c=0的解之间的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
2、二次函数与一元二次方程根的情况：
当b2-4ac>0时，抛物线与X轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根;
当b2-4ac=0时，抛物线与X轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根
当b2-4ac<0时，抛物线与X轴没有交点，一元二次方程无实数根。
(九)、布置作业：教科书：P47 1、2、3、