信号与系统(郑君里)复习要点.doc

信号与系统复习

书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章 信号与系统
1、信号的分类
①连续信号和离散信号
②周期信号和非周期信号
连续周期信号f(t)满足
f(t) = f(t + mT)，
离散周期信号f(k)满足
f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号
④因果信号和反因果信号
2、信号的基本运算（+ - × ÷）
2.1信号的（+ - × ÷）
2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换）
3、奇异信号
3.1 单位冲激函数的性质
f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)

例：

3.2序列δ(k)和ε(k)
f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
4、系统的分类与性质
4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统
4.3 线性系统与非线性系统
①线性性质
T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性)
T [ f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] （可加性）
②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：
y (·) = yf(·) + yx(·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性)
T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]
T[{f1(t) + f2(t) }, {0}] = T[{ f1 (·) }, {0}] + T[{ f2 (·) }, {0}](零状态线性)
T[{0},{ax1(0) +bx2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}](零输入线性)
4.4时不变系统与时变系统
T[{0}，f(t - td)] = yf(t - td)(时不变性质)
直观判断方法：
若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
LTI连续系统的微分特性和积分特性
①微分特性：
若 f (t) → yf(t) ， 则 f ’(t) → y ’ f (t)
②积分特性：
若 f (t) → yf(t) ， 则
4.5因果系统与非因果系统
5、系统的框图描述
第二章 连续系统的时域分析
1、LTI连续系统的响应
1.1微分方程的经典解
y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）
描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
（2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解
2、冲激响应
系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法
①系数平衡法 系统方程两端对应系数相等
②由单位阶跃响应求单位冲激响应，即
例y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。
3、阶跃响应
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。
4、卷积积分
4.1定义
4.2 任意信号作用下的零状态响应
4.3卷积积分的求法 按照定义 图解法
4.4 卷积积分的性质
①交换律②结合律③分配律
④积分性质

⑤微分性质
⑥任意时间函数与冲激函数的卷积
f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) ；f(t)*δ’(t) = f’(t) ；f(t)*ε(t)
⑦卷积的时移性质 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t)
= f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)

第三章 离散系统的时域分析
1、LTI离散系统的响应
1.1差分与差分方程
1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似）
1.2.1y(k) = yh(k) + yp(k)
当特征根λ为单根时，齐次解yn(k)形式为： Cλk
当特征根λ为r重根时，齐次解yn(k)形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk
当特征根λ为一对共轭复根 时，齐次解yn(k)形式为：

1.2.2 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同(r≥1） 。
①所有特征根均不等于1时;
yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0
②有r重等于1的特征根时;
yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]
（2） 激励f(k)=ak
①当a不等于特征根时; yp(k)=Pak
②当a是r重特征根时;
yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak
（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于e±jβ ；
yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)
若描述某系统的差分方程为
y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。
1.3 零输入响应和零状态响应
2、单位序列响应和阶跃响应
2.1 单位序列响应
2.1.1定义
2.1.2 求法
递推求初始值，求齐次差分方程的解
例 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)
求单位序列响应h(k)。
例 若方程为：
y(k) – y(k –1) – 2y(k –2)=f(k) – f(k – 2)
求单位序列响应h(k)
2.2 阶跃响应
2.2.1定义
，h(k) =Ñg(k)
2.2.2 求法

3 常用序列

4 离散信号的卷积和
4.1 任意序列的分解

f(k)

4.2列作用下的零状态响应

4.3 定义

4.4 卷积和的求法
4.4.1 图解法卷积过程可分解为四步：
（1）换元： k换为 i→得 f1(i)， f2(i)
（2）反转平移：由f2(i)反转→ f2(–i)右移k → f2(k – i)
（3）乘积： f1(i) f2(k – i)
（4）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和。
注意：k 为参变量。
4.1.2 不进位乘法求卷积
例f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0}
↑k=1
f2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0}
↑k=0
4.2 卷积和的性质
4.2.1法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.
4.2.2f（k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0)

4.2.3. f(k)*ε(k) =

4.2.4f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k1 – k2)* f2(k)
4.2.5 Ñ[f1(k)* f2(k)] = Ñf1(k)* f2(k) = f1(k)* Ñf2(k)

第四章 连续系统的频域分析
1 傅里叶级数
1.1 傅里叶级数的三角形式

1.2 波形的对称特性和谐波特性
A .f(t)为偶函数——对称纵坐标 展开为余弦级数
B .f(t)为奇函数——对称于原点 展开为正弦级数
C f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 傅里叶级数中只含奇次谐波分量
D f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t±T/2) 只有直流(常数)和偶次谐波。
1.3 傅里叶级数的指数形式
n = 0, ±1, ±2，…

2 周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。

例：周期信号 f(t) =

试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图。
3 傅里叶变换
3.1 定义
3.2 常用函数的傅里叶变换
（1）单边指数函数f(t) = e–atε(t)， a >0实数

（2）双边指数函数f(t) = e–ôatô , a >0

（3）门函数(矩形脉冲)

（4）冲激函数d(t)、d´(t)

（5）常数1

（6）符号函数

（7）阶跃函数

3.3 傅里叶变换的性质
[a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ]
（1）线性

（2）时移性质(Timeshifting Property)
F( jt ) ←→ 2πf (–ω)

（3）对称性质(Symmetrical Property)

（4）频移性质(Frequency Shifting Property)

（5）尺度变换性质(Scaling Transform Property)

（6）卷积性质(Convolution Property)
If f1(t) ←→F1(jω)， f2(t) ←→F2(jω) Then f1(t)*f2(t) ←→F1(jω)F2(jω)

Then f1(t) f2(t) ←→ F1(jω)*F2(jω)

（7）时域的微分和积分

（8）频域的微分和积分
(–jt)n f (t) ←→F(n)(jω)

（9）怕赛瓦尔关系

（10）奇偶性(Parity)
4 周期信号的傅里叶变换

5 连续系统的频域分析
5.1
Y(j w) = F(j w)H(j w)

5.2 无失真传输y(t) = K f(t–td) Y(jw)=Ke – jwtdF(jw)
例：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是
(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)
(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)
(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)
(D) f(t) = cos2(4t)

6 抽样定理

第五章 连续系统的s 域分析

二、求解方法
1、部分分式展开法

（1）F(s)为单极点（单根）

（2）若F(s)包含共轭复根时(p1,2 = –a±jb)

（3）F(s)有重极点（重根）
若A(s) = 0在s = p1处有r重根，

K11=[(s –p1)rF(s)]|s=p1， K12=(d/ds)[(s –p1)rF(s)]|s=p1

三、系统的s域分析方法
思路：用拉普拉斯变换微分特性

例1 描述某LTI系统的微分方程为
y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t)
已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，激励f (t) = 5coste(t)，
求系统的全响应y(t)
四、系统函数
H(s)= L [h(t)]
系统函数H(s)定义为

系统的s域框图
第六章 离散系统的z域分析

附：部分重要内容（无z变换）

第一章：
1． 连续时间信号与离散时间信号
2． 模拟信号与数字信号
3． 信号的运算
（1）移位、反褶与尺度变换

（2）微分和积分
（3）两信号相加或相乘
4． （1）单位阶跃信号
（2）单位冲激信号

（当时）

① 抽样性：

② 偶对称性：
③ 尺度变换性：
④ 相乘性质：

冲激偶信号

5． 线性时不变系统
（1）叠加性与均匀性
（2）时不变性
（3）因果性
第二章
1．系统的状态（起始状态，初始条件）
2． 系统的全响应
（1）求解方法：经典法，双零法
（2）系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入响应
3．线性系统的特性
（1） 响应的可分解性
系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。
（2） 零状态线性
当起始状态为零时，系统的零状态响应对外加激励信号呈现线性。
（3） 零输入线性
当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系。
第三章
1． 周期信号的傅里叶级数
（1）三角函数形式的傅里叶级数
（2）指数形式的傅里叶级数
2． 傅里叶变换定义为
正变换
逆变换
3． 傅里叶变换的性质
(1)对称性
若，则
(2)线性性
若，则
(3)奇偶虚实性
若，则
①是实偶函数，即为的实偶函数。
②是实奇函数，即为的虚奇函数。
(4)尺度变换特性
若，则式中为非零实常数。
(5)时移特性
若，则
(6)频移特性
若，则
(7)时域微分特性
若，则

(8)频域微分特性
若，则

(9)时域积分特性
若，则
(10)时域卷积定理
若，则
(11)频域卷积定理
若，则
4.周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频处，每个冲激的强度等于的傅里叶级数的相应系数的倍。即

其中还可用下式获得：
上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数单脉冲的傅里叶变换在频率点的值乘以。
5． 抽样定理
（1）时域采样定理
第四章：
1． 拉普拉斯变换的定义及收敛域的确定
单边拉普拉斯变换：
正变换
逆变换
2． 拉普拉斯变换的性质
（1） 线性性
若,,,为常数时，则
（2） 原函数微分
若则

式中是r阶导数在时刻的取值。
（3） 原函数积分
若，则式中
（4） 延时性
若，则
（5） s域平移
若，则
（6） 尺度变换
若，则（a0）
（7） 初值定理
（8） 终值定理
（9） 卷积定理
若，，则有
=
3． 拉普拉斯变换的逆变换
部分分式展开法
4． 系统函数
（1）定义
（2）零极点分布
（3）系统函数的求解方法
①由冲激响应求得，即。
②对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由获得。
③根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为。
（4）系统的稳定性
①时域判断条件
②频域判断条件
第五章
1。利用系统函数求响应
2。 无失真传输
第七章
1。 离散时间信号—序列
（1）单位样值信号
（2）单位阶跃序列
（3）矩阵序列
（4）正弦序列，余弦序列
2。信号的基本运算
（1）两信号相加
（2）移位，反褶，尺度变换
3。卷积和的计算

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