四川省大数据精准教学联盟2025届高三第一次统一监测文科数学试题答案.docx

四川省大数据精准教学联盟 2021 级高三第一次统一监测
文科数学答案解析与评分标准
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．【答案】B
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的交集运算等 基础知识；考查数学抽象、数学运算等数学核心素养。
集合 则
2．【答案】C
【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查统计图表的应用等基础知识，考查概率统 计等思想方法，考查数据分析等数学核心素养。
【解析】根据图表可知，共有 10 个月的 PMI 小于 50，所以各月的 PMI 的中位数小于 50，A 错 误；2022 年第四季度各月的 PMI 比 2023 年第一季度各月PMI 的波动大，则方差也大，故 B 错 误；2023 年第1 季度各月PMI 均大于 50，则各月经济总体较上月扩张，C 正确；同理 D 错误．
3．【答案】C
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查平面向量的代数运算和数量积运算，两个 向量垂直等基础知识，考查数学运算等数学核心素养．
【解析】由已知得 a + 2b = (1，2 + 2t)，因 (a+2b( ⏊ a，故 (a + 2b) .a =-1 + 4 + 4t = 0，得 ．
4．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学应用情境，以体育锻炼为背景，主要考查概率等基础知识，考查 概率统计等思想方法，考查数据分析等数学核心素养。
【解析】依题意，该班学生中既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动有 38 + 37 - 60 = 15 （名），故从该班随机抽取一名同学，该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率
为 ．
5．【答案】D
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查数列前 n 项和与通项公式等基础知识，考 查化归与转化、函数与方程等思想方法，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】设数列 {an{的公比为 q(q > 0)，由 a1 = 2，S3 = 26 得 2 + 2q + 2q2 = 26，解得 q = 3，q =-4（舍去），所以数列 {an{ 的通项公式为 an = 2 . 3n-1．
6．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性 质等基础知识；考查化归与转化、数形结合等思想方法，考查数学运算等数学核心素养。
【解析】该双曲线的渐近线方程为 则 可解得 a=-1．
7．【答案】B
【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查循环结构的程序框图及对数运算等基础知 识；考查数学运算、数学抽象等数学核心素养。
【解析】易知程序框图的功能是求 由 S= lg (n+1(

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≥ 2 得 n ≥ 99，所以输出 n = 99．
8．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化、指数函数与对数函数 的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心 素养。
【解析】依题意，a = log3π > 1；b = log43，且 所以 a > b > c．
9．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，以指数函数、幂函数构成的复合型函数为载体，主要 考查函数图象和性质等基础知识；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想，考查直观想象、 逻辑推理等数学核心素养。
【解析】依题意 f(x)，可知f(x) 为偶函数，排除 C，D；当 x > 0 时，若 时，x3 - 3x < 0，则 f(x) < 0，x > 、3 时，x3 - 3x > 0，则f(x) < 0，B 不符题意，故选 A．
10．【答案】C
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数的图象与 性质等基础知识；考查数形结合思想，考查数学运算素养、逻辑推理等数学核心素养。
函数 图象向左平移 个单位长度后，得 y = 的图象，由已知得 所以 所以 ，k ∈ Z，所以 ω = 12k + 3，k ∈ Z，因为 ω > 0，所以 ω 的最 小值为 3．
11．【答案】D
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体及其截面的主要考查空间点、线、面 位置关系等基础知识，主要考查直观想象、推理论证等数学核心素养。
【解析】对于 A，易知平面 α 为平面 AB1D1 或与其平行的平面，故 M 只能为三角形或六边 形 ，A，B 均 错 误 ；对 于 C，当 M 为 三 角 形 时 ，周 长 最 大 值 为 3、2 ，M 为 六 边 形 时 ， LP ⎳ KO ⎳ MN，设 KD = x，则 周长为 3[、2 ( 1 - x) + 故 M 的周长的最大值为 ，C 错误；对于 D，很明显，当 M 为六边形时，面积最 大，该六边形可由两个等腰梯形构成，，两个等腰梯形的高分别为 ，

当且仅当 时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最 大．

P

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12．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程、导数综合应用问题，主要考 查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等 思想方法，考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】依题意，f (x) = (x + 2)ex，可知 x <-2 时，f (x) < 0，f(x) 单调递减，x >-2 时，f (x) > 0，f(x) 单调递增；又 g (x) = lnx + 2，0 < x < e-2 时，g (x) < 0，g(x) 单调递减，x > e-2 时，g (x) > 0， g(x) 单调递增． 因为f(x1) = g(x2) = t(t > 0)，所以 (x1 + 1)ex1 = x2(lnx2 + 1) = t(t > 0)，可知 x1 >-1， 且 x1 = lnx2，所以 令 则 h
当 > 0，当 故 时，h(t) 取极大值 h(e- 2(1))
也即为最大值．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查 化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养。

14．【答案】26
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质、前 n 项和等基础知识； 考查数学运算等数学核心素养。
【解析】因为 {an{为等差数列，由 a4 - a8 + a11 = 2 可得 a7 - a8 + a8 = 2，所以 a7 = 2，则 S13 =

【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点、线、面位置关系、直线与平面所成 的角、三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、 数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】如图 ，取 AB 的中点 F ，连接 DF 交 AE 于点 H． 由翻折前后的不变性可知 ， PH ⏊ AE；易知四边形 DEFA 为正方形，则 DF ⏊ AE． 因此，当平面 PAE ⏊ 平面 ABCE 时，PH ⏊ 平面 ABCD． 由题意可知，S△ABC = 4，V三棱锥

16．【答案】(±2，1)
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定 义、标准方程和几何性质、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合、化归与 转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。

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如图，设 设 AB 与 MC 交于 H． 根据圆的性质，有 AB ⏊ MC ，且在 Rt△ACM 中 而 |AB| = 2 |AH|，则 |AB| ∙ |MC| = 所 以 ，当 |CM| 最 小 时 ，|AB| ∙ |MC| 最 小 ． 而 |CM| =
当且仅当 x 0(2) = 4 时，取得最小值，
此时 M(±2，1)．
y
A
C H M B
O x

三、解答题：共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17～21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答． 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主 要考查离直方图识别、统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析、数学建模及数学运算等 数学核心素养。
【解析】（1）因为 a，b，c 是公差为 0.01 的等差数列，
所以 (a +b + c) × 5 = (3a + 0.01 × 3) × 5 = 1 - (0.02 + 0.02 + 0.01) × 5，
解得 a = 0.04，b = 0.05，a = 0.06． ..........................................................2 分
（2）因为高度位于区间 [20, 30) 的频率为 (0.02 + 0.05) × 5 = 0.35，位于区间 [35，50) 的频 率为 (0.04 + 0.02 + 0.01) × 5 = 0.35，
所以，果苗高度的中位数是区间 [30, 35) 的中点，即为 32.5cm． ..........4 分
由频率分布直方图得，该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：
h- = 0.02 × 5 × 22.5 + 0.05 × 5 × 27.5 + 0.06 × 5 × 32.5 + 0.04 × 5 × 37.5 + 0.02 × 5 × 42.5 + 0.01 × 5 × 47.5 = 33(cm)． ...........................................................................8 分
（3）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间[30, 45) 的频率为：
(0.06 + 0.04 + 0.02) × 5 = 0.6，
所以，估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间 [30, 45) 的概率为 0. 6． .....................................................................................................................12 分
18．（12 分）
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，角 平分线定义及性质等基础知识；考查化归与转化思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素 养。

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【解析】

（1）解法一：
由 及正弦定理，
可得 分 又 sinB = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC，
所以 分 又在 △ABC 中，sinC ≠ 0，故 ，
所以 ． .......................................................................................... 6 分 解法二：由 及余弦定理，
可得 分 即 b2 + c2 - a2 =-bc ，................................................................................ 4 分 所以
故 ． ............................................................................................... 6 分
由 知
又 b = 3，c = 5，S△ABC = S△ABD + S△ACD，....................................................... 9 分
所以 ． ........................................................................................ 12 分
说明：本小题可用平面几何的方法解答：过点 D 作 AC 的平行线交 AB 于点 E，则 △ADE 为
等边三角形（边长为 x），于是 解得 ．
19．（12 分）
【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，以四棱锥中的线面关系为载体，主要考 查多面体的结构特征、平面与平面垂直的性质定理等基础知识；考查化归与转化、数形结合等 思想方法，考直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）因为平面 PAD ⏊ 平面 PCD，AD ⏊ PD，
所以 AD ⏊ 平面 PCD．
又 AD ⎳ BC，
所以，BC ⏊ 平面 PCD． ............................................................................ 4 分

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（2）

由（1）可知，AD ⏊ 平面 PCD，即平面 ABCD ⏊ 平面 PCD．
过 P 作直线 CD 的垂线，垂足为 H，
则 PH ⏊ 平面 ABCD．
由已知，∠CPD = ∠DCP= 30°, PD = 2，则 ． 显然，△PBC 为直角三角形，
则 分
易知，∠DAB = 135° ,所以 S△△ .
设点 D 到平面 PAB 的距离为 h，由 VD-PAB = VP-ABD，
解得 ． .......................................................................................12 分
20．（12 分）
【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，主要考查不等式、函数零点问题，考查 函数性质、导数应用等基础知识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查数学抽象、逻 辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）当 a = 1，函数f(x) =x2 +x - lnx - 1(x > 0)．
则 分
可知当 时，f/(x) < 0，f(x) 单调递减；当 时，f/(x) > 0，f(x) 单调递增．
则当 时，f(x) 取得极小值也即为最小值．
所以f(x) 的最小值为 ． ..............................................................5 分
（2）由已知，x1，x2 是f(x) = ax2 +x - lnx - a 的两个零点．
则 ax 1(2) +x1 - lnx1 - a = 0，ax2(2) +x2 - lnx2 - a = 0，两式相减，得
a(x1 +x2) (x1 -x2) + (x1 -x2) - (lnx1 - lnx2) = 0，
整理得 分 欲证明 a(x1 +x2)2 + (x1 +x2) > 2，
只需证明不等式 ， 即证明 也即证明

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不妨设 0 <x1 <x2，令 则 0 < t < 1． ...........................................10 分
只需证明 ，即证明 (t + 1)lnt - 2(t - 1) < 0(0 < t < 1) 即可．
令 lnt - 2，则 ．
又令 所以，当 0 < t < 1 时，u(x)，即 h/(t) 单调递减，则 h/(t) > h/(1) = 0．
故当 0 < t < 1 时，h(t) 单调递增，则 h(t) < h(1) = 0．
所以，原不等式成立，故不等式 a(x1 +x2)2 + (x1 +x2) > 2 得证． .........12 分
21．（12 分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与椭圆的位置关系为载体，主要考查椭圆 的方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系；考查数形结合、函数与方程、化归与转 化、分类与整合等思想方法，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】（1）由题意，曲线 C 的离心率
显然 即 ．
3
又因为 所以
4 ，
故 即 ． ................................................................4 分
（2）设点 P，Q 的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)．
由题意，当直线 PQ 的斜率不为 0 时，设直线 PQ 的方程为．
联立方程组 消去 x 并整理得 此方程有两个不等实根，分别为 y1，y2，且满足
分
由已知，点 R 的坐标为 则直线 QR 的方程为 根据椭圆的对称性可知，如果直线 QR 过定点，则此定点一定在 x 轴上．
令 y = 0，可得 分
而 x2 = ty2 + 3 ，y1 +y2 =- 2(2) 3t ，所以

此时 为定值． ...........................................................................11 分 当直线 PQ 的斜率为 0 时，直线 QR 与直线 PQ 重合，必然过点 综上，直线 QR 过定点，定点的坐标为 分

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（二）选考题：共 10 分． 请考生在第 22，23 题中任选一题作答． 如果多做，则按所做的第一题 计分．
22． [选修 4 －4：坐标系与参数方程]（10 分）
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，直线 与圆的位置关系等基础知识；考查化归与转化、数形结合等思想方法；考查数学运算、推理论
证、直观想象等数学核心素养。
【解析】
（1）直线 l 的一个参数方程为 为参数）． ................2 分
由上，直线 l 与 x 轴的交点坐标 Q (2，0(． ...............................................3 分
所以，圆 Q 的极坐标方程为 ρ =4cosθ . .................................................5 分

（2）由（1）可知，直线 l 的倾斜角为 45° ,圆 Q 的圆心为 Q (2，0(，半径为 2．
如图，易知 分
所以 △MON 的面积 分
说明：本小题亦可用几何关系求出点 O 到直线 l 的距离 d，用 求出面积；还可在直 角坐标系内用普通方程、在极坐标系内求出点 M，N 的坐标求解。
23． [选修 4 －5：不等式选讲]（10 分）
【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查均值不等式、不等式证明方法等基 础知识；考查化归与转化等思想方法，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）当 x <-1 时，f(x) =-3x + 1 ≤ 5 -x，解得 -2 ≤ x <-1；
当 -1 ≤ x ≤ 1，f(x) =-x + 3 ≤ 5 -x，得 -1 ≤ x ≤ 1；
当 x > 1 时，f(x) = 3x - 1 ≤ 5 -x，可得
综上所述，f(x) ≤ 5 -x 的解集为 分
（2）由（1）知，x <-1 时，f(x) =-3x + 1 > 4；-1 ≤ x ≤ 1 时，f(x) =-x + 3 ≥ 2；x > 1 时， f(x) =3x - 1 > 2，则f(x) 的最小值为 2，即 M = 2．
故 a + b = 2，0 < a < 2，0 < b < 2，..........................................................7 分

当且仅当 a = b = 1 取“=”．
所以 ................................................................................... 10 分

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