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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第一章 概 述,第一节 数学是什么,第1页,1,一、数学“定义”,恩格斯：数学是研究现实世界中数量关系与空间形式一门科学,。,伴随时间推移，数学大大发展了，诸如事物结构、数理逻辑等，都成为数学研究对象；这些，似乎不能包含在上述定义中。人们在寻找数学新“定义”。,不过，,要给数学下个定义，并不那么轻易。,至今难以相关于“数学”、大家取得共识“定义”。,第2页,2,1古今数学家说法,（美）R柯朗,（数学是什么）,：“数学，作为人类智慧一个表示形式，反应生动活泼意念，深入细致思索，以及完美友好愿望，它基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。”,第3页,3,（法）E波莱尔：“数学是我们确切知道我们在说什么，并必定我们说是否正确唯一一门科学。”,（英）罗素：“数学是全部形如p蕴含q命题类”，而最前面命题p是否对，却无法判断。所以“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说是否正确一门学科。”,第4页,4,1）哲学说,2）符号说,3）科学说,4）工具说,5）逻辑说,6）创新说,7）直觉说,8）集合说,9）结构说（关系说）,10）模型说,11）活动说,12）精神说,13）审美说,14）艺术说,15）万物皆数说,2数学15个“定义”,第5页,5,15个“定义”来自,第6页,6,1）哲学说,2）符号说,3）科学说,4）工具说,5）逻辑说,6）创新说,7）直觉说,8）集合说,9）结构说（关系说）,10）模型说,11）活动说,12）精神说,13）审美说,14）艺术说,15）万物皆数说,2数学15个“定义”,第7页,7,只 讲解“哲学说”，其它只作一句话解释，并请查资料。,哲学说,亚里士多德：,“新思想家把数学和,哲学看作是相同。”,来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。,几何原本：点是没有部分那种东西；,线是没有宽度长度,牛顿在自然哲学之数学原理序言中说，他是把这本书“作为哲学数学原理著作”，“在哲学范围内尽可能把数学问题展现出来”。,第8页,8,哲学是研究最广泛事物，数学也是研究最广泛,事物，这是它们共同点。不过，数学与哲学研,究对象不一样，研究方法也不一样。二者虽有相同之处，,但数学不是哲学一部分，哲学也不是数学一部,分。,现在有些人说,“哲学从一门学科中退出，意味着这,门学科建立；而数学进入一门学科，就意味着这门,学科成熟。”,第9页,9,符号说：,是说数学是一个高级语言，是符号世界。,科学说：,是说数学是精密科学，“数学是科学皇后”。,工具说：,是说“数学是其它全部知识工具源泉”。,逻辑说：,是说数学推理依靠逻辑，“数学为其证实所含有逻辑性而骄傲。”,第10页,10,创新说：,是说数学是一个创新，如发觉无理数，提出微积分，创建非欧几何。,直觉说：,是说数学基础是人直觉，数学主要是由那些直觉能力强人们推进。,集合说：,是说数学各个分支内容都能够用集合论语言表述。,结构说（关系说）：,是强调数学语言、符号结构方面及联络方面，“数学是一个关系学”。,第11页,11,模型说：,是说数学就是研究各种形式模型，如微积分是物体运动模型，概率论是偶然与必定现象模型，欧氏几何是现实空间模型，非欧几何是非欧空间模型。,活动说：,是说“数学是人类最主要活动之一”。,精神说：,是说“数学不但是一个技巧，更是一个精神，尤其是理性精神。”,第12页,12,审美说：,是说“数学家不论是选择题材还是判断能否成功标准，主要是美学标准。”,艺术说：,是说“数学是一门艺术。”,万物皆数说：,是说数规律是世界根本规律，一切都能够归结为整数与整数比。,第13页,13,方延明：,数学,是研究现实世界中数与形之间各种形式模型结构一门科学。,徐利治：,数学,是“实在世界最普通量与空间形式科学，同时又作为实在世界中最含有特殊性、实践性及多样性量与空间形式科学”。,回到恩格斯定义：,数学,是研究（现实世界中）,数量关系与空间形式,一门科学。,第14页,14,思：,请你在学习“数学文化”课过程中，一直带着下面问题在学完“数学文化”课后，给出一个你自己对“,数学,”定义。,第15页,15,二、数学特点,抽象性,准确性,应用广泛性,第16页,16,1抽象性,第一，,数学研究对象本身就是抽象；,第二，在数学抽象中只保留量关系和空间形式而舍弃了其它一切；,第三，数学抽象是一级一级逐步提升，它们所到达抽象程度大大超出了其它学科中抽象；,第四，关键数学主要处理抽象概念和它们相互关系,。,第17页,17,2准确性,数学准确性表现在数学推理逻辑严格性和数学结论确实定无疑性。,汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼。”,作为对照三个例子：,电子管电路 半导体电路 集成电路,地心说日心说开普勒三定律,高温超导上界（朱经武）,30K90K120K 240K,第18页,18,关于“晶体结构有多少种”讨论,曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各不相同结论。,数学家介入以后，利用“群”理论，得到了明确答案：晶体结构只能有240种。,而且，数学家推理是如此准确，让人信服，使得之后就不再有些人去研究这一问题了，因为结论已经确定无疑。,第19页,19,3应用广泛性,华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。,例子：哈雷彗星发觉；,海王星发觉；,电磁波发觉。,第20页,20,哈雷彗星发觉,古时人们认为彗星出现是不祥之兆，直到17世纪，英国天文学家哈雷开始计算彗星轨道时，发觉1682年、1607年和1531年出现彗星有相同轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在1758年底或1759年初再次出现。1759年，这颗彗星果然出现了。即使哈雷已在以前1742年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为“哈雷彗星”。哈雷彗星回归周期为76年，最近一次回归是在1986年；下一次回归是在2062年。,第21页,21,海王星发觉,这个太阳系最远行星,（,之一,）,，,是,1846,年在数学计算基础上发觉,。天文学家分析了天王星运动,不规律性，推断出这是由其它行星,引力而产生,。,勒未累计算出它,应处位置，观察员在指定位置发觉,了该行星,。,航海家2号拍摄,1989.8.,第22页,22,电磁波发觉,英国物理学家麦克斯韦概括了由试验建立起来电磁现象规律，把这些规律表述为“,方程形式,”，用纯粹数学方法推导出可能存在着电磁波而且这些电磁波应该以光速传输者。据此，他提出了光电磁理论。另外，他结论还推进了人们去寻找纯电起源电磁波。,24年后，德国物理学家赫兹在振荡放电试验中证实了电磁波存在，很快，意大利马可尼和俄国人波波夫又在此基础上独立地创造了无线电报。从此，电磁波走进了千家万户。,第23页,23,三、数学与其它领域联络,1.数学与教育,数学对于受教育者，不但仅是学会一门课程、一门知识、更主要是学习数学思想、方法、精神；把数学作为成才基本素质要求。,第24页,24,1）波利亚：“让我们教猜测吧！”,波利亚还说：“在数学家证实一个定理之前，必须猜测到这个定理；在他完成证实细节之前，必须先猜测出证实主导思想。”,实际上，教育并不总是在让学生认知，教育在很大程度上是让学生观赏，只有这么，才有最正确教育效益。,第25页,25,2）作为数学教授大学校长：,丁石孙北京大学,苏步青复旦大学,谷超豪中国科大,潘承洞山东大学,齐民友武汉大学,伍卓群吉林大学,侯自新南开大学,李岳生中山大学,曹策问郑州大学,杨思明湘潭大学,展 涛 山东大学,黄达人中山大学,吴传喜湖北大学,周明儒徐州师大,王梓坤北师大,陆善镇北师大,王建磐华东师大,史宁中东北师大,路 钢华中师大,邱玉辉西南师大,王国俊陕西师大,庾建设广州大学,房灵敏西藏大学,第26页,26,大学校长是综合素质比很好学者；,众多大学校长都是数学教授，这也说明数,学教育对人综合素质提升，影响很大。,有些人把它叫做,有趣中国现象,第27页,27,2）作为数学教授大学校长：,丁石孙北京大学,苏步青复旦大学,谷超豪中国科大,潘承洞山东大学,齐民友武汉大学,伍卓群吉林大学,侯自新南开大学,李岳生中山大学,曹策问郑州大学,杨思明湘潭大学,展 涛 山东大学,黄达人中山大学,吴传喜湖北大学,周明儒徐州师大,王梓坤北师大,陆善镇北师大,王建磐华东师大,史宁中东北师大,路 钢华中师大,邱玉辉西南师大,王国俊陕西师大,庾建设广州大学,房灵敏西藏大学,第28页,28,丁石孙：北京大学校长,丁石孙：北京大学校长,（1984-1989年）,全国人大常委会副委员长，民盟中央声誉主席。汉族，1927年9月生，江苏镇江人，民盟组员、中共党员，1950年参加工作，清华大学数学系毕业，大学学历，教授。专长:代数、数论。,第29页,29,苏步青，复旦大学校长,苏步青：复旦大学校长,（1978-1983年）,1902年生于浙江，年卒于上海。中国科学院院士。他是国际公认几何学权威，我国微分几何学派创始人。早在20年代，他仿射不变四次（三阶）代数锥面，被命名为苏锥面。他仿射微分几何高水平工作，至今在国际数学界仍享受很高评价。,第30页,30,谷超豪，中国科技大学校长,谷超豪：中国科技大学校长,简历：,1926年生于浙江温州。1948年毕业于浙江大学数学系，1953年起在复旦大学任教，1957年赴前苏联莫斯科大学进修，获科学博士学位。历任复旦大学副校长和中国科技大学校长。1980年当选为中国科学院数学物理学部委员。专长偏微分方程、微分几何和数学物理,。,第31页,31,潘承洞，山东大学校长,潘承洞：山东大学校长,（1986年-？）,1934出生，江苏省苏州市人。1997年12月27日在济南病逝。中国科学院院士。1981年与其胞弟潘承彪合作编著哥德巴赫猜测一书，为世界上第一本全方面系统地叙述哥德巴赫猜测研究工作专著；1982年与王元、陈景润共同以哥德巴赫猜测研究结果获国家自然科学一等奖。,第32页,32,齐民友，武汉大学校长,齐民友：武汉大学校长（1988-1992年）,1930年出生，1952年毕业于武汉大学数学系，并从事偏微分方程,理论研究。武汉大学博士导师,。,曾任国务院学位委员会数学组组员。中国数学会副理事长，湖北省数学会理事长。1984年起任武汉大学副校长，1988年任武汉大学校长。,第33页,33,李岳生，中山大学校长,李岳生：中山大学校长,（,1984-1991年）,1930年1月生，中山大学教授，博士生导师。曾任中山大学校长、计算机科学系主任、数学研究所所长；国务院学位委员会第二、三届学科评议组组员，从事常微分方程、计算数学、微分方程数值解法、样条函数与变分方法等方面研究。,第34页,34,曹策问，郑州大学校长,曹策问：郑州大学校长,简历：,1940年2月出生，湖南长沙人。1957年9月进入北京大学数学力学系数学专业学习；1963年9月在北京大学数学力学系读硕士；1979年3月任郑州大学数学系教师，1986年任教授；1987年2月任郑州大学副校长；1994年起任校长；年1月任政协河南省第九届委员会副主席。专长：可积动力系统。,第35页,35,展涛，山东大学校长,展涛，男，回族，1963年4月出生，山东兖州人，中共党员，理学博士，教授，博士生导师。1979年9月入山东大学数学系学习，先后取得学士、硕士、博士学位；1987年留校任教，先后被评聘为讲师、副教授、教授；1991年1月至1992年12月获德国洪堡基金会奖励基金，赴德国弗莱堡大学从事合作研究；1993年4月任山东大学数学系副主任；1995年3月任山东大学副校长；1996年12月任山东大学党委常委、副校长；年7月任山东大学党委常委、校长。,第36页,36,黄达人，中山大学校长,黄达人，男，1945年4月生，浙江象山人。1962年至1968年就读于浙江大学数学系。1978年至1981年在浙江大学数学系读硕士，毕业后留校任教。1985年至1986年作为访问学者在美国南卡罗来纳大学数学系进修访问一年。1988年任浙江大学数学系教授。曾任浙江大学数学系副主任、范岁久医学图像试验室主任、教务处长、副教务长等职。1992年至1998年任浙江大学副校长。1998年11月调任中山大学常务副校长。1999年8月至今任中山大学校长。学术研究领域为函数迫近论、小波分析、信号和图像处理。,第37页,37,吴传喜，湖北大学,吴传喜1961年7月出生。教授，博导。北京大学数学系毕业，获理学博士学位。年1月担任湖北大学校长。研究方向：当代微分几何,第38页,38,周明儒，徐州师范大学,第39页,39,王梓坤，北京师范大学校长,王梓坤：北京师范大学校长,（1984-1989年）,1929年4月生,江西吉安县人。1952年毕业于武汉大学数学系。1955年考入苏联莫斯科大学数学力学系做硕士，师从于数学大师 A.N.Kolmogorov和 R.L.Dobrushin,1952年起先后任南开大学讲师、教授。1984年以来任北京师范大学教授。1984年至1989年任北京师范大学校长。1991年当选为中国科学院院士。王梓坤是我国概率论研究先驱和主要领导者之一。,第40页,40,王建磐，华东师范大学校长,王建磐：华东师范大学校长,简历：,1949年1月2日生于福建古田县。数学教授、博士生导师。1967年高中毕业后曾插队农村，当过中学民办教师和县剧团编剧。1978年靠自学考取华东师范大学数学系硕士，1981年获理学硕士学位并留校工作，1982年考取本校在职博士硕士并于当年取得理学博士学位，是我国首批18位自己培养博士之一。1991年聘为教授。1997年起任华东师范大学校长。主要研究领域为代数群与量子群，在代数群模表示和量子群表示理论上都有主要建树。,第41页,41,史宁中，东北师范大学校长,史宁中：东北师范大学校长,（1998年-）,1975年毕业于东北师范大学数学系。1982年至1989年赴日本九州大学理学部学习，先后取得硕士、博士学位，是我国改革开放后首批公费留学博士生。1989年回国后，任教于东北师范大学数学系。1992年起任教授。1993年被评为博士生导师。1997年当选国务院学位委员会学科评议组组员。主要从事数理统计研究，研究方向包括多元分析、伞型半序约束、列联表、凸分析等。,第42页,42,路 钢，华中师范大学,第43页,43,侯自新，南开大学校长,（1995年-年）,侯自新教授曾任南开大学数学系主任、校长助理、副校长、硕士院院长、中国数学学会副理事长、天津市学位委员会副主任，九届全国人民代表大会代表，天津市十四届人民代表大会常务委员会委员。现任十届全国人民代表大会代表、中国高等院校数学研究与高等人才培养中心主任、中国老教授协会副会长、天津市教育发展基金会副理事长。侯自新教授多年从事李群、李代数及齐性空间微分几何等方面研究与教学工作。,第44页,44,2.数学与文学,1）用数学方法对作品和语言进行写作格调分析、词汇相关程度和句型频谱分析,例：红楼梦前80回与后40回作者是否相同？,1980年6月，在美国威斯康辛大学召开国际首届红楼梦研讨会上，来自威斯康辛大学华裔学者陈炳藻先生宣读了一篇,从词汇上统计论红楼梦作者问题,博士论文，引发了国际红学界关注和兴趣。1986年，陈炳藻教授公开发表了电脑在文学上应用：红楼梦与儿女英雄传两书作者专著。利用计算机对红楼梦前八十回和后四十回用字进行了测定，并从数理统计观点出发，探讨红楼梦前后用字相关程度。他将红楼梦一百二十回分为三组，每组四十回。并将儿女英雄传作为第四组进行比较，从每组中任意取出八万字，分别挑知名词，动词，形容词，副词，虚词这五种词汇，利用数理语言学，经过计算机程序对这些词进行编排，统计，比较和处理，进而找出各组相关程度。结果发觉红楼梦前八十回与后四十回词汇相关程度到达78.57%，而红楼梦与儿女英雄传词汇相关程度是32.14%。由此他推断出红楼梦作者为同一个人所写结论。这个结论是否被红学界所结受，还存在一定争论。不过这种方法却给很多人留下了深刻印象。,静静顿河作者是肖洛霍夫。,第45页,45,2）语言学好比一个公理化系统,（语法好比法则和定理）,3）语音学（关于语气）研究,计算机模拟人语气，并绘出直观三维图像，,是南开大学汉字系与计算机系合作一个结果，曾,取得国家级教学结果二等奖。,其中大量用到数学。,第46页,46,3.数学与史学,1）史衡学,数学介入，使史学研究结果愈加客观、严谨，较多地排除了人为原因。,2）考古对数学史研究推进,1986年上海陆家咀发觉元朝玉挂，谈祥柏教授研究后发觉，它是一个四阶完全幻方。过去认为只有印度历史上才有这种“完全幻方”。,第47页,47,4.数学与哲学,1）数学中“无限”概念、“连续”概念，一经出现，便成了哲学研究对象。,2）“哲学从一门学科中退出，意味着这门学科建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科成熟。”,B.Demollins:“没有数学，我们无法看透哲学深度，没有哲学，人们也无法看透数学深度，而若没有二者，人们就什么也看不透。”,3）哲学系“逻辑学”专业与数学系“数理逻辑”专业。,第48页,48,5.数学与经济,1）普遍利用数学，建立经济模型,2）获诺贝尔经济学奖学者中，数学家出身和有数学背景人占二分之一以上。,6.数学与社会学,1）定量社会学、实证社会学已经形成了一套逻辑严密研究模式,2）“社会科学许多主要领域已经发展到不懂数学人望尘莫及阶段。”,第49页,49,7.数学与工程技术,1）“1991年海湾战争就是信息战争、数学战争”,2）数学与工程技术相互渗透，非常广泛、深刻。,年 是联合国宣告“世界数年”，联,合国教科文组织指出：“纯粹数学与应用数学是,了解世界及其发展一把主要钥匙。”,第50页,50,第51页,51,趣味题一：抓堆和抓三堆,1.抓堆,：,有一堆谷粒（比如100粒），甲、乙轮番抓，每次可抓15粒，甲先抓，要求谁抓到最终一把谁赢。问：甲应该怎样抓？为何？,第52页,52,游戏实录,100,第53页,53,从简单问题入手,有一堆谷粒（比如10粒），甲、乙轮番抓，每次可抓15粒，甲先抓，要求谁抓到最终一把谁赢。问：甲应该怎样抓？为何？,第54页,54,游戏实录,10,第55页,55,数学思想：,问题普通化；,问题特殊化；,归纳总结，找出规律；,证实规律，得到结论。,第56页,56,问题普通化,抓堆,：有一堆谷粒（比如 n 粒），甲、乙轮番抓，每次可抓15粒，甲先抓，要求谁抓到最终一把谁赢。问：甲应该怎样抓？为何？,问题特殊化,n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，,第57页,57,“抓堆”游戏结论,把“6倍数”留给对方，自己能够取胜。,（“反面说法”）,在 n=100 时，甲抓 4 粒能够取胜。,第58页,58,数学文化：,问题普通化；,问题特殊化；,归纳抽象，找出规律；,证实规律，得到结论。,第59页,59,2.抓三堆,：,有三堆谷粒（比如100粒、200粒、300粒），甲、乙轮番抓，每次只能从一堆 中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，要求谁抓到最终一把谁赢。问：甲应该怎样抓？为何？,第60页,60,从简单情形入手,有三堆谷粒（比如4粒、5粒、6粒），甲、乙轮番抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒。,甲先抓，要求“谁抓到最终一把谁赢”。问：甲应该怎样抓？为何？,第61页,61,游戏实录,4，,5，,6，,第62页,62,数学文化：,问题普通化；,问题特殊化；,归纳抽象，找出规律；,证实规律，得到结论。,第63页,63,抓三堆：,有三堆谷粒（比如100粒、200粒、300粒），甲、乙轮番抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，要求谁抓到最终一把谁赢。问：甲应该怎样抓？为何？,解,：,问题普通化,记号：将三堆谷粒情况记为（a,b,c）,比如（100,200,300）。,这么，谁抓为（0,0,0），谁赢。,第64页,64,分析：,问题特殊化,1）只有一堆时,，即情况为（a,0,0）,此时先抓者必胜。,第65页,65,2）只有两堆时,，即情况为（a,b,0）,（1）若b=a,即情况为（a,a,0）,此时后抓者必胜。因为,对方先抓后，结果或剩一堆，成为（a,0,0）情况，,一把可抓完；或剩两堆，你抓后，又成为新（d,d,0）,情况，且d a,即情况为（a,b,0）,此时先抓,者必胜。因为先抓者能够把第二堆抓掉b a个，使情况,转化为（a,a,0）,成为新“情况（1）”。,第66页,66,3）,三堆都有，且其中两堆相等,，即情况为,（a,a,c）,此时先抓者必胜。因为先抓者能够把,第三堆全抓完，使情况转化为（a,a,0）,成为新,“情况 2)（1）”。,4）,三堆都有，且其中任意两堆都不相等,，,即情况为（a,b,c）,且不妨设a b c,此时,情况比较复杂。,第67页,67,为了下面表述得清楚，我们把前面一个结论用“,反面说法,”，总结为,“把两堆相等情况留给对方，自己能够取胜。”,然后再讨论 a、b、c 不一样情况。以其中最小a为“,主要线索,”分情况讨论。,第68页,68,（1）a 1 时，即情况为（1,b,c）。,下面再 对 b 分情况讨论。,（2）a 2 时，即情况为（2,b,c）。,下面再 对 b 分情况讨论。,（3）a 3 时，即情况为（3,b,c）。,下面再 对 b 分情况讨论。,（4）a 4 时，即情况为（4,b,c）。,下面再 对 b 分情况讨论。,等等，等等。,第69页,69,往下讨论，留作“课下思索题”,第70页,70,注意其中数学文化：,问题普通化；,问题特殊化；,归纳抽象，找出规律；,证实规律，得到结论。,第71页,71,本节结束,谢谢,第72页,72,
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