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第1章高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解
§1．1集合
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素及集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
（一）集合的有关概念
⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，
而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于”及“不属于两种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。
5.常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.
整数集，记作Z；　　有理数集，记作Q；　　　　实数集，记作R；
6.关于集合的元素的特征
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”
（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大
的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.
如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2
⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
7.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于”及“不属于”两种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。
练：A={2，4，8，16}，则

一、集合的表示方法
⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
说明：⑴书写时，元素及元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；
⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。
⑹含有较多元素的集合，列举法表示时，把元素间的规律显示清楚后用省略号，正整数N*=
⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；
说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}及 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ 　}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。
用符号描述法表示集合时应注意：
１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？
２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

二、集合的分类
观察下列三个集合的元素个数
1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};
2. {xR∣0<x<3};
3. {xR∣x2+1=0}
由此可以得到
集合的分类
三、文氏图
集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即
3,9,27
A
画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：
表示{3，9，27}

表示任意一个集合A

集合间的基本关系
比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
（1），；
（2），；
（3），
观察可得：

B
A
表示：
⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作： 读作：A包含于B，或B包含A
当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A)
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A及集合B
中的元素是一样的，因此集合A及集合B相等，即若，则。
如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。
⒊真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。
记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）
4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：
5.几个重要的结论：
⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。
⑵空集是任何非空集合的真子集；
⑶任何一个集合是它本身的子集；
⑷对于集合A，B，C，如果，且，那么。
说明：
⑴注意集合及元素是“属于”“不属于”的关系，集合及集合是“包含于”“不包含于”的关系；
⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
⑶结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，
特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

集合间的基本运算
考察下列集合，说出集合C及集合A，B之间的关系：
（1），；
（2），；
1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A及集合B
的并集，即A及B的所有部分，
记作A∪B， 读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
Venn图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
讨论：A∪B及集合A、B有什么特殊的关系？
A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A
A∪B＝A , A∪B＝B .
巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ;
②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝ ;
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ 。
2. 交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），
记作：A∩B 读作：A交B 即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
（阴影部分即为A及B的交集）

Venn图表示：

常见的五种交集的情况：
A
B
A(B)
B A
A B
B
A

-1
1
2
3
【题型一】　并集及交集的运算
【例1】设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B。

-2
3
【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。

【例3】已知集合A＝｛y|y=x2-2x-3,x∈R｝,B=｛y|y=-x2+2x+13,x∈R｝求A∩B、A∪B

集合的基本运算㈡
思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、
B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？
集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。
（一）. 全集、补集概念及性质：
⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么
就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
⒉补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集
合A相对于全集U的补集,
记作：，读作：A在U中的补集，即
Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）

说明：补集的概念必须要有全集的限制
讨论：集合A及之间有什么关系？→借助Venn图分析

函数的概念
¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合及对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
¤知识要点：
1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作=，．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），及x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.
2. 设a、b是两个实数，且a<b，则：{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间；
{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；
{x|a≤x<b}＝， {x|a<x≤b}＝，都叫半开半闭区间.
符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则
，，，，.
3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.
¤例题精讲：
【例1】求下列函数的定义域： （1）；（2）.

【例2】求下列函数的定义域及值域：（1）； （2）.

【例3】已知函数. 求：（1）的值； （2）的表达式

【例4】已知函数.
（1）求的值；（2）计算：.

第6讲 函数的表示法
¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.
¤知识要点：
1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.
2. 分段函数的表示法及意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.
3. 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y及之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”.
判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.
¤例题精讲：
【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．

【例2】已知f(x)= ，求f[f(0)]的值.

【例3】画出下列函数的图象：
（1）；
（2）.
解：

点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.
【例4】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，当时，写出的解析式，并作出函数的图象.
解：. 函数图象如右：
点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的对应函数式.

第7讲 函数的单调性
¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.
¤知识要点：
1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）. 仿照增函数的定义可定义减函数.
2. 如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升及下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.
3. 判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x<x；→计算f(x)－f(x) →判断符号→下结论.
¤例题精讲：
【例1】试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.
解：任取∈(0,1)，且. 则.
由于，，，，故，即.
所以，函数在（0，1）上是减函数.
【例2】求二次函数的单调区间及单调性.
解：设任意，且. 则
.
若，当时，有，，即，从而，即，所以在上单调递增. 同理可得在上单调递减.
【例3】求下列函数的单调区间：
（1）；（2）.
解：（1）.
由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.
（2）.
由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.
点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.

【例4】已知，指出的单调区间.
解：∵ ，
∴ 把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示.
由图象得在单调递增，在上单调递增.
点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知平移变换规律.

第8讲 函数最大（小）值
¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.
¤知识要点：
1. 定义最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有≤M；存在x0∈I，使得 = M. 那么，称M是函数的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value）的定义.
2. 配方法：研究二次函数的最大（小）值，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值.
3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.
4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.
¤例题精讲：
【例1】求函数的最大值.

【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.

【例3】求函数的最小值.

点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.
【另解】用换元法！

【例4】求下列函数的最大值和最小值：
（1）； （2）.
（1）配方

（2）分段：

点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间及对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.

第9讲 函数的奇偶性
¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.
¤知识要点：
1. 定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数（odd function）.
2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴轴对称.
3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别及的关系.
¤例题精讲：
【例1】判别下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；（3）.
解：（1）原函数定义域为，对于定义域的每一个x，都有
， 所以为奇函数.
（2）

（3）

【例2】已知是奇函数，是偶函数，且，求、.
解：∵ 是奇函数，是偶函数，
∴ ，.
则，即.
两式相减，解得；两式相加，解得.
【例3】已知是偶函数，时，，求时的解析式.

点评：此题中的函数实质就是. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.
【例4】设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围.
解：∵ 在区间上是减函数， ∴ 的图象在y轴左侧递减.
又 ∵ 是奇函数，
∴的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减.
又 ，解得， 所以的图象在R上递减.
∵ ，
∴ ，解得.
点评：定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.

第10讲 集合及函数概念 复习
¤复习目标：强化对集合及集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用文氏图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练. 深刻理解函数的有关概念.掌握对应法则、图象等有关性质. 理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步骤，并会运用.
¤例题精讲：
【例1】已知a,b为常数，若，则 .
解：由，则，
整理得，
比较系数得：，
解得：；或
【例2】已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并加以证明.

【例3】集合，，若，求实数m的取值范围.
解：由，得.
当时，有：，解得.
当时，如右图数轴所示，则
-1 2-m 3m+1 7 x
B
A
，解得.
综上可知，实数m的取值范围为.
点评：已知两个含参集合的关系或者运算结果时，可以结合数轴分析区间端点的位置情况，列出相关不等式后求解参数范围. 注意当时，不能忽视的情况.

【经典例题】
【例1】已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（ ）

【例2】已知集合为实数，且实数，且 的元素个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3

【例3】设集合A=若AB，则实数a,b必满足( )
A、 B、 C、 D、

【例4】已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个

【例5】设集合则实数a的取值范围是 ( )
A、 B、 C、 D、

【例6】已知集合，则（ ）
A、0或 B、0或3 C、1或 D、1或3

【例7】设集合则 ( )
A、　B、　　C、.　D、

【例8】若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则 ．

【例9】已知集合，集合,且，则 , .

【例10】某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ __.

【课堂练习】
1、设全集，集合,则 （　　）
A、　　　　B、　　　C、　 D、
2、已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是 （　　）
A、(-∞, -1] B、[1, +∞） C、[-1，1] D、（-∞，-1] ∪[1，+∞）
3、已知集合，，，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,则A∩B= （ ）
A、{xx＜1} B、{x－1≤x≤2} C、 {x－1≤x≤1} D、 {x－1≤x＜1}
6、已知集合，，则 （　　）
A、 B、 C、 D、
7、已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=
A、{1,3} B、{3,7,9} C、{3,5,9} D、{3,9}
8、若集合，，则= （ ）
A、 B、 C、 D、
9、若A=，B=，则= （ ）
A、(-1，+∞) B、(-∞，3) C、(-1，3) D、(1，3)
10、集合,,若,则的值为 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、4
12、集合，则= （ ）
A、{1,2} B、{0,1,2} C、{1,2,3} (D、{0,1,2,3}
13、集合，则=（ ）
A、 {1,2} B、 {0,1,2} C、{x|0≤x<3} D、{x|0≤x≤3}
14、若集合A={-2＜＜1}，B={0＜＜2}则集合A∩B=（ ）
A、 {-1＜＜1} B、 {-2＜＜1} C、 {-2＜＜2} D、 {0＜＜1}
15、若集合，则 .
16、设集合A=(x∣log2x<1), B=(X∣<1), 则A= .
17、已知集合，则 .
18．设集合,
, 若则实数m的取值范围是______________.
19、设全集，若，则集合B=__________.
20、若，，则 ．
【课后作业】
1、若集合，则集合 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5， 7，8}，则A∩B等于 （ ）
A、{3，4，5，6，7，8} B、{3，6} C、 {4，7} D、{5，8}
3、若集合，，则等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、设，则=（ ）
A、[0，2] B、 C、 D、
6、若集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
7、已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
9、设集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
10、设则（ ）
A、 B、 C、 D、
11、已知全集，集合，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
12、设集合，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
13、若集合则A∩B是（ ）
A、 B、 C、 D、
14、已知全集，集合，，则= ．
16、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=___________.
18、已知集合，则= .
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