高中数学-机率与统计.doc

第三章 機率與統計
３-１　樣本空間與事件
３-２　機率的性質

機率：機率=。
機率的性質：
P(A) + P(A¢) = 1。
P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)。
　P(A È B È C)
　　= P(A) + P(B) + P(C) – [P(A Ç B) + P(A Ç C) + P(B Ç C)] + P(A Ç B Ç C)。

. 範例1
甲、乙二人玩剪刀、石頭、布的猜拳遊戲，試求：
其樣本空間U及n(U)　不分勝負的事件。
解：令(a, b)表a是甲出的拳，b是乙出的拳，則
　U = {(剪刀,剪刀) , (剪刀,石頭) , (剪刀,布) , (石頭,剪刀) , (石頭,石頭) ,
　　　 (石頭,布) , (布,剪刀) , (布,石頭) , (布,布)}，
　n(U) = 9。
不分勝負的事件為{(剪刀,剪刀) , (石頭,石頭) , (布,布)}。
. 範例2
甲、乙兩人各擲一均勻骰子，約定如下：乙得6點時乙就贏；兩人同點時（非6點），甲贏；其餘情形，則以點數多者為贏。則甲贏的機率為______。 【87自】
解：令樣本空間U = {(a, b) | a是甲擲出的點數，b是乙擲出的點數}，
則n(U) = 6 ´ 6 = 36，其中，甲贏的情形有：
(6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5) ,
(4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (1, 1) ,
共有5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 20種Þ甲贏的機率為。
. 範例3
一副撲克牌52張，拿走J, Q, K花色大牌12張，剩下40張（1點到10點）四種花樣各10張，設機會均等，今從40張中任取5張，求下列機率：
同點數兩張，另外同點數3張，其機率為。
5張點數和為8的機率為。
解：從40張中取出5張的方法共有種，而從40張中取出兩張同點數的方法
　有10 ´種，再取出另外3張同點數的方法有9 ´，由乘法原理得共有
　10 ´´ 9 ´= 2160種，故所求的機率為。
5張點數和為8的有下列情形：
　(1, 1, 1, 1, 4)有= 4種；(1, 1, 1, 2, 3)有= 64種；
　(1, 1, 2, 2, 2)有= 24種；共有4 + 64 + 24 = 92種，故所求的機率為。
. 範例4
將5個數字1, 2, 3, 4, 5全取排成一列作成一個五位數，則此五位數
能被2整除的機率是______ 能被3整除的機率是______
能被4整除的機率是______ 能被15整除的機率是______
大於45000的機率是______。
解：能被2整除Û個位數字是偶數，故能被2整除的有2 ´ 4!個，
　所以為所求。
能被3整除Û數字和是3的倍數，
　因1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15是3的倍數，故所求之機率為= 1。
能被4整除的有：□□□12，□□□24，□□□32，□□□52，
　故共有4 ´ 3!個，所以為所求。
能被15整除的有：□□□□5：4!個，所以為所求。
大於45000的有：5□□□□：4! = 24個，45□□□：3! = 6個，
　故所求之機率為。
. 範例5
有5個指定席及知道自己位置番號的5個人，今這5個人任意地坐此5個指定席，則：5個人都坐在自己的位置的機率為______。
　　　　5個人中恰有3人坐在自己位置的機率為______。
　　　　5個人中恰有2人坐在自己位置的機率為______。
　　　　5個人中恰有1人坐在自己位置的機率為______。
　　　　5個人都不坐在自己位置的機率為______。
解：5個人分別坐在5個坐位的方法有5!，
5個人分別坐在自己位置有1種方法，故所求的機率為。
5個人中恰有3人坐在自己位置的方法有種，故所求的機率為。
5個人中恰有2人坐在自己位置的方法有
　´ (3! -´ 2! +´ 1! -´ 0!) = 20種，故所求機率為。
5個人中恰有1人坐在自己位置的方法有
　´ (4! -´ 3! +´ 2! -´ 1! +´ 0!) = 45種，
　故所求機率為。
5個人都不坐在自己位置的方法有
　5! -´ 4! +´ 3! -´ 2! +´ 1! -´ 0! = 44種，
　故所求機率為。

. 範例6
設A, B為二事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.8，P(A Ç B) = 0.4，試求
P(A È B)　P(A Ç)　p()。
解：P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) = 0.5 + 0.8 – 0.4 = 0.9。
P(A Ç) = P(A) – P(A Ç B) = 0.5 – 0.4 = 0.1。
p() = P() = 1 – P(A È B) = 1 – 0.9 = 0.1。
. 範例7
設A, B為互斥事件，且知P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，則=？
A, B為互斥事件，P(Ç B) = 0.3，P() = 0.5，則P(A) =？ P(B) =？
解：因A, B是互斥事件，所以P(A Ç B) = 0。
　= 1 – P(A Ç B) = 1，
　= 1 – P(A È B) = 1 – P(A) – P(B) + P(A Ç B)
　　　　　　　　　　　　　　　　 = 1 – 0.2 – 0.3 + 0 = 0.5，
　故= 1.5。
因A, B是互斥事件，所以A Ç B = f，所以P(Ç B) = P(B)，故P(B) = 0.3，
　= 1 – P(A È B) = 1 – P(A) – P(B) + P(A Ç B)
　　　　　　　　　　= 1 – P(A) – 0.3 + 0 = 0.7 – P(A)，
　故P(A) = 0.7 – 0.5 = 0.2。

. 範例8
某一工廠生產燈泡，12個裝成一盒。工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取4個來檢查，如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的，則整盒淘汰。若某一盒有5個壞燈泡，則這一盒會被淘汰的機率是　(A)　(B)　(C)　(D)　(E)。
【82社】
解：這一盒不被淘汰Û取出4個都是好燈泡　取出的是3好1壞的燈泡，
因此不被淘汰的燈泡有= 210種，
故這一盒會被淘汰的機率為1 -。
. 範例9
擲一均勻骰子三次，設三次中至少出現一次6點的事件為A，三次中至少出現一次5點的事件為B，則A, B至少有一事件發生的機率為______。
解：n(A) = n(B) = 63 – 53 = 91，
A Ç B中(5, 6,□)有4 ´ 3! = 24個，(5, 5, 6) , (6, 6, 5)有2 ´= 6個，
所以n(A Ç B) = 24 + 6 = 30。
故所求機率為P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) =。

. 範例10
擲一骰子，若點數出現的機率與點數成比例，求出現的點數是偶數的機率。
解：因點數出現的機率與點數成比例，故假設出現1點的機率為p，
則出現2點、3點、4點、5點、6點的機率依次為2p, 3p, 4p, 5p, 6p，
但p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 1，所以p =，
而出現偶數2, 4, 6的事件為互斥事件，
故出現偶數的機率為。

¤ 精 選 類 題 ¤
投擲一顆均勻的六面骰子（即1, 2, 3, 4, 5, 6點出現的機會相等）五次，則恰出現一次1點，二次偶數點的機率為______。 【85夜社】 答：
提示：(1,偶,偶,奇,奇)有1 ´ 3 ´ 3 ´ 2 ´ 2 ´= 23 ´ 33 ´ 5 Þ所求：。
設P1表示丟2個公正硬幣時，恰好出現1個正面的機率，P2表示擲2個均勻骰子，恰好出現1個偶數點的機率，P3表示丟4個公正硬幣時，恰好出現2個正面的機率。試問下列選項何者為真？
(A) P1 = P2 = P3　(B) P1 = P2 > P3　(C) P1 = P3 < P2　
(D) P1 = P3 > P2　(E) P3 > P2 > P1。 【89推甄】 答：(B)
提示：P1 =, P2 =, P3 =。
同時擲三粒骰子，點數和為15的機率為______。 答：
一次擲兩個公正骰子，則出現最大點數為4之機率為______。 答：
同時擲出三粒均勻骰子一次，設A表出現點數和為12點的事件，B表至少有一粒4點之事件，C表恰有一粒為1點之事件，則：
P(A) =？　P(B) =？　P(C) =？ 答：　　
擲三個公正的骰子一次，試求：
三個點數均相異的機率　三個點數的積是5的倍數的機率　
三個點數成等差的機率。 答：　　
從一副52張的撲克牌中抽出兩張，已知每張被抽出之機會均等，
求兩張字碼不同的機率？
求兩張字碼不同但花色相同的機率？ 答：　
從一副撲克牌52張中任取5張，
恰成富而毫斯(Full house)(即同點數的二張，另外同點數的三張)之機率為______
恰成兩對(Two pairs,如AA33K)之機率為______。 答：　
提示：　。
袋中有七個相同的球，分別標示1號、2號、……、7號。若自袋中隨機取出四個球（取出後不再放回），則取出之球上的標號和為奇數的機率為______。
【86社】 答：
某班有50位同學，其中男生有30位，女生20位。某次導師要抽5位同學留下打掃環境，依性別按人數比例作分層抽樣，則班上的男同學張志明被抽中的機率是______。 【89社】 答：
提示：因為男生：女生= 3 : 2，故抽出的5位同學是3個男生，2個女生，而張志明被抽中的情形共有種，故所求之機率為。
一盒中有10個球，球上印有號碼1到10；今由盒中取4球，則4球之號碼中第二大數目是7的機率為______。 【84社】 答：
提示：。
已知編號1, 2,……, 10的十盞路燈中，有三盞是故障的，則編號4與編號5都是故障的機率為______。 【85社】 答：
提示：。
從記有1至9之號碼之9張卡片當中任意取出2張，試求：
二個數目差為偶數的機率為______。
二個數目之積為偶數的機率為______。 答：　
自1, 2, 3, 4,……, 18, 19等19個數中，任意取相異三點，則
此三數的和為3的倍數的機率為______。
此三數能構成“等差數列”的機率為______。
此三數能構成“等比數列”的機率為______。 答：　　
六封寫好的信，任意放入六個寫好收信人及地址的信封內，且一封信僅放入一信封內，則恰有二封信放對信封之機率為______。 答：
四對夫婦共舞，以抽籤方式決定舞伴，結果每一夫皆不以其妻為舞伴的機率為______。 答：
甲、乙、丙、丁、戊、己等六人交換禮物，每人各提供一件禮物集中放在一起，然後再抽籤決定每人應得的禮物。若每人提供之禮物均不相同，求恰有一人抽到自己提供之禮物的機率。 答：
A, B, C, D, E, F六人的名片各一張混在一起，再隨意發給此6人，每人一張，則：
恰有2人得到自己名片之機率為______。
每人皆不得到自己名片之機率為______。 答：　
設事件A發生的機率為，事件B發生的機率為。若以p表事件A或事件B發生的機率，則p值的範圍為何？
(A) p £　(B)< p £　(C)< p <　(D)£ p £　(E) p >。
【87推甄】 答：(D)
提示：p = P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) =- P(A Ç B)，
且0 £ P(A Ç B) £（因P(A Ç B) £ P(A)且P(A Ç B) £ P(B)） Þ£ p £。
設A, B為二事件，且P(A È B) =，P(A¢) =，P(A Ç B) =，則：
P(B) =______　P(A – B) =______。 答：　
提示：P(B) = P(A È B) + P(A Ç B) – P(A) =。
P(A – B) = P(A) – P(A Ç B) =。
設A, B為互斥事件，若P(A) = 0.2，P(B) = 0.4，則
P() =______，P(A Ç) =______。 答：0.8；0.2
投擲一骰子，若點數出現的機率和該點數成正比，又設A = {x | x是偶數}，
B = {x | x是質數，C = {x | x是奇數}，則：
P(A Ç B) =______ 出現是偶數或質數之機率為______。 答： 
提示：P(A) =, P(B) =,
　所以P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) =。
一袋中，有紅球2個，白球4個，青球5個。今從袋中任意取出3球，則
取出之3個球中，至少有2個是青球的機率是______。
取出之3個球是同色球的機率是______。 答：　
設A, B為二事件，若P(A È B) = 0.8，P(A Ç B) = 0.2，P(A Ç) = 0.4，試求P(A)與P(B)。 答：0.6；0.4
投擲一骰子，假設點數出現的機率與該點數成比例。若P(n)表示出現n點的機率，A表出現奇數點的事件，B表出現質數點的事件，則
P(3) =______　P(A È B) =______　P(A – B) =______。
答：　　
擲一均勻骰子三次，設三次中至少出現一次3點的事件為A，三次中至少出現一次5點的事件為B，試求：
P(A Ç B) =______ P(A È B) =______。 答： 
丟一粒均勻骰子3次，設出現之點數依次為x, y, z，
求滿足x + y + z £ 6的機率。 求滿足(x – y)(y – z) = 0的機率。
求滿足x £ y £ z的機率。 答：　　
袋中有三個白球（編號1~3），五個紅球（編號1~5），六個黑球（編號1~6），今由袋中取出兩球，若機會均等，求下列各情形的機率：
同色______　同號______　不同色不同號______。
答：　　
３-３　期望值

　如果做一實驗有k種可能結果，各種結果的報酬分別為m1 , m2 , … , mk，而得到這些報酬的機率分別為P1 , P2 , … , Pk（其中P1 + P2 + … + Pk = 1），則此實驗的期望值為
　　m = m1P1 + m2P2 + … + mkPk。

. 範例1
擲一均勻硬幣三次，若每出現一個正面得5元，一個反面賠2元，則所得總額之期望值為______元。 【85推甄】
解：擲硬幣3次：

Þ其期望值為= 4.5 (元)。

袋子裡有3個球，2個球上標1元，1個球上標5元。從袋中任取2個球，即可得到兩個球所標錢數的總和，則此玩法所得錢數的期望值是____元。 【88推甄】. 範例2

解：因　
故其期望值為(元)。
. 範例3
某市為了籌措經費而發行彩券。該市決定每張彩券的售價為10元；且每發行一百萬張彩券，即附有臺百萬元獎1張，拾萬元獎9張，臺萬元獎90張，壹仟元獎900張。假設某次彩券共發行參百萬張。試問當你購買一張彩券時，你預期會損失______元。 【88社】
解：
Þ購買一張彩券的期望值為
= 3.7 (元)
因為一張彩券的售價為10元，故會損失10 – 3.7 = 6.3 (元)。

設一袋中裝有1個1號球，2個2號球，…，n個n號球，…，25個25號球，
1 £ n £ 25。現自袋中任取一球，設每一個球被取到的機會都相等，而取得n號球可得(100 – n)元。則取到19號球的機率為_____，而任取一球的期望值為_____元。 【80社】. 範例4

解：袋中共有1 + 2 + 3 + 4 + … + 25 =(25 ´ 26) = 325個球，
　今從袋中取出一球，因19號球有19個，故取到19號球的機率為。
任取一球的期望值為
　99 ´+ 98 ´+ 97 ´+ … + 75 ´
　==
　== 83 (元)。
. 範例5
根據統計，台灣地區的青年從18歲活到19歲的機率為0.996，今一位18歲的青年向某保險公司投保為期一年的壽險，保險額為1萬元，保險費是100元，求保險公司獲利的期望值。
解：若此人活到19歲，則保險公司賺了100元，其機率為0.996；
若死了，則保險公司要虧9900元，其機率為0.004；
故公司獲利的期望值為100 ´ 0.996 – 9900 ´ 0.004 = 60 (元)。

. 範例6
數人賭博，其中一人做莊，不作莊的先交給莊家3元，得到擲1個公正銅板1次的權利，規定：擲得正面時，莊家賠5元；擲得反面時，莊家不賠。
不作莊的人的期望值是______，故此種玩法______。（填公平、不公平）
若要玩法公平，當得反面時，莊家應賠______元。
解：E = 5 ´+ 0 ´= 2.5 < 3　故不公平。
設得反面時，賠x元，則5 ´+ x ´= 3，
　所以x = 1，即得反面時，莊家應賠1元。

¤ 精 選 類 題 ¤
同時擲2粒均勻的骰子，試求其點數和的期望值。 答：7
袋中有7個球，其中3個是紅球。今自袋中任取4球，則取得“紅球個數”的期望值為______。 答：
提示：。
將1到5的各數字分別記在5張卡片上，在A, B兩箱各放入一組5張卡片，試求從A, B箱各取一張卡片時，二數和的期望值。 答：6
提示：= 6。
擲3個硬幣，出現3正面可得12元，2正面可得8元，一正面可得4元，為了公平起見，出現三反面時應賠多少元？ 答：48元
一次投擲三個均勻銅板，若出現三個正面，可得8元，二個正面，可得3元，一正面可得1元，為使此遊戲公平，當不出現正面，應付______元。 答：20
假設一個高二學生再活一年的機率為0.9999。某高二學生一學年繳平安保險費60元，若在此學年內不幸意外死亡，由保險公司付給家長20萬元，則此保險公司的期望利潤為______元。 答：40
依照已往經驗，在台灣的25歲年青人，活到26歲的機率為0.992，若某一保險公司出售一年10000元的壽險給25歲年青人，只需繳保險費10元，試求該公司可獲得期望利潤若干？ 答：-70元
袋中有1號籤1支，2號籤2支，3號籤3支，…，n號籤n支，今任抽一支，若抽得r號籤可得r元，問由袋中任抽一支之期望值為多少元？ 答：元
提示：袋中共有1 + 2 + 3 + … + n =支籤，
故其期望值為1 ´+ 2 ´+ … + n ´= … =(元)。
袋中有n號球1個，(n – 1)號球2個，(n – 2)號球3個，…，2號球(n – 1)個，1號球n個，在機會均等的情況下由袋中任取一球，若取得k號球可得k元，求其期望值。 答：元
提示：。
設袋中有1號球70個，2號球69個，…，70號球1個。今自袋中任取一球，若取得r號球，可得(71 – r)元，則得錢之期望值為______元。 答：47
３-４　統計抽樣
３-５　次數分配表

抽樣調查：如何選取一種好的取樣方法是統計上很重要的工作，常用的抽樣方法有
　　　　簡單隨機抽樣法、系統抽樣法、部落抽樣法、分層抽樣法等等。

. 範例1
試解釋下列名詞：母體（母群體）　樣本　抽樣。
解：母體：研究的所有對象所成的集合稱為母體。
樣本：從母體中抽出的部分分子所成的集合，就是樣本。
抽樣：從母體中抽出部分分子做調查，這種方式就稱為抽樣。

. 範例2《簡單隨機抽樣與模擬隨機試驗》
1
140
2
160
3
152
4
142
5
169
6
182
7
168
8
156
9
150
10
162
11
170
12
154
13
150
14
160
15
171
16
178
17
145
18
148
19
163
20
171
21
159
22
157
23
143
24
170
25
162
26
156
27
155
28
148
29
160
30
150
31
154
32
158
33
162
34
147
35
160
36
161
37
170
38
149
39
141
40
162
41
151
42
164
43
165
44
156
45
156
46
157
47
158
48
149
49
162
50
168

隨機號碼表
1758 1489 2774 6033
6430 8803 0478 4157
4893 8857 1717 1533
1516 2733 7326 8674
4950 3171 5756 3036
0549 6775 9360 6639
1018 7027 7569 3838
1602 0708 2201 9729
5840 8381 1549 2741
某班50位同學依照座號列出身高如下： 單位：公分

利用隨機號碼表的第9，10兩行，由第一列開始找出五位
同學的身高，並求其平均值為______。
解：自第9，10行選出的二位數為27 , 04 , 17 , (73) , (57) , (93) , (75) , 22 , 15
我們選出之五位同學，其座號及身高如下表：

其平均值為= 154 (公分)。
某班有57位學生，將每一位學生編一號碼，由1至57止，要抽測五位同學，按系統抽樣法，可以利用隨機號碼表將多出的2位捨去；也可以由1至57隨機抽出一個號碼，若為45，則被抽中的五位學生號碼是______。
. 範例3《系統抽樣》
解：57 = 11 ´ 5 + 2 Þ k = 11
將1至57號排成一環形如右圖，
從45號起，每隔11位選一個號碼，
即45 , 56 , 10 , 21 , 32為所求。

. 範例4《分層抽樣》
成績
人數
80以上
150
60～79
200
60以下
150

某年級數學科成績統計如右：
如右表分三層，用分層隨機抽樣得到十個成績為54 , 47 , 58 ,
76 , 62 , 72 , 70 , 82 , 85 , 91，則該年級平均成績為______。

成績
人數
抽樣成績
抽樣成績平均值
第一層
80以上
150 = N1
82 , 85 , 91
86 =
第二層
60～79
200 = N2
76 , 62 , 72 , 70
70 =
第三層
60以下
150 = N3
54 , 47 , 58
53 =

解：

N = N1 + N2 + N3 = 150 + 200 + 150 = 500
= 86，= 70，= 53，
∴該年級平均成績為
y === 69.7。
. 範例5《部落抽樣》
本班30位學生數學成績如下：

依號碼1～10，11～20，21～30分成三組，以21～30的平均成績代表本班的數學成績，其平均分數為______，又此法為______抽樣。
號 碼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
數學成績
50
60
60
80
40
30
60
70
70
55
20
35
90
80
70
號 碼
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
數學成績
60
40
40
30
100
100
50
40
30
20
80
90
90
80
60

解：[100 + 50 + 40 + 30 + 20 + 80 + 90 + 90 + 80 + 60] = 64 (分)。
部落抽樣。

. 範例6
二年一班50位同學在某次的數學測驗成績如下：
64 73 43 61 58 81 94 74 54 76 88 91 38 49 52 63 78
77 87 73 52 66 71 63 74 56 82 84 77 39 72 57 68 70
80 60 90 86 63 50 61 79 47 51 63 76 79 81 89 75
試作其次數分配表，及累積次數分配表，並說明製作過程。
試將次數分配表以直方圖表之。
試作出次數折線圖與相對次數折線圖。
試作出累積次數分配曲線圖及相對累積次數分配曲線。
解：決定組數：將全部資料分為12組。
決定組距：因為≒4.7，所以取組距為5。
決定組界：因為最小一組的下界£ 38，所以我們定最小一組的下界為35，
　　　　　　上界為40。
歸類畫記：在歸類畫記時，我們採用“每組不含上界的規定”。
計算次數：算出各組的畫記數，並填入表中，而完成了下列的次數分配表。


組別
畫記
次數
以下累積次數
以上累積次數
35～40
||
2
2
50
40～45
|
1
3
48
45～50
||
2
5
47
50～55

5
10
45
55～60
|||
3
13
40
60～65
|||
8
21
37
65～70
||
2
23
29
70～75
||
7
30
27
75～80
|||
8
38
20
80～85

5
43
12
85～90
||||
4
47
7
90～95
|||
3
50
3
計

50

其直方圖為：

因為
組別
次數
相對次數(%)
以下相對累積次數(%)
以上相對累積次數(%)
35～40
2
4
4
100
40～45
1
2
6
96
45～50
2
4
10
94
50～55
5
10
20
90
55～60
3
6
26
80
60～65
8
16
42
74
65～70
2
4
46
58
70～75
7
14
60
54
75～80
8
16
76
40
80～85
5
10
86
24
85～90
4
8
94
14
90～95
3
6
100
6
計
50

　故得次數折線圖與相對次數折線圖為：

次數

. 範例7
右圖為二年甲班學生體重的相對累積次數分配折
線圖，已知各組中人數最少的一組有2人，求：
人數最多的一組有多少人？
體重在50公斤以上（包含50公斤）者占全班
　人數的百分之多少？

解：人數最多的一組是55～60，其相對次數為95% - 65% = 30%，
　而人數最少的一組是60～65，其相對次數為100% - 95% = 5%，
　又人數最少的一組是2人，故人數最多的一組是2人´= 12人。
體重在50公斤以上的人數占全班的百分比為100% - 45% = 55%。
¤ 精 選 類 題 ¤
抽樣調查常用的方法有四：(A)簡單隨機抽樣　(B)系統抽樣　(C)分層隨機抽樣　(D)部落抽樣，下列各問題，分別使用那一種抽樣較適合？
家長會提供10分獎品給本校1500位師生。
建國新村一萬戶自來瓦斯用戶，基於經濟原則，欲調查每月瓦斯平均用量。
高速公路巡邏警員想估計駕駛員不帶駕照比率。
調查某連鎖商店每月的平均銷售貨量。
某眷區的住戶分布在社區內三條巷道的兩邊，想要了解社區全部住戶七、八月
　分的平均水費。
一個水果商想估計某大果園內的橘子個數。今已知果園分成100區，每區內橘
　子數的棵數大致相同，且在同區內每一棵樹長的橘子之個數大略相等，但各區
　間則相差很大。 答：(A)　(D)　(B)　(C)　(D)　(C)
我們知道抽樣調查的常用方法有　(A)簡單隨機抽樣　(B)系統抽樣　(C)分層隨機抽樣　(D)部落抽樣等四種。
抽查燈泡的耐用時間。
抽查市民的所得情形。
基於經濟原則，調查小學生患寄生蟲的狀況。
調查工廠某生產線的品質管制是否良好。
某公寓住宅社區的住戶分住於三棟公寓，想要瞭解社區內全部住戶四月份的平
　均電費。 答：(A)　(C)　(A)　(B)　(D)
以下抽樣方法何者較為適當？　(A)簡單隨機抽樣用於大量的樣本　(B)系統抽樣用於週期性母群體　(C)分層抽樣用於層內個體間的性質差異愈大愈好　(D)部落抽樣用於和部落間差異愈小愈好。 答：(D)
成績
(分)
次數
(人)
相對次數(%)
40～50
2

50～60
5

60～70
8

70～80
12

80～90
9

90～100
4

總計
40

右表是某班學生數學成績的相對次數分配表：
右表“相對次數”欄由上而下分別為______。
不及格者占全班的______%，共有______人。
50～80分者占全班的______%，共有______人。
80分以上者占全班的______%，共有______人。
作其相對次數分配直方圖。
作其相對次數分配折線圖。
作出相對累積次數分配表。
作其相對累積次數分配折線圖。
答：5 , 12.5 , 20 , 30 , 22.5 , 10 , 100　17.5；7　62.5；25　32.5；13
　　 

　　 

組　別
畫記
次數
累積人數
20～30
|
1
1
30～40
|
1
2
40～50
||||
4
6
50～60

5
11
60～70
||
12
23
70～80
||
12
35
80～90

10
45
90～100

5
50

成 績
(分)
次數
(人)
累積次數(人)
相對累積次數(%)
40～50
2
2
5
50～60
5
7
17.5
60～70
8
15
37.5
70～80
12
27
67.5
80～90
9
36
90
90～100
4
40
100
總　計
40
40

某班數學抽考成績如下：
80 70 70 55 85 45 75 60 95 80 75 65 75 30 95 95 80 90 86 80 90 40 75 25 60
70 80 65 60 66 57 73 62 52 73 65 84 73 55 80 66 42 48 63 84 68 70 60 50 70
試將全班成績分成8組，組距10，試作：
成績次數分配表　累積次數分配表　累積次數曲線圖。
答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

下圖所示為某公司應徵人員身高的相對累積次數分配折線圖，若初選的條件
　為身高165公分～180公分，則初選合格的百分比為______%。
承，設應徵人員有250人，問身高在170公分以上而不滿175公分的人數共
　有______人。
承，哪一組的人數最多？ 答：70　50　165～170

圖 圖
上圖為某班全體學生體重的相對次數分配折線圖，則體重不滿50公斤者所占之百分比為______%。 答：65
３-６　平均數
３-７　離差

未分組資料：
算術平均數()：
　設n個數值分為x1 , x2 , … , xn，則其算術平均數為(x1 + x2 + … + xn)。
中位數(Me)：
　n個數值x1 , x2 , … , xn，按其大小順序排列為x(1) £ x(2) £ x(3) £ … £ x(n)。
　若n = 2k + 1，即n為奇數，則第k + 1個數值為中位數，因此
　　Me = x(k + 1) =。
　若n = 2k，即n為偶數，則中間兩數x(k)與x(k + 1)均位置居中，因此一般以此
　　兩數值的算術平均數為中位數，即
　　Me =(x(k) + x(k + 1))。
幾何平均數(G.M.)：
　一組正數資料x1 , x2 , … , xn的幾何平均數（簡寫成G.M.）是定義為
　G.M. =。
眾數(Mo)：
　一組資料中出現次數最多的數，稱為眾數。
　例如：
　2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10的眾數是9。
　2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7的眾數是4和7。
　3, 5, 8, 11, 15, 17，則沒有眾數。
全距(R)：
　全距R = (數值資料中之最大數) – (數值資料中之最小數)。
四分位差(Q.D.)：
　將n個數值資料由小而大依序排列，先求中位數Me，再依此求第1四分位數Q1，
　第3個分位數Q3，則四分位差Q.D. = (Q3 – Q1)。
變異數()與標準差(S)：
　變異數：（又稱樣本變異數）
　　設有一組抽樣資料x1 , x2 , … , xn，則其變異數（或稱樣本變異數）簡寫成，
　　定義為=。
　標準差：（又稱樣本標準差）
　　標準差（或稱樣本標準差）簡寫成S，定義成S =。
　　◎由未分組資料求標準差：
　　　設n個抽樣資料為x1 , x2 , x3 , … , xn，設表x1 , x2 , … , xn之算術平均數
　　　∵=……
　　　　　 ==
　　　　　 ==