浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题（含答案）.docx

2024-2025学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学第一学期高一期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(0,1)，B={x|y= x−1}，则A∪B=(    )
A. ⌀B. (−∞,1]C. {0}∪[1,+∞)D. (0,+∞)
2.下列函数在定义域上为减函数的是(    )
A. f(x)=1xB. f(x)=|1−x|C. f(x)=1−2xD. f(x)=log2(x−1)
3.“1x−1>1”是“x<2”的(    )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知幂函数f(x)=(a2−a−1)xa为偶函数，则a=(    )
A. −1或2B. 2C. −1D. 1
5.声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为I0=10−12(瓦/平方米).在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强I，用声强I与I0比值的常用对数来表示声强I的“声强级数n”，即n=lgI−lgI0，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的(    )
A. 20倍B. lg200倍C. 100倍D. 1000倍
6.已知函数f(x)=14(x+1)2+1,x⩽1,x+4x−3,x>1.若当x∈[m,n]时，1≤f(x)≤2，则n−m的最大值是(    )
A. 4B. 3C. 7D. 5
7.已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+2ex是偶函数，y=f(x)−4ex是奇函数，则f(1)=(    )
A. e+3eB. e−3eC. ex+3exD. 0
8.已知函数f(x)=4x−4−x，若函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[k(4m−1),k(4n−1)]，则实数k的取值范围是(    )
A. (0,+∞)B. (−∞,2)∪(2,+∞)C. (1,2)∪(2,+∞)D. (1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是(    )
A. 命题“∀x，y∈R，x2+2y≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+2y<0”B. f(x)=x−2与g(x)=x2−4x+2是同一个函数C. 函数y=2x+ x−1的值域为[2,+∞)D. 若函数f(x−1)的定义域为[2,5]，则函数f(x)的定义域为[1,4]
10.若a>0，b>0，且2a+b=1，下列结论正确的是(    )
A. ab的最大值为18B. 4a2+b2的最小值为12C. a+b+ab的最大值为1D. 1a+ab+a的最小值为3
11.已知函数f(x)，g(x)的定义域都为R，f(x+3)+f(x)=1，且f(x+1)为偶函数，g(x+2)+g(−x)=4，对于∀x∈[0,2]都有f(x)+g(x)=2x−x3，则(    )
A. 函数g(x)的图象关于(−1,2)对称B. f(−1)=f(3)C. f(x+6)=f(x)D. f(0)g(0)=−79
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2log23+(12)−2=          ．
13.已知函数f(x)=2024x2024x+1，用[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f(x)−1]的值域为          ．
14.已知函数f(x)=(x+bx+a)(ex−e)，当x>0时，f(x)≥0恒成立，则a的最小值为          ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a∈R，A={x|(x−4)(x+a)<0}，B={x|xx−3≥0}
(1)当a=−2时，求集合A;
(2)若A⊆B，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)⋅f(x4)，x∈[1,8]，求函数g(x)的值域．
17.(本小题15分)
经市场调查，某商品在过去30天的日销售量f(t)(件)与日销售价格g(t)(元/件)都是时间t(天)的函数，其中f(t)=t+4(0<t≤30)，g(t)=38−t,0<t<15,2420t2−16+15,15≤t≤30.，每件商品的综合成本为10元．
(1)写出该店日销售利润W与时间t之间的函数关系;
(2)求该店日销售利润W的最大值.(注：销售利润=销售收入−销售成本)
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2ax−1+mx+b(m>0,a>0且a≠1)为奇函数．
(1)求实数b的值;
(2)当0<a<1时，判断f(x)在(0,+∞)的单调性并用定义加以证明;
(3)记g(x)=f(x)−mx，解关于x的不等式g(x)>g(2024x)．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2−|x−a|，g(x)=axx2+4，其中a∈R.
(1)当a=1时，写出f(x)在(0,+∞)上的单调性以及最大值(不用证明);
(2)若a=0，函数m(x)=f2(x)+b⋅2x−1，x∈[−3,0]，是否存在实数b，使得m(x)的最大值为1?若存在，求出b的值，若不存在，说明理由;
(3)设ℎ(x)=g(x),x≥2,4f(x),x<2.，若对∀x1∈[2,+∞)，∃x2∈(−∞,2)，使得ℎ(x1)=ℎ(x2)成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.D 
2.C 
3.A 
4.B 
5.D 
6.C 
7.A 
8.C 
9.ACD 
10.AB 
11.BCD 
12.7 
13.{−1} 
14.−1 
15.解：(1)当a=−2时解不等式(x−4)(x−2)<0，所求的集合A=(2,4)；(2)解得B=(−∞,0]∪(3，+∞)， ①当a=−4时，A=⌀，满足题意，所以a=−4； ②当a>−4时，A=(−a,4)要满足A⊆B，只要−a≥3，解得−4<a≤−3； ③当a<−4时，A=(4,−a)满足A⊆B，解得a<−4，综上，a的取值范围为a≤−3． 
16.解：(1) f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0．当x>0时，f(x)=log2x，所以当x<0时，−x>0，f(x)=−f(−x)=−log2(−x)，所以f(x)=log2x,x>00,x=0−log2(−x),x<0．                  (2) g(x)=(log2x)⋅(log2x4)=(log2x)⋅(log2x−2)，令log2x=t∈[0,3]，问题等价于求y=t2−2t，t∈[0,3]的值域，因为y=t2−2t在t∈[0,1]上单调递减，t∈(1,3]上单调递增，所求值域为[−1,3]，所以函数g(x)的值域为[−1,3]． 
17.解：(1)W=f(t)⋅(g(t)−10)=(t+4)(38−t−10),0<t<15(t+4)(2420t2−16+15−10),15≤t≤30=−t2+24t+112,0<t<152420t−4+5t+20,15≤t≤30;(2)当0<t<15时，W=−t2+24t+112=−(t−12)2+256，当t=12时，W取得最大值，最大值为256，当15≤t≤30时，W=2420t−4+5t+20=2420t−4+5(t−4)+40，令2420t−4=5(t−4)，解得t=26，由对勾函数性质可知W=2420t−4+5(t−4)+40在[15,26)上单调递减，在[26,30]上单调递增，且当t=15时，W=242011+75+20=315，当t=30时，W=242026+150+20=342013，由于315−342013=67513>0，故15≤t≤30时，W的最大值为315，因为315>256，所以该店日销售利润W的最大值为315元． 
18.解：(1)由题意得x≠0，故f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，由f(x)+f(−x)=2ax−1+2b+2a−x−1+mx+(−mx)=0，化简得2(1−ax)ax−1+2b=0，解得b=1;(2)判断：f(x)在(0,+∞)上单调递增，证明如下，设0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2ax1−1−2ax2−1+2m(x1−x2)=2×ax2−ax1(ax1−1)(ax2−1)+2m(x1−x2)，因为m>0，0<a<1，x1<x2，所以ax2<ax1，且ax1<1，ax2<1，ax1−1<0，ax2−1<0，所以ax2−ax1(ax1−1)(ax2−1)<0，2m(x1−x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．(3)因为y=mx为奇函数，所以g(x)为奇函数，当0<a<1时，由(2)解析过程可知，g(x)在(0,+∞)的单调递增，且函数g(x)为奇函数，所以g(x)在(−∞,0)的单调递增，又因为x，2024x同号，所以由g(x)>g(2024x)可得x>2024x，解得x<0，当a>1时，同理可证g(x)在(0,+∞)的单调递减，且函数g(x)为奇函数，所以g(x)在(−∞,0)的单调递减，又因为x，2024x同号，所以由g(x)>g(2024x)可得x<2024x，解得x>0，综上，当0<a<1时，解集为(−∞,0);当a>1时，解集为(0,+∞). 
19.解： (1)当a=1时，f(x)=2−|x−1|在(0,1]上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，当x=1时，f(x)有最大值为1;(2)当x∈[−3,0]时，m(x)=22x+b⋅2x−1，令t=2x∈[18,1]，则y=t2+bt−1=(t+b2)2−b24−1，当−b2≤916即b≥−98时，y=t2+bt−1在[18,1]上有最大值m(1)=1，解得b=1符合；当−b2>916即b<−98时，y=t2+bt−1<0，所以无解;综上，b=1;(3)若对∀x1∈[2,+∞)，∃x2∈(−∞,2)，使得ℎ(x1)=ℎ(x2)成立，即{ℎ(x1)|ℎ(x1)=ax1x12+4}⊆{ℎ(x2)|ℎ(x2)=4·2−|x−a|}， ①当a<0时，g(x)在[2,+∞)上符号是负，而f(x)在(−∞,2)上符号是正的，所以不满足题目的条件; ②当a=0时，当x≥2时，g(x)=0，而f(x)在(−∞,2)上符号为正，所以也不符合条件; ③当0<a<2时，4f(x)max=4>g(x)max=a4，满足题意，所以0<a<2; ④当a≥2时，f(x)=2−|x−a|在(−∞,2)上单调递增，g(x)在[2,+∞)上递减，要满足条件只需4⋅2−|2−a|>a4，即4⋅22−a−a4>0，即4⋅22−a−a4为减函数，又因为a=4时4⋅22−a−a4=0，所以22−a−a4>0的解为2≤a<4，综上，实数a的取值范围为0<a<4． 
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