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2022-2023学年度第二学期期中考试试卷
高一年级数学
总分：150分 时间：120分钟 命题人：
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．若向量，，且，则（ ）
A．B．C．3D．
2．电影《你好，李焕英》于年月日在中国内地上映，创造了连续多日的单日票房冠军．某新闻机构想了解全国人民对《你好，李焕英》的评价，决定从某市个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若个区人口数之比为，且人口最少的一个区抽出人，则这个样本的容量等于（ ）
A．B．C．D．
3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）．
A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B．从2日到5日空气质量越来越好
C．这14天中空气质量指数的中位数是214
D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
4．在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（ ）
A．或B．或C．D．
5．函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和C．和D．和
6．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如下图，数据的分组依次为，，，.若不低于60分的人数是35人，则该班的学生人数是（ ）
A．45B．50C．55D．60
7．已知平面向量，，则（ ）
A．B．3C．D．5
8．已知函数，为了得到函数的图象，可以将的图象（ ）．
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
9．如图，向量，则向量可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
10．在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
11．已知为两个不共线的向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：,则这15人成绩的第80百分位数是________．
14．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取，两点，从，两点分别测得树尖的仰角为，，且，两点之间的距离为，则该树的高度为__________
15．在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则______．
16．已知函数，下列结论你认为正确的是______（填序号）
①函数是偶函数
②函数的最小正周期为
③函数在区间上单调递增
④函数的图像关于直线对称
三、解答题（17小题10分，其余小题每小题12分，共70分）
17．已知，，且与的夹角为.
（1）求.
（2）求.
18．在中，、、所对的边分别为、、，，．
（1）求的值；
（2）若，求．
19．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）已知，的面积为，求边长的值.
20．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：后得到如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）
（2）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则分数段抽取的人数是多少？
21．已知函数.
（1）求函数的最小正周期､单调递增区间；
（2）求函数在的值域.
22．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A；
（2）若，求△ABC周长的取值范围.
高一数学期中测试卷答案
1．C
【分析】直接根据向量垂直，则数量积为0，得到方程，解出即可.
【详解】由题意得，即，解得，
故选：C.
2．D
【分析】这个样本的容量为，则，由此能求出这个样本的容量．
【详解】解：从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．
3个区人口数之比为，且人口最少的一个区抽出100人，
设这个样本的容量为，
则，
解得．
这个样本的容量等于600．
故选：D．
3．B
【分析】根据折线图直接分析各选项.
【详解】A选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A选项错误；
B选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B选项正确；
C选项：这14天中空气质量指数的中位数是，C选项错误；
D选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D选项错误；
故选：B.
4．C
【分析】利用正弦定理求解即可.
【详解】因为，所以，
又因，所以，
所以.
故选：C.
5．D
【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式以及正弦型函数的最值可得解.
【详解】的最小正周期，最大值为．
故选：D.
6．B
【分析】根据频率分布直方图计算的频率，然后根据不低于60分的人数计算即可.
【详解】由题知：不低于60分的频率为：，
又不低于60分的人数是35人，所以该班的学生人数是.
故选：B
7．A
【分析】利用向量坐标计算模长、数量积，再由向量数量积运算律求目标向量的模.
【详解】由题设，
所以.
故选：A
8．B
【分析】由三角函数的平移变化即可得出答案.
【详解】将函数向左平移个单位长度可得.
故选：B.
9．C
【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.
【详解】根据向量运算法则可得，
又，
所以，
故选：C.
10．A
【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，即可判断出结果.
【详解】因为三角形三条边上的高之比为，
所以三角形三条边之比为，即，
不妨设，
则最大角的余弦值为，
因此角为钝角，三角形为钝角三角形.
故选：A.
11．A
【分析】由向量平行可得，由此构造方程组求得结果.
【详解】因为，则即，则
解得：.
故选：A
12．A
【分析】由函数的部分图象，即可求出的值，即可求出结果．
【详解】由图象可知，，所以，
又过点，所以，且
即，所以，即，
又，所以，所以.
故选：A.
13．90.5
【分析】计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案.
【详解】因为，
故这15人成绩的第80百分位数为，
故答案为：90.5
14．
【分析】根据正弦定理求得，再利用锐角三角函数求得树高.
【详解】在中由正弦定理，即，
又，
所以，
所以树高（），
故答案为：
15．##
【分析】直接利用余弦定理即可得到答案.
【详解】由，代入数据得，
化简得，解得（负舍），
故答案为：.
16．①②③
【分析】由已知，先对函数进行化简，得到，即可判断序号①正确；序号②，可通过进行判断；序号③，可根据，，从而判断函数的单调性；序号④，可计算，从而判断其是否是函数的对称轴.
【详解】对于函，
由于，故函数是偶函数，故①正确；
由知，它的周期等于，故②正确；
当时，，所以单调递增，故③正确；
令，则，则不是的对称轴，故④错误．
故选：①②③.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求得，再利用数量积的运算律求解；
（2）先求得，根据向量模的求法，结合数量积的运算律求解.
【详解】（1）解：因为，，且与的夹角为，
所以，
所以
；
（2），
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得，又因为，代入即可求出．
（2）首先得到，再由余弦定理，可得边．
【详解】（1）因为，，
所以由正弦定理得．
（2）因为，，所以．
由余弦定理得，
解得或（舍）．
19．(1)；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理将边角互化，化简可求出角的大小；
（2）根据三角形面积公式及余弦定理即得．
【详解】（1）在中，由正弦定理得：
因为，所以，
从而，又 ，
所以，又，
所以；
（2）在中，，得，
由余弦定理得：．
所以．
20．(1)平均数为，众数为75，中位数为
(2)6
【分析】（1）根据频率分布直方图中众数，平均数，中位数的计算方法解决即可；
（2）由抽取比例为， 分数段人数为18人，即可解决.
【详解】（1）由图可知众数为75，
因为，解得，
设中位数为，
所以，解得，
所以中位数为，
平均数为
（2）因为总人数有60人，抽取20人，
所以抽取比例为，
因为60人中分数段人数为人，
所以分数段抽取的人数是.
21．(1)；递增区间为；
(2).
【分析】（1）根据正弦型函数的周期性及单调性即得；
（2）根据正弦函数的图象和性质即得.
【详解】（1）因为，
所以最小正周期为，
由，可得，
所以函数单调递增区间为：；
（2）由，可得，
所以，
所以函数在上的值域为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，
（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得，进而由三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，，
（2）因为，，所以，故
由正弦定理得：
所以，
所以周长
因为，则，所以
故
求周长的取值范围为.
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