高二数学导数大题练习(详细答案).pdf

高二数学导数部分大题练习1已知函数的图象如图所dxbacbxaxxf)23()(23示（I）求的值；dc,（II）若函数在处的切线方程为，求)(xf2x0113 yx函数的解析式；)(xf（III）在（II）的条件下，函数与的)(xfy mxxfy5)(31图象有三个不同的交点，求的取值范围m2已知函数)(3ln)(Raaxxaxf（I）求函数的单调区间；)(xf（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数)(xf4x,23在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围2)(31)(23mxfxxxg3已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大cbxaxxxf23)(1x值（I）求实数 的取值范围；a（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；9)32()(2axf)(xf（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：)(xfR、81|)sin2()sin2(|ff4已知常数，为自然对数的底数，函数，0aexexfx)(xaxxgln)(2（I）写出的单调递增区间，并证明；)(xfaea（II）讨论函数在区间上零点的个数)(xgy),1(ae高二数学导数部分大题练习5已知函数()ln(1)(1)1f xxk x（I）当时，求函数的最大值；1k()f x（II）若函数没有零点，求实数 的取值范围；()f xk6已知是函数的一个极值点（）2x 2()(23)xf xxaxae 718.2e（I）求实数 的值；a（II）求函数在的最大值和最小值()f x3,23x7已知函数)0,(,ln)2(4)(2aRaxaxxxf（I）当 a=18 时，求函数的单调区间；)(xf（II）求函数在区间上的最小值)(xf,2ee8已知函数在上不具有单调性()(6)lnf xx xax(2,)x（I）求实数 的取值范围；a（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相()fx()f x22()()6g xfxx等正数，不等式恒成立12xx、121238|()()|27g xg xxx高二数学导数部分大题练习9已知函数.1,ln)1(21)(2axaaxxxf（I）讨论函数的单调性；)(xf（II）证明：若.1)()(,),0(,521212121xxxfxfxxxxa有则对任意10已知函数21()ln,()(1),12f xxaxg xaxa（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求(),()f xg x1,3实数 的取值范围；a（II）若，设，求证：当时，(1,(2.71828)aeeL()()()F xf xg x12,1,x xa不等式成立12|()()|1F xF x11设曲线：（），表示导函数C()lnf xxex2.71828e()fx()f x（I）求函数的极值；()f x（II）对于曲线上的不同两点，求证：存在唯一C11(,)A x y22(,)B xy12xx的，使直线的斜率等于0 x12(,)x xAB0()fx12定义，),0(,)1(),(yxxyxFy（I）令函数，写出函数的定义域；22()(3,log(24)f xFxx()f x（II）令函数的图象为曲线 C，若存在实数 b 使得322()(1,log(1)g xFxaxbx曲线 C 在处有斜率为8 的切线，求实数 的取值范围；)14(00 xxa（III）当且时，求证,*x yNxy(,)(,)F x yF y x高二数学导数部分大题练习答案答案1解：函数的导函数为 （2 分）)(xfbacbxaxxf2323)(2（I）由图可知 函数的图象过点（0，3），且)(xf0)1(f得 （4 分）03023233cdbacbad（II）依题意 且 3)2(f5)2(f 534648323412babababa解得 所以 （8 分）6,1ba396)(23xxxxf（III）可转化为：有三9123)(2xxxfmxxxxxx534396223个不等实根，即：与 轴有三个交点；mxxxxg8723x，42381432xxxxxgx32,32432，4，4 xg+0-0+xg增极大值减极小值增 （10 分）mgmg164,276832当且仅当时，有三个交点，01640276832mgmg且故而，为所求 （12 分）276816m2解：（I）（2 分）)0()1()(xxxaxf当,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时xfa当;1,0,1)(,0减区间为的单调增区间为时xfa当 a=1 时，不是单调函数（5 分）)(xf （II）32ln2)(,22343)4(xxxfaaf得（6 分）2)4()(,2)22(31)(223xmxxgxxmxxg2)0(,)3,1()(gxg且上不是单调函数在区间Q（8 分）（10 分）（12 分）.0)3(,0)1(gg,319,3mm)3,319(m3解：（I）,23)(,00)0(2baxxxfcf320)1(abf),323)(1()32(23)(2axxaaxxxf高二数学导数部分大题练习由，因为当时取得极大值，33210)(axxxf或1x所以，所以；31332aa)3,(:的取值范围是a（II）由下表：x)1,(1)332,1(a332 a),332(a)(xf+0-0-)(xf递增极大值2a递减极小值2)32(276aa递增 依题意得：，解得：9)32()32(27622aaa9a所以函数的解析式是：)(xfxxxxf159)(23（III）对任意的实数都有,2sin22,2sin22在区间-2，2有：230368)2(,7)1(,7430368)2(fff,7)1()(fxf的最大值是7430368)2()(fxf的最小值是函数上的最大值与最小值的差等于81，2,2)(在区间xf所以81|)sin2()sin2(|ff4解：（I），得的单调递增区间是，（201)(xexf)(xf),0(分），即（4 分）0a1)0()(fafaaea1aea（II），由，得，列表xaxaxxaxxg)22)(22(22)(0)(xg22ax x)22,0(a22a),22(a)(xg-0+)(xg单调递减极小值单调递增当时，函数取极小值，无极大值22ax)(xgy)2ln1(2)22(aaag由（I），aea22aaeeaa22aea22aea，（8 分）01)1(g0)()(22aeaeaeegaaaa（i）当，即时，函数在区间不存在零点122a20 a)(xgy),1(ae（ii）当，即时122a2a 若，即时，函数在区间不存在零点0)2ln1(2aaea22)(xgy),1(ae高二数学导数部分大题练习 若，即时，函数在区间存在一个零点；0)2ln1(2aaea2)(xgy),1(aeex 若，即时，函数在区间存在两个零点；0)2ln1(2aaea2)(xgy),1(ae综上所述，在上，我们有结论：)(xgy(1,)ae当时，函数无零点；02ae()f x当 时，函数有一个零点；2ae()f x当时，函数有两个零点2ae()f x 5解：（I）当时，1k 2()1xfxx定义域为（1，+），令，当，)(xf()0,2fxx得(1,2),x时()0fx当，(2,),x 时()0fx内是增函数，上是减函数()(1,2)f x 在(2,)在当时，取最大值 2x()f x(2)0f（II）当，函数图象与函数图象有公共点，0k 时ln(1)yx(1)1yk x函数有零点，不合要求；当，()f x0k 时 （6 分）1()11()111kk xkkxkfxkxxx 令，1()0,kfxxk得1(1,),()0,kxfxk时1(1,),()0 xfxk时内是增函数，上是减函数，1()(1,1)f xk在11,)k在的最大值是，()f x1(1)lnfkk 函数没有零点，()f xln0k1k 因此，若函数没有零点，则实数 的取值范围()f xk(1,)k6 解：（I）由可得2()(23)xf xxaxae（4 分）22()(2)(23)(2)3xxxfxxa exaxaexa xae是函数的一个极值点，2x()f x(2)0f，解得 2(5)0ae5a （II）由，得在递增，在递增，0)1)(2()(xexxxf)(xf)1,(),2(由，得在在递减0)(xf)(xf)2,1(是在的最小值；（8 分）2)2(ef()f x3,23x，2347)23(ef3)3(ef)23()3(,0)74(4147)23()3(23233ffeeeeeff在的最大值是 ()f x3,23x3)3(ef7解：（），xxxxfln164)(22 分xxxxxxf)4)(2(21642)(高二数学导数部分大题练习由得，解得或0)(xf0)4)(2(xx4x2x注意到，所以函数的单调递增区间是（4，+）0 x)(xf由得，解得-2 4，0)(xf0)4)(2(xxx注意到，所以函数的单调递减区间是.0 x)(xf4,0(综上所述，函数的单调增区间是（4，+），单调减区间是6 分)(xf4,0(（）在时，,2eexxaxxxfln)2(4)(2所以，xaxxxaxxf242242)(2设axxxg242)(2当时，有=16+42，0a08)2(aa此时，所以，在上单调递增，0)(xg0)(xf)(xf,2ee所以8 分aeeefxf24)()(2min当时，=，0a08)2(2416aa令，即，解得或；0)(xf02422axx221ax221ax令，即，解得.0)(xf02422axx221a221ax若，即 时，221a2ea22)1(2e在区间单调递减，所以.)(xf,2eeaeeefxf244)()(242min若，即时间，2221eae222)1(2)1(2eae在区间上单调递减，在区间上单调递增，)(xf221,ae,221 2ea所以.min)(xf)221(af)221ln()2(322aaaa若，即2时，在区间单调递增，221aea02)1(e)(xf,2ee所以aeeefxf24)()(2min综上所述，当 2时，；a22)1(eaeaxf244)(24min当时，；222)1(2)1(2eae)221ln()2(322)(minaaaaxf当 时，14 分a2)1(2eaeexf24)(2min8解：（I），226()26axxafxxxx在上不具有单调性，在上有正也有负也有 0，()f x(2,)x(2,)x()fx即二次函数在上有零点 （4 分）226yxxa(2,)x是对称轴是，开口向上的抛物线，226yxxa32x 22 26 20ya的实数 的取值范围 a(,4)高二数学导数部分大题练习（II）由（I），22()2ag xxxx方法 1：，2222()()62(0)ag xfxxxxxx，（8 分）4a 323233444244()22axxg xxxxxx设，2344()2h xxx3448124(23)()xh xxxx在是减函数，在增函数，当时，取最小值()h x3(0,)23(,)232x()h x3827从而，函数是增函数，()g x382738()027g xx 38()27yg xx是两个不相等正数，不妨设，则12xx、12xx22113838()()2727g xxg xx，212138()()()27g xg xxx210 xx1212()()3827g xg xxx，即 （12 分）1212()()g xg xxx3827121238|()()|27g xg xxx方法 2：、是曲线上任意两相异点，11(,()M x g x22(,()N x g x()yg x，121222121212()()2()2g xg xxxaxxx xx x12122xxx xQ4a （8 分）12223121212122()422()xxaax xx xx xx x 31212442()x xx x设，令，121,0ttx x32()244MNku ttt()4(32)u ttt由，得由得()0u t2,3t()0u t20,3t 在上是减函数，在上是增函数，()u t)32,0(),32(在处取极小值，所以)(tu32t273838()27u t1212()()g xg xxx3827即 121238|()()|27g xg xxx9（1）的定义域为，)(xf),0(xaxxxaaxxxaaxxf)1)(1(11)(2（i）若，则 故在单调增加2,11aa即.)1()(2xxxf)(xf),0(（ii）若.0)(,)1,1(,21,1,11xfaxaaa时则当故而 单调减少，在（0，a-1），)1,1()(,0)(,),1()1,0(axfxfxax在故时及当 单调增加),1(（iii）若单调增加),1(),1,0(,)1,1()(,2,11aaxfaa在单调减少在同理可得即（II）考虑函数 xxfxg)()(.ln)1(212xxaaxx高二数学导数部分大题练习 由.)11(1)1(121)1()(2aaxaxxaaxxg 由于，从而当时有单调增加在即故),0()(,0)(,5xgxgaa021 xx ,0)()(,0)()(212121xxxfxfxgxg即 故，当时，有1)()(2121xxxfxf210 xx 1)()()()(12122121xxxfxfxxxfxf10解：（I），(),()1afxxg xax函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，(),()f xg x1,3当时，恒成立，即恒1,3x2(1)()()()0axafxg xx2(1)()0axa成立，在时恒成立，或在时恒成立，21aax 1,3x21aax 1,3x，或 91x 1a 9a （II），21()ln,(1)2F xxaxax()(1)()(1)axa xF xxaxx定义域是，即()F x(0,)(1,ae1a 在是增函数，在实际减函数，在是增函数()F x(0,1)(1,)a(,)a 当时，取极大值，1x()F x1(1)2MFa 当时，取极小值，xa()F x21()ln2mF aaaaa，12,1,x xa12|()()|F xF xMmMm设，则，211()ln22G aMmaaa()ln1G aaa，1()1G aa (1,ae()0G a 在是增函数，()ln1G aaa(1,ae()(1)0G aG在也是增函数 211()ln22G aaaa(1,ae，即，()()G aG e2211(1)()1222eG aee 而，22211(1)(3 1)1112222eee ()1G aMm当时，不等式成立 12,1,x xa12|()()|1F xF x11解：（I），得11()0exfxexx1xe当 变化时，与变化情况如下表：x()fx()f xx1(0,)e1e1(,)e()fx0高二数学导数部分大题练习()f x单调递增极大值单调递减当时，取得极大值，没有极小值；1xe()f x1()2fe（II）（方法 1），0()ABfxk2121021lnln()1xxe xxexxx21201ln0 xxxxx即，设20211ln()0 xxxxx2211()ln()xg xxxxx，是的增函数，211211()ln()xg xxxxx1/211()ln10 xxg xx 1()g x1x，；12xx2122222()()ln()0 xg xg xxxxx，是的增函数，222211()ln()xg xxxxx2/221()ln10 xxg xx 2()g x2x，12xx1211111()()ln()0 xg xg xxxxx函数在内有零点，2211()ln()xg xxxxx12(,)x x0 x又，函数在是增函数，22111,ln0 xxxx 2211()ln()xg xxxxx12(,)x x函数在内有唯一零点，命题成立2121()lnxxxg xxx12(,)x x0 x（方法 2），0()ABfxk2121021lnln()1xxe xxexxx即，且唯一020112lnln0 xxxxxx012(,)xx x0 x设，则，2112()lnlng xxxxxxx1121112()lnlng xxxxxxx再设，22()lnlnh xxxxxxx20 xx2()lnln0h xxx在是增函数22()lnlnh xxxxxxx20 xx，同理112()()()0g xh xh x2()0g x方程在有解 2112lnln0 xxxxxx012(,)xx x一次函数在是增函数12(,)x x2112()(lnln)g xxx xxx方程在有唯一解，命题成立（12 分）2112lnln0 xxxxxx012(,)xx x注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分C12解：（I），即 22log(24)0 xx2241xx得函数的定义域是，()f x(1,3)（II）22322()(1,log(1)1,g xFxaxbxxaxbx设曲线处有斜率为8 的切线，00(41)Cxx 在又由题设,23)(,0)1(log2232baxxxgbxaxx高二数学导数部分大题练习存在实数 b 使得 有解，由得1114823020300020bxaxxxbaxx代入得，,238020axxb082020axx有解，200028041xaxx 由（8 分）方法 1：，因为，所以，0082()()axx041x 0082()8,10)()xx当时，存在实数，使得曲线 C 在处有斜率为8 的切10a b)14(00 xx线（10 分）方法 2：得，08)1()1(208)4()4(222aa或 1010,10.aaa或方法 3：是的补集，即 222(4)(4)802(1)(1)80aa 10a（III）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xxxxxhxxxxh由又令，,0),1ln(1)(xxxxxp0)1(11)1(1)(22xxxxxp单调递减.),0)(在xp（12）分0()(0)0,1()0,xp xpxh x当时有当时有单调递减，),1)(在xh，xyyxyxxyyyxxyx)1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1有时 ).,(),(,xyFyxFyxNyx时且当