八年级数学下册正方形导学案.doc

八年级数学下册导学案（二十六）
杨成超
八年级数学下册——正方形导学案
【教学目标】：
1．掌握正方形的定义，理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．
2．掌握正方形的性质定理．
3．正确运用正方形的性质解题．
【教学重难点】：
正方形性质的应用．
【自学指导】：
Ø 学生看P109---P110注意以下问题：
² 矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？
² 正方形从定义看，它既是矩形又是菱形。哪么它又有什么性质呢？
² 正方形四条边有什么关系？四个角呢？对角线呢？
² 正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
² 你能归纳出多少种判定正方形的方法？试一试？
【自学检测】：
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
已知，如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点。求证：△CEF是直角三角形．
1：对角线相等的菱形是正方形吗？
2：对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
3：对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？
4：四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？
5：说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
1.正方形是矩形. （ ）
2.一组邻边相等的平行四边形是正方形. （ ）
3.对角线互相垂直平分的四边形是正方形. （ ）
4.两条对角线相等的菱形是正方形. （ ）
5.正方形对角线的交点到各边的距离相等. （ ）
（1） 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
（2） 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（3） 对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4） 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

1：对角线相等的菱形是正方形吗？
2：对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
3：对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？
4：四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？
5：说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

【师生共同探究，总结】： ．
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ü

ü 正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．
ü 正方形性质：
（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．
ü
ü 正方形的判定方法：

ü

【提高练习】：
1．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．
2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．

3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）．
A． B． C． D．
4．四条边都相等的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对
5．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．

6．如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．

7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）

8．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？

9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）
【作业及其教学反思】：
1. 下列说法错误的是（　 　）
Ａ．两条对角线相等的菱形是正方形 Ｂ．两条对角线相等且垂直平分的四边形是正方形
Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ． 两条对角线垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A．正方形　 B．菱形　 C．矩形　 D．平行四边形
3.已知在□ABCD中，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
4.四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B. AB∥CD，AC=BD
C. AD∥BC，∠A=∠C D. OA=OC，OB=OD，AB=BC
5. 顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是（　 　）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．梯形
6.如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交
于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（ ）
A.平行四边形 B、矩形 C、菱形 D. 正方形
7. 用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．其中一定能拼成的图形是（ ）．
A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤
8.能使平行四边形为正方形的两个条件是 ________ _________
___________________________________________________________ ．（最少填三组）
9.如图，在ABC中∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC,垂足分别为E、F，
求证：四边形CFDE为正方形

10. 如图所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，试说明四边形CEDF为正方形。

A
C
D
B
F
E

11.如图，已知在中，，为边的中点，过点作，垂足分别为.
（1） 求证：；
（2）若，求证：四边形是正方形.

12如图，正方形ABCD中，△EBC是正三角形，求∠EAD的度数。

13如图，正方形ABCD中，G是CD上一点，以CG为边做正方形GFEC，
求证：BG=DE

14如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，BG⊥CE于G交AD于F，
求证：CE=BF。

15分别以三角形ABC两边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE。

16如图，平行四边形ABCD中，△ABE、△BCF是以AB、BC为边的等边三角形，
求证：△DEF是等边三角形。

17如图，正方形ABCD对角线BD、AC交于O，E是OC上一点，AG⊥DE交BD于F，
求证：EF∥DC。

18如图，正方形ABCD对角线AC、BD交于O，DE平分∠ADB，CN⊥DE于N，
求证：OF=AG。

19如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.
（1） AE与BF相等吗？为什么？
（2） AE与BF是否垂直？说明你的理由。

20如图，在正方形ABCD中，取AD、CD边的中点E、F，连接CE、BF交于点G，连接AG。试判断AG与AB是否相等，并说明道理。

21如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。
(1)说明OE=OF的道理；
(2)在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。

教后反思
通过层层铺垫，让学生明确矩形＋邻边相等就是正方形，菱形＋一个直角就是正方形，如何判定图形是矩形或是菱形，前面已经学习过，因此关于正方形的判定是需要一个条件一个条件“叠加”完成的。