江西省2013年中考数学试题及答案.doc

机密★2013年6月19日
江西省2013年初中毕业暨中等学校招生考试
数学试题
说明：
1.本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分.

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）

说明：1．本卷共有七个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．
1.－1的倒数是（ ）．
A．1 B．－1 C．±1 D．0
2.下列计算正确的是（ ）．
A．a2+a2=a5 B．(3a－b)2=9a2－b2 C．a6b÷a2=a3b D．(－ab3)2=a2b6
3.下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：
城市
北京
合肥
南京
哈尔滨
成都
南昌
污染指数
342
163
165
45
227
163
则这组数据的中位数和众数分别是（ ）．
A．164和163 B．105和163 C．105和164 D．163和164
4.如图，直线y=x+a－2与双曲线y=交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．5
5.一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则他的左视图可以是（ ）．

6.若二次涵数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1<x2，图象上有一点M (x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）．
A．a>0 B．b2－4ac≥0 C．x1<x0<x2 D．a(x0－x1)( x0－x2)<0
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7.分解因式x2－4= ．
8.如图△ABC中,∠A=90°点D在AC边上,DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为 ．
9.某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井 冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组是 ．
10.如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接 DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为 ．
11.观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有的个数为 （用含n的代数式表示）．

12.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．
13.如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°,∠F=110°， 则∠DAE的度数为 ．
14.平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是 ．
三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
15.解不等式组并将解集在数轴上表示出来．

16．如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

四、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
17．先化简，再求值：，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．
18．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（ ）．
A．乙抽到一件礼物
B．乙恰好抽到自己带来的礼物
C．乙没有抽到自己带来的礼物
D．只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．

五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(x>0)的图象和矩形ABCD的第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6) ．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．

20．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml的矿泉水，会后对所发矿泉水的情况进行统计，大至可分为四种：A．全部喝完；B．喝剩约；C．喝剩约一半；D．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中D所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；（计算结果请保留整数）．
（2）若开瓶不但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？
（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60人，每次会议人数约在40至60人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有多少瓶？（可使用科学计算器）

21．如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm,∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．
（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）
（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）
（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学计算器）

22．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）求点B的坐标；
（3）求直线AB的解析式．

七、（本大题共2小题，第23题10分，第24 题12分，共22分）
23．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
　　●操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）
①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探索：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．
答： ．

24．已知抛物线y n=-(x-an)2+an（n为正整数，且0<a1<a2<…<an）与x轴的交点为An-1（bn-1,0）和An(bn，0)，当n=1时，第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．
（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为（ ， ）；
依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ ， ）;
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是 ；
（3）探究下列结论：
①若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出An-1An；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．
1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7.(x+2)(x－2) 8.65° 9. 10. 11. (n+1)2 12.x2－5x+6=0
13.25° 14. 2，3，4
三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
15.解：由x+2≥1得x≥－1，
由2x+6－3x得x<3，
∴不等式组的解集为－1≤x<3．
将解集在数轴上表示为:

16.解：在图1中，点P即为所求；在图2中，CD即为所求．

四、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
17.解：原式=·+1
=
=．
当x=1时，原式=.
18.解：（1）A
（2）依题意可画树状图（下列两种方式均可）：

（直接列举出6种可能结果也可）
符合题意的只有两种情况：
①乙丙甲②丙甲乙（按左图）
或①（甲乙），（乙丙），（丙甲）；②（甲丙），（乙甲），（丙乙）（按右图）
∴P(A)== ．
五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19.解：（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）
如图，矩形ABCD平移后得到矩形A′B′C′D′，
设平移距离为a，则A′（2，6－a），C′（6，4－a）
∵点A′，点C′在y=的图象上，
∴2(6－a)=6(4－a)，
解得a=3，
∴点A′（2，3），
∴反比例函数的解析式为．
20.解：（1）根据所给扇形统计图可知，喝剩约的人数是总人数的50%，
∴25÷50%=50，参加这次会议的总人数为50人，
∵×360°=360°，
∴D所在扇形圆心角的度数为36°，
初全条形统计图如右；
（2）根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为：
(25××500+10×500×+5×500)÷50
=÷50≈183毫升；
（3）该单位每年参加此类会议的总人数约为24000人~3600人，则浪费矿泉水约为
3000×183÷500=1098瓶．

六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.解：（1）雨刮杆AB旋转的最大解度为180° ．
连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH噗，
∵∠OAB=120°，
∴∠OAE=60°
在Rt△OAE中，
∵∠OAE=60°，OA=10，
∴sin∠OAE==，
∴OE=5，
∴AE=5
∴EB=AE+AB=53，
在Rt△OEB中，
∵OE=5，EB=53，
∴OB===2≈53.70；
（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，
∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△DCO，（直接证明全等得到面积相等的也给相应的分值）
∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=π(OB2－OA2) =1392π
22.解：（1）证明：依题意可知，A（0，2）
∵A（0，2），P（4，2），
∴AP∥x轴，
∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC
∴△OBC≌△PEC
∴OC=PC
（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）
设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，
∴x2=(4－x)2+22，解得x=，
∴BC=CE=4－=，
∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=
∴OD===，
由点B在第四象限可知B（，）；
解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC
∴△OBC≌△PEC
∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）
设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC2=CE2PE2,
∴x2=(4－x)2+22，解得x=，
∴BC=CE=4－=，
∵BD∥x轴，
∴∠COB=∠OBD，
又∵∠OBC=∠BDO=90°，
∴△OBC∽△BDO， ∴==，
即==，
∴BD=，OD=，
由点B在第四象限可知B（，）；
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由A（0，2），B（，），可得；
解得∴直线AB的解析式为y=－2x+2．
七、（本大题共2小题，第23题10分，第24 题12分，共22分）
23.解：
●操作发现：①②③④
答：MD=ME，MD⊥ME，
先证MD=ME；
如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MF=AC，
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，
∴EG⊥AC且EG=AC，
∴MF=EG，
同理可证DF=MG，
∵MF∥AC，
∠MFA=∠BAC=180°
同事可得∠MGA+∠BAC=180°，
∴∠MFA=∠MGA，
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°，
同理可得∠DFA=90°，
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，
即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，
再证MD⊥ME；
证法一：∵MG∥AB，
∴∠MFA+∠FMG=180°，
又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF，
∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°，
其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，
∴∠DME=90°，
即MD⊥ME；
证法二：如图2，MD与AB交于点H，
∵AB∥MG，
∴∠DHA=∠DMG，
又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH
即∠DHA=∠FDM+90°
∵∠DMG=∠DME+∠GME，
∴∠DME=90°
即MD⊥ME；
●类比探究
答：等腰直角三解形

24.解：（1）∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），
∴―a12+ a1=0，∴a1=0或1，
由已知可知a1>0，
∴a1=1，
即y1=―(x―1)2+1
方法一：令y1=0代入得：―(x―1)2+1=0，
∴x1=0，x2=2，
∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）
∴b1=2，
方法二：∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），
∴―(b1―1)2+1=0，b1=2或0，b1=0（舍去），
∴b1=2，
又∴抛物线y2=―(x―a2)2+a2与x轴交于点A1（2，0），
∴―(2―a2)2+ a2=0，
∴a2=1或4，∵a2> a1，∴a2=1（舍去），
∴取a2=4，抛物线y2=―(x―4)2+4．
（2）（9，9）；
（n2，n2）
y=x．
详解如下：
∵抛物线y2=―(x―4)2+4令y2=0代入得：―(x―4)2+4=0，
∴x1=2，x2=6，
∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0），
又∵抛物线y3=―(x―a3)2+a3与x轴交于A2（6，0），
∴―(6―a3)2+a3=0
∴a3=4或9，∵a3> a3，∴a3=4（舍去），
只取a3=9，招物线y3的顶点坐标为（9，9），
∵由y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），抛物线y3的的顶点坐标为（9，9），
依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）．
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；
③∵A0（0，0），A1（2，0），
∴A0 A1=2，
又∵yn=―(x―n2)2+n2，
令yn=0，
∴―(x―n2)2+n2=0，
即x1=n2+n，x2=n2－n，
∴A n－1(n2－n，0)，A n(n2+n，0)，即A n－1 A n=( n2+n)－( n2－n)=2 n
②存在，
是平行于y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x－2．