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XX高中数学青年教师基本功大赛（笔试）试题
（考试时间120分钟 满分200分）

一、 基础知识（30分）

1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。
2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是 。
3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 函数都可以化成或者的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。
4、《江苏省2010年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 这五个能力。
5、《江苏省2010年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、 三个层次（分别对应A、B、C）
6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、 。

二、 解题能力（90分）

1、函数的单调增区间为 。
2、设复数为纯虚数,则= ．
3、已知满足条件，则的取值范围是_______________．

4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有 辆．
5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 ．
开始

输出
结束
否
是

0.04

0.02
0.01
0
40 50 60 70 80 时速
频率
组距

第4图

第5图

6、已知P和Q分别是函数和函数上关于直线对称的两点，则线段PQ长度的最小值为

7、(本题满分15分)
试证明定理：
在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

8、(本题满分15分)
△ABC中，BC=10，AB=c，AC=b，∠ABC=θ，， 且
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）①试用θ（不含b，c）表示△ABC的面积；
②试用b，c（不含θ）表示△ABC的面积；
（Ⅲ）求△ABC面积的最大值．

9、(本题满分15分)
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2 (a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线切于点P，设
O

P
（Ⅰ）将（O为坐标原点）的面积S表示成的函数；
（Ⅱ）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值．

10、(本题满分15分)
将曲线绕原点逆时针旋转得曲线，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参数方程的知识，求曲线的方程。

三、 教学设计 （80分）
将曲线绕原点逆时针旋转得曲线，求曲线的方程。

1、 评析上题并作拓展（至少阐述三点）（15分）
2、 评讲上题时需运用高中数学新课程改革的哪些基本理念？（至少阐述三点）（15分）
3、 针对上题设计一节（或片段）习题讲评课的教学设计（不等少于500字）（50分）

XX高中数学青年教师基本功大赛（笔试）试题参考答案

一、 基础知识（30分）
1、笛卡尔
2、祖暅 、两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等
3、叠加 4、数据处理 5、掌握 6、情感、态度和价值观

二、 解题能力（90分）
1、 2、1 3、[3，9] 4、360 5、5 6、

7、已知：（略）
求证：（略）（5分）
证明：（略）（详见必修2 P25 ）（10分）

8、（Ⅰ）（5分）
（Ⅱ），（5分）
（Ⅲ）（5分）

9、（1），切线的斜率为，切线的方程为
令得
,令,得
的面积 （7分）
(2)
,由,得
当时,
当时,

已知在处, ,故有
故当时, （8分）

10、 法一、根据矩阵知识，旋转变换
，
代入可得
（8分）
法二：根据极坐标知识
，（7分）

三、 教学设计（80分）
1、①该题源于4-2矩阵与变换，只要记住旋转矩阵
②该题本质：找出变换前后新、旧坐标关系，因而既可以用直角坐标，也可以用极坐标
③一题多解、提高解题能力
④反思结论是双曲线标准方程，说明确实是双曲线
⑤变式：（i）求双曲线的焦点坐标。（先求的焦点坐标，再顺时针旋转可得）
（ii）能否用其他方法证明是双曲线。（双曲线定义）
（注：每个结论5分，其它答案酌情给分，但不超过15分）
2、（i）提供多样课程、适应个性选择
（ii）强调本质，注意适度形式化
（iii）注意提高学生的思维能力
（iv）倡导积极主动、勇于探索的学习方式
（v）与时俱进地认识“双基”
（注：每个结论5分，其它答案酌情给分，但不超过15分）
3、教学设计评分见附件二 （50分）