电介质物理学.doc

电 介 质 物 理 学

绪 论
电介质(dielectric)是在电场作用下具有极化能力并能在其中长期存在电场的一种物质。电介质具有极化能力和其中能够长期存在电场这种性质是电介质的基本属性．也是电介质多种实际应用(如储存静电能)的基础。静电场中电介质内部能够存在电场这一事实，已在静电学中应用高斯定理得到了证明，电介质的这一特性有别于金属导体材料，因为在静电平衡态导体内部的电场是等于零的。
如果运用现代固体物理的能带理论来定义电介质，则可将电介质定义为这样一种物质：它的能级图中基态被占满．基态与第一激发态之间被比较宽的禁带隔开，以致电子从正常态激发到相对于导带所必须的能量，大到可使电介质变到破坏。电介质的能带结构可以用图一示意，为了便于将电介质的能带结构和半导体、导体的能带结构相比较，图中分别画出了它们的能带结构示意图．

电介质对电场的响应特性不同于金属导体。金属的特点是电子的共有化，体内有自由载流子，从而决定了金属具有良好的导电件，它们以传导方式来传递电的作用和影响。然而，在电介质体内，一股情况下只具有被束缚着的电荷。在电场的作用下，将不能以传导方式而只能以感应的方式，即以正、负电荷受电场驱使形成正、负电荷中心不相重合的电极化方式来传递和记录电的影响。尽管对不同种类的电介质，电极化的机制各不相同，然而，以电极化方式响应电场的作用，却是共同的。正因为如此 研究电介质在电场作用下发生极化的物理过程并导出相应的规律，是电介质物理的一个重要课题。
由上所述，电介质体内一般没有自由电荷，具有良好的绝缘性能。在工程应用上，常在需要将电路中具有不同电势的导体彼此隔开的地方使用电介质材料，就是利用介质的绝缘特性，从这个意义上讲，电介质又可称为绝缘材料(Insulating material)或绝缘体(insulator)。
与理想电介质不同，工程上实际电介质在电场作用下存在泄漏电流相电能的耗散以及在强电场下还可能导致电介质的破坏。因此，如果将电介质物理看成是一种技术物理，那么除要研究极化外，还要研究有关电介质的电导、损耗以及击穿特性，这些就是电介质物理需要研究的主要问题。
电介质种类繁多，组成物质结构亦千差万别，我们可以从不同角度对电介质进行分类。
按物质组成特性．可将电介质分为无机电介质(如云母、玻璃、陶瓷等)和有机电介质(如矿物油、纸以及其它有机高分子聚合物等)两大类；
按照物质的聚集态，则可将电介质分为气体介质(如空气)、液体介质(如电容器油)以及固体介质(如涤纶薄膜)三大类；
若按组成物质原子排列的有序化程度分类，便可将电介质分成晶体电介质(如石英晶体)和非晶态电介质(如玻璃、塑科)，前者表现为长程有序，而后者只表现为短程有序。
在工程应用上，还常常按照组成电介质的分子电荷在空间分布的情况进行分类。按此分类方法，一般将电介质分为极性电介质和非极性(中性)电介质。当无外电场作用时，介质由正、负电荷中心相重合的中性分子组成，这样的介质即为非极性(中性)介质，如聚四氟乙烯薄膜、变压器油等；若由正、负电荷中心不相重合的极性分于组成，这样的介质即为极性介质，如电容器纸的主要放分——纤维素以及聚氯乙烯薄膜等。其中聚四氟乙烯和纤维素的分子结构具有一定的代表性。
聚四氟乙烯的分子结构：

最后，如按照介质组成成分的均匀度进行分类，又可将电介质分为均匀介质(如聚苯乙烯)和非均匀介质(如电容器纸—聚苯乙烯薄膜复合介质)。
尽管可能还有别的分类方法，如将介质分成块状介质和膜状介质等，但常用的分类方法即如上述列举的那几种。
分类研究电介质，有利于将电介质性能的研究，统一在某种物质共同属性的基础之上，以便总结出宏观介电性能与微观材料结构、组成之间相互关联的规律。
电介质物理是以电介质为研究对象的一门学科，它从物理学中分离出来并成为一个独立分支是最近几十年的事，其研究内容主要是揭示电介质基本特性(电极化、电导、介质损耗以及电介质击穿)的物理本质；探讨电介质在电场作用下所发生的物理过程与电介质的结构、组成之间关系的规律性，这种规律性给生产、研究人员提供制造、选用、研究以及开发电介质的科学依据。
电介质物理所涉及的内容，除上述外，还应包括对电介质其它特性的研究，如压电性、光弹特性等，但本书的重点将选择前述那些基础性内容，而对压电性、光弹性方面的内容仅作—般介绍，不作深入讨论，这一点，只要我们注意到下面的事，即：后者实际上已逐渐形成专门的学科分支，例如“压电学”， 那么相信读者是能够自然地接受本书对诸有关内容的安排与处理的。
电介质物理是从事电子元器件生产、试制、研究领域内科技工作人员的必备基础理论，同时也为电子学其它领域以及航天、航空、电力、能源工程领城内从事科技工作的人员提供了重要的参考知识。对于开展科题研究及实施工程继续救育来说，均具有—定的指导价值。
电介质物理的发展，同样经历了与社会的科学技术一样的又分化又综合的过程。虽然，它巳成为一门独立学科，但近代明显地表现为与其它学科(如晶体学、高分子材料学等)及技术应用科学交叉发展的趋势，在这样的趋势驱动之下，电介质物理的研究内容与范围正在日益扩大，例如，目前在晶体电介质应用于光电子学器件中的研究十分活跃，不少人在探索掺杂铌酸锂晶体的光电子特性；对功能电介质的研究亦同样受到重视，例如，探索陶瓷体内晶粒间的晶界效应，以实现敏感元件或发展高容量微小型陶瓷电容器而深入研究SrTiO3陶瓷晶界层电容器；在将陶瓷介质应用于x波段和毫米波微波通信、卫星直播电视方面，亦开展了令人瞩目的研究。这些研究逐步揭示了具有通式Ba()O3的钙钛矿结构复合氧化物由瓷介质材料的微波介电性能，此外，对高聚物及有机复合材料的介电特性研究及应用研究(压电、热释电等多功能应用)亦是电介质物理今后研究方向之一。所有这些研究动向，都表明了电介质物理学科的发展，正沿着内容不断深入，研究范围不断扩大的方向不断取得新的成果，且明显地表现为电介质物理、电介质材料及电介质的应用交叉发展以及一般电介质与功能电介质交叉发展的总趋势。

第一章 恒定电场中电介质的极化

本章内容提要
本章重点研究电介质在恒定电场作用下，所发生的电极化过程。全章采用的主要研究方法是先给出必要的静电学基本定律和公式，在此基础之上从宏观与微观两种角度，分析与讨论电介质极化的共同规律，然后，结合其体物质结构类型，分别讨论各种形式极化的机理并导出各自所遵循的规律。重点在于了解宏观极化特性与微观物质结构及组成之间的联系，以揭示相应物理现象的本质。从工程应用角度，还详细介绍了若干极化理论、公式的适用范围， 以帮助读者在实际工作中正确应用理论与公式，同时掌握相应的物理概念。
电介质作为一类重要的电子材料．广泛应用于各种电子、电工仪器设备中，它的性质决定于在电场作用下其物质内所发生的物理现象和过程。在远离击穿强度的电场作用下工作的电介质，通常可用两个基本参数来表征：介电常数ε和电导率σ(或交流电压下的tgδ值)。这些基本参数的大小，就是对在电场作用下电介质所发生的物理现象的定量评价，其中介电常数ε是表征电介质极化的基本物理量。
研究电介质的极化过程，广泛涉及到静电学定律和有关物质结构的知识，以探求极化与物质结构间的关系．
§1.1 静电学基本定律
1.1.1 电荷系的作用力、电场和电势
若有两个点电荷ql和q2，彼此相距r，则根据库仑定律，其间的作用力为：
（1-1）
式中εr为相对介电常数；K为比例常数，其大小与所采用的单化制有关，在国际单位制中，由实验测定的值为。但在实际问题中，直接应用库仑定律的机会铰少，常用其推导出来的公式。为简化起见，将K写成

，称为真空介电常数。
任一电荷系统的周围均有库仑力F的作用，其能影响的区域称为电场。设有—点电荷Q，在距离该点电荷为r处的电场强度为
（1-2）
一组电荷所产生的电场具有叠加性质，如果有点电荷q1与q 2，其在P点所产生的电场强度分别为E 1与E 2，于是，P点的总的电场强度成为：。推广之，若有几个点电荷共同作用于P点，则P点的总的电场强度变为各个点电荷分别作用在P点的电场强度的矢量和．即：
（1-3）
这种“电场叠加定理”对下面分析电介质中电场的作用十分有用。
在静电学中，电场强度可以理解为电势的梯度，因此，与一个点电荷Q相距r处的电势即可表示为
（1-4）
电势φ的单位为伏特。一组电荷所产生的电势是出其中各个电荷所产生的。了解如何计算组成物质的各种电荷所产生的电势是非常重要的，因为电介质的许多电学性质的讨论都是与电势计算相关联的。
1.1.2 高斯定理与两个平行极板间的电场
电场强度是矢量，若能设法变为标量(如电荷或电荷密度)来解决电场问题将方便得多，高斯定理正是实现这一变换的重要公式。设所取曲面包围的区城内没有电荷，那么，从曲面一例进入的任何一条电力线，一定在曲面上其它一点离开曲面、只有当这空间区域内有电荷存在时，电力线才能发自或终止这一空间区域内，此时严格的数学表述为
（1-5）
式中EldA＝EcosθdA为垂直穿过曲面上任—面积元dA的电通量。因此，式(1-5)可表述为：穿出一个闭合曲面的总的电通量是与该曲面所包围的电荷且成正比的，代入K值后。式(1-5)可写成分 。这一表达式运用于单一电荷。如对任何电荷分布要写出其表达式，只须将此式加以推广，即

因为电位移D＝ε。εr E，将此关系式代人式(1—5)并计及有介质的情况，即得到

高斯定律与库仑定律均根据相同实验结果得出，但由于高斯定理的各个表达式的右端只涉及标量(电荷量q或电荷密度p)故在许多情形下用以解决电场问题是要方便得多的。
作为高斯定理的具体应用．可以方便地计算出“无限大”的均匀带电平行极板间的电场。平行极板系统的电场分布示于图两片均匀带电极板各自的电场如图1-2所示．

现取出两片极板中的任何一片极板．利用高斯定理来计算均匀带电平面的电场。
作一封闭圆柱面．经过平面的中部(见图l—3)，轴线和平面正交，底面积为A。显而易见，通过圆柱的曲面部分的电通量是等于零的．而通过两底面的电位移线均与底面正交，且都是向外的。
设E为两底面上的场强．则通过两底面的电通量，等于通过整个封闭面的电通量，为：EA十EA．柱面所包围的电荷为σ0A(σ0为每单位面积上的电荷．称为电荷面密度，由于均匀带电，此面的σ0处处相等)，按照高斯定理得

所以

由式(1-8)算出的场强，实际上是一个极板单独产生的场强．即相当于EA或EB。现在再计算图1-2所示两个平行极板间的电场。显然，两平板所产生的电场E是每一平板单独产生的场强EA和EB的矢量和：

在两平板间，EA和EB都从A板(荷正电)指向B板(荷负电) 故总的场强为

在两平板的外侧，EA和EB是反方向的 所以总电场强度为

由此可见，均匀地分别带有正、负电的两平行极板，只要板面的线度远大于两极板间的距离时，除了边缘附近以外，电场全部集中两极板之间而且是均匀场，其强度为σ／ε。(真空中)。

§l.2 介电常数和介质极化
1.2.1 介电常数
电介质(Dielectric)有着广泛的应用，但用得最多的还是 利用它来组成电容器。电容器 (Capacitor)是由两片金属极板和夹于其间的电介质组成的，如图1-4所示。

电容器的电容量(Capacitance)与极板尺寸及其间电介质的介电性质有关，对图1—4所示的最简单的平板极板电容来说，其电容量为

在SI单位制中，电介质的介电常数(Dielectric Constant)为ε，且，εr为电介质的相对介电常数 (Relative dielectric constant)，它是一个纯数。极间距离d和极板面积A分别以米、米2表示，则出式(1-10)决定的电容量单位为法拉。
在CGS制中，，故式中ε即代表电介质的介电常数， 而d与A分别以cm与cm2表示，故电容量C在CGS制中的单位是厘米，l厘米＝1.11×10-12法拉。
估计一下电介质的存在对电容量的影响。设采用同样几何形状、尺寸的电极系统(d与A不变)，考虑两种情形下的电容量；
两极板间充满电介质，电容虽为C1；两极板间处于真空，电容量为C0。由式(1-10)，(SI) ，(真空下 εr＝1)。于是

由此可以得到结论：当以电介质代替真空，电容器的电容量将增大，增大的倍数就是该电介质的相对介电常数εr。从这个意义上说，相对介电常数就是相对电容率(Relative Permittivlty)，它是一个无量纲的大于1的纯数。例如，当以云母片充填在两极板间．则同样电极系统下的电容量将增大7倍(云母的相对介电系数εr为7)。
为了方便起见，我们在下面将把εr写成ε．并把相对介电常数缩略为介电常数。介电常数ε是综合反映电介质极化行为的宏观物理量。电介质在电场作用下的极化能力愈强，其介电常数ε值则愈大，在相同尺寸的电极系统中，用ε大的电介质组成电容器的电容量亦愈 大。反之，若做成相同电容量的电容器，则用ε大的电介质比用ε小的电介质做成的电容器体积要小，这对于现代电子工业所要求的小型化有着重要的意义。常见的一些电介质的介电常数见表1一l。
1.2.2 电极化强度
当电介质置于外电场作用之下，例如，将电容器的两个极板分别接到电源正极和负极时，只要两极间夹持有电介质，那么，电介质在电场作用下发生的一个重要物理过程便是电介质的极化 (Polarization)。极化的宏观特征是；电介质贴近极板的两个表面上中现与相邻极板所带电荷异号的束缚电荷，即与正极板贴紧的介质表面上以现负电荷，与负极板贴紧的介质表面上出现正电荷，如图1-5所示。

束缚电荷的出现，产生了以下两种结果：
(1)由于束缚电荷与邻近极板上的自由电荷（由电源供给）异号，因此，在电的作用上束缚电荷实际上抵消了极板上的一部分自由电荷。如该系统为恒压系统．若要保持两极板间电压恒定，电源则势必向极板多提供部分电荷以补偿异号束缚电荷的抵消作用，这样一来任何一个极板上所储存的总的电荷将有所增加。设极板上储存的总的电荷为Q．电荷面密度为σ，则有

式中包含了三种电荷，即总电荷或真实电荷 (total Charge or ture charge)，Q、σ；自由电荷(free charge)，Q。、σ。，束缚电荷(bound charge)，Q’σ‘．
根据电容最的定义．应有

或
当两极板间没有介质而为真空时，，，此时的电容量为 或 。于是由式(1-1)得到

式中，V为电压。
由式(1-13)，可知，由于介质极化出现了束缚电荷，使维持恒定电压的电容器极板上储存了更多的电荷，这就是工程上利用介质电容器作为储能元件的理论依据。在静电学中，储能的大小可由静电能密度方程的积分形式来表示，即：。
(2)束缚电荷的出现，是介质极化的宏观标志。在定量方面，介质极化可以这样来描述：
对于由彼此相距为l的二个异号电荷±q组成的电偶极子，可以用偶极矩表示其极性强弱，偶极矩定义为偶极矩的方向规定为由负电荷指向正电荷。在介质理论中，常用偶极矩的大小来表示组成介质的分子所具有的极化特性．
研究介质宏观极化特性的方法，无疑应将电介质作为整体对待而暂时撇开电介质的微观分子结构。如果设极化了的电介质每单位体积的偶极矩为P．则

根据统计平均的概念 可以认为电介质中的每一分子都具有相同的平均值μ，于是式(1-15)即可写成

式中，N为电介质每单位体积中的分子数，P就称为极化强度(Polarization)。
正如上述，束缚电荷(σ‘)的出现，标志着介质的极化，而此时已经引出极化强度P作为介质极化的宏观物理量，因此，σ‘与P之间以及ε与P之间必有某种联系。
可以说明，当电介质表面的法线与电场方向成θ角时．P与σ‘在数值上有如下关系：

特殊地，当介质表面法线与电场方向平行时，即有
P＝σ‘ (1－18)
将式(1—9)代入式(1一13)得

于是
计及式（1－18），得

由于，故上述这一关系式与静电学中对电感应强度(或电位移)D的定义式是完全一致的。这一关系式在SI制中，对各向同性电介质是普遍适用的，但如果选用CGSE制，则应改写为。如果是各向异性的晶体介质，则此关
系式是不适用的。
有时为了研究上的方便，还引出极化系数(Susceptibility)的量，它也是用来反映介质宏现极化特性的，记为χ。实际上极化系数是由式(1-20)引出的一个量，只须令ε－1＝χ，

或

式(1－22)表明感应极化强度与外加电场强度只有线性关系．通常将具有这种线性关系的电介质称为线性电介质，以区别于非线性电介质，后者如为铁电晶休介质，在P与E之间是不存在这种线性关系的。
最后，值得指出的是：由于在与两带电极板贴紧的两个介质表面上出现了束缚电荷，它们实际上形成了一种所谓“退极比电场”(Depolarization field)，记为Ed。之所以称为退极化电场，是因为在电介质内部它趋向于对抗外电场，如图1－6所示。图中极化强度P的方向，应与分子偶极矩μ的规定的方向一致即从负的束缚电荷指向正的束缚电荷。
1.2.3 极化的微观描述
不言而喻，要从微观角度来考察介质极化的起源，必然地要联系组成电介质的分子．原子结构状况。一般可考察如图l一7所示的四种最基本的极化单元模型。

图l一7(a)情形，表示在没有受到电场作用时，组成电介质的分于或原子．其中原子核所带正电荷的中心与绕核分布的电子所带负电荷的中心相重合，对外呈中性。但当介质受到电场作用时，其中每个分子或原子中的正、负电荷中心产生相对位移，由中性分子或原子变成了偶极子。具有这类极化机制的极化形式称为电子位移极化或电子形变极化，“形变极化”一词用来说明在电场作用下，电子云发生形变而导致正、负电荷中心分离的物理过程。
图1－7(b)情形．表示由不同原子(或离子)组成的分子，如离子晶体中由正离子与负离子组成的结构单元，在无电场作用时，离子处于正常结点位置并对外保持电中性。但在电场作用下，正 、负离子产生相对位移(正离于沿电场方向移动，负离子逆电场方向移动)，破坏了原先呈中性分布的状态。电荷重新分布，实际上就相当于从中性“分子”(实际上是正、负离子对)变成了偶极子。只有这类机制的极化形式即称为离子位移极化或简称离子式极化。
图1－7 (c)情形，代表着极性电介质，其组成质点是具有偶极矩μ0的极性分子，但在没有电场作用条件下，极性分子混乱排布，固有偶极矩矢量各方向的分布几率相等，所有分子固有偶极矩的矢量和为零，整个介质仍保持电中性，但在电场作用下，每个极性分子在电场中都受到转动力矩的作用而产生旋转，并且有沿电场方向排布的趋向，其结果就是电介质极化。这类极化形式即叫做转向极化，这是极性介质在电场作用下所发生的一种主要极化形式。
最后，图1－7(d)所示非均匀介质的情形，在电场作用下．原先混乱排布的正、负自由电荷发生了趋向有规则的运动过程．导致正极板附近集聚了较多的负电荷。空间电荷的重新分布，实际形成了介质的极化，这类极化称为空间电荷极化。它是非均匀介质或存在缺陷的晶体介质所表现出的主要极化形式之一。对于实际的晶体介质，其内部自由电荷在电场作用下移动，可能被晶体中不可能避免地存在着的缺陷(如晶格缺位，杂质中心、位错等)所捕获、堆积造成电荷的局部积聚，使电荷分布不均匀，从而引起极化。
以上就是从微观角度．按不同物质结构类型所揭示的有关极化的物理本质。
综上所述，不管在实际上发生何种极化，其结果都可归结为介质中偶极子的形成。既然是偶极子，也就可用偶极矩μ来表征其微观(分子或原子)的极化特性。但问题是对于一个微观分子来说，作用的电场是多大呢？容易证明，一个分了所受到的电场作用，除了平均宏观电场(E＝v／d)的作用以外，还要计及该考察分子与周围的其它分子间的相互作用。换句话说，实际作用在分于上的电场，并不就是平均宏观电场E，而是有效分子电场或称局部电场(local electric field)，本书用Ei代表有效电场。
一般分子偶极矩μ的大小取决于有效电场Ei，并与之成正比关系，即可表示为：
(1－23)
式中，为比例系数，它的物理含义是每单位电场强度的分子偶极矩，称为极化率(polarizability)，这是描述分子极化特性的一个重要微观物理量，越大，分子的极化能力越强。如果对照上述四种基本极化机制，就可以相应地规定：为电子(位移)极化率，为离子(位移)极化率，为转向极化率，为空间电荷极化率。故一般地说，总的极化率可以认为是每一种极化机制所决定的极化率的总和：
= +++ (1—24)
下面利用式(1－16)和式(1—23)便可将宏观的极化强度P与微观的极化率联系起来，得到
(1－25)
计及式(1－20)．可得
(1—26)
此式称为克劳修斯方程(Clausius equation)，由克劳修斯方程又可得到
(1－27)
式(1—27)只有明确的指导意义。这就是：
（1）在介质的实际应用中，通常希望具有大的介电常数值要达到提高介电常数的目的，由式(1—27)可见有三种途径，即①提高N，即提高电介质的密度或选用密度较大的电介质材料；②选取由分子极化率大的质粒所组成的电介质；③选取或研制介质内部具有大的有效电场Ei的介质材料。金红石(TiO2)和钙铁矿型离子晶体具有高的介电常数值，就是因为它们的组成质粒Ti4+和O2-具有高的极化率，同时还具有大的内电场Ei。
（2）在一般情况下，有效电场Ei总是大于平均宏观电场E的，其间关系可以表示为 Ei＝E十γP (γ为分子互作用因子)，且式(1－27)的右端第二项总为正值，因此，电介质的介电常数总是正的，其值大于1，特殊地，对真空情形，有：Ei＝E，N≈0，故ε＝1
在1.2.2一节中，巳指出静电能密度方程为，该方程包含了两个因子，一个是与材料微观性质有关的介电常数，另一个因子实际上是所考虑的介质中某一点的局部电场强度E(此时应写成Ei)，不言而喻，要提高由电介质组成的电容器的储存电能量的能力，只有设法提高介质的介电常数和局部电场才可实现。

§1.3 有效电场
上一节我们建立了联系宏观参数(ε)与微观参数(N、)之间关系的克劳修斯方程。为了具体计算其中的有效电场Ei，需要根据电介质的物理行为建立某种物理模型。
根据前面的讨论已经知道，有效电场(effective field)Ei与平均宏观电场E大不相同，前者考察对象是一个分子，而后者考察对象是一整块连续介质。因此，要计算Ei，必须确立以下观念：对一个分子来说，它总是与除它自身以外的其它分子相隔开，同时又总是与其周围的分子具有相互的作用，即使没有外部电场的作用，介质中每一分子已经处于周围分子的作用之下．当外部施加电场时，由于感应作用，分子发生极化，并产生感应偶极矩，成为偶极分子(Dipolar molecule )，它们又转而作用于被考察分子，从而改变了原来分子间的相互作用，因此，作用在被考察分子上的有效电场放与宏观电场不同，它应当是两部分电场作用的叠加，外加宏观电场与周围极化了的分子对被考察分子相互作用电场．
一般地说．分子有效电场的计算是十分复杂的．这里我们只介绍内洛仑兹(Lorentz)最早提出则近似计算方法。
设想在介质中“割取”一个球，所考察的分子处于球心O，如图1－8所示。球的半径应比分子间距离大得多．这样就可视球外的介质为介电常数为ε的连续介质，换句话说，球外分子的影响可以采用宏观方法处理，即想象把球“挖空”使球外的影响归结为空球(ε＝I)表面(实为界面)介质的极化．但是，球的半径又必须比电极间距离小很多，以保证不致因球的存在而引起介质中电场的畸变，这样，即可近似地认为球内球外的电场都是均匀的。要同时满足上述两种条件，球的大小可考虑能容纳几十个到几百个分子那样的半径(约10-5～10-6厘米量级)。

于是，基于这种模型．计算作用在考察分子所受到的电场强度，只须应用§1—1中所介绍的电场叠加原理，即：

式中：为外加宏观电场强度；
为球外连续介质在球心O点产生的电场强度；
为球内除被考察分子以外的其它分子的偶极矩在球心O点产生的电场强度。
E1的计算：
设想取出“极化了的”球。由于球以外远分子的作用可当作连续介质处理，故这部分远分子的作用可归结为球面形成的束缚电荷的作用。因此，就要计算球面上每一单元束缚电荷dq’在球心O造成的电场强度的矢量和，见图1—9。

图中r为球的半径．θ为极化强度矢量与面积元dA的法线方向之间的夹角。dA实际上代表着一个围绕球表面的环状面积，其大小为：

由式(1—17)．有σ”＝Pcosθ。当把面积元上的电荷σ”dA看成是点电荷时．则按照库仑定律(见式1—2)，在跟离r处的径向电场强度为

这部分电场的垂直于外加电场方向的分量彼此抵消，而只剩

事实上，被考察分子是为部分分子所围绕的，这些分子必然对考察分子发生作用，然而，要具体计算出这种作用电场强度却是十分复杂的，但是，如果当物质结构能够满足某些对称条件时，便可认为在洛仑兹球内的每一个分子偶极矩对球心分子的作用．平均来说能为另一分子的作用所抵消，因此，E2便可认为等于零。
莫索缔(Mosotti)曾提出上述抵消效应的假设，故认为球内分子对考察分子作用的贡献可略而不计，但在大多数情况下，这种假设是不成立的，不过对低气压的气体介质以及非极性液体介质来说，还是可以认为E 2等于零。对于具有立方点阵结构的离子晶体，也是可以证明其E 2为零的。证明如下：
假设立方晶休的一边取z轴方向，电场沿Z轴方向加上，感应偶极矩与电场同向。这样，在点阵结点上的所有原于(或离子)均可用互相平行的偶极子来代管，只要计算其中一个点偶极子对球心A的电场，即可推算出所有球内的偶极子在A点产生的电场。
图1－10所示为一点偶极子μi，距离O点为r1的正电荷及距离O点为r2的负电荷在O点产生的电势可以应用式(1—4)得到

洛仑兹球内，除O点的被考察原子外，其余原于极化形成的偶极矩均沿电场方向排列，它们在O点产生的电场应为

式中，求和符号上约N’为球内极化原子数。考虑到所有N’个原子在外电场作用下的感应偶极矩各各相等，且由于立方晶体的对 称性，有：
因此，
E2＝0 (1—31)

以上结果虽然是由简立方晶体导出的，但可以证明，对于体心立方、面心立方、氯化钠型以及金刚石型结构的晶体，E2也是为零的。
对于E2＝0的情形，分子有效电场即为
(1—32)
由于式（1—32）是根据洛仑兹所提出的模型导出的，故对于E 2＝0时的有效电场常称为“洛仑兹场” (EL)． 将式(1—20)代入式(1一32)便得
(1—33)
或 (1—34)
由于电介质的介电常数ε总是大于1的，故由式(1—33)或(1—34)可知，分子有效电场总是大于平均宏观电场的，显然，这是计入分子互作用的必然结果，由Ei＝E十γP可知，在所讨论的情况下，

§1.4 克劳修斯一莫索缔方程
计及式(1—20)和式(1一25)，有

代入式(1—34)，则有

经整理得到
(1-35)
此式即为著名的克劳修斯-莫索缔方程(Clausius—Mosottiequation)．
克-莫方程是研究电介质极化的基本关系式，它的重要意义在于：该方程将表征极化特性的宏观参数——介电常数ε与微观参数——分子极化率联系了起来，同时提供了计算介电性能参数的方法
克-莫方程的具体应用：
1．非极性介质
由于其中发生的极化形式，仅有电子位移极化，故此时在总的极化率中只有电子极化率的贡献。在这种情况下，克-莫方程不仅适用而且具有最简单的形式：
(1-36)
对多原子分子，应有关系：。电子位移极化所需时间极短，约10-14～10-15秒，因此，即使电场以光频变化时，电子极化亦能及时跟上，此时可应用麦克斯韦尔电磁理论通过光折射率n求取介电常数ε。利用关系式

式中为物质的导磁率，对非铁磁性物质，≈1。故有
(1-37)
这里表示光频介电常数，当引用式(1-37)所决定的关系时，克-莫方程便具有如下形式：
(1－38)
或

式(1—39)称为洛仑兹一洛仑茨方程(Lorentz—Lorenz equation)。
介电常数的温度系数
由于式(1-38)的右边含有一个与温度密切有关的量——单位体积的分子数N，即导致光学介电常与温度有关。这种与温度的依赖关系，通常用介电常数的温度系数来表示。定义为温变每变化一度，介电常数的相对变化量。根据这一定义，有

式中、分别是电介质的体膨胀系数与线膨胀系数，且≈3。式中计算的值，若为负的，表示介电常数的温度系数是负的，或称为负温度系数(NTC)，即介电常数值随温度升高而下降若为正值，则称为正温度系数(PTC)，即介电常数值随温度升高而增大。对非极性低气压的气体介质，情况比较特殊，其中的分了有效电场Ei差不多与平均宏观电场相等，因为低气压分子与分子间的距离很大，其间相互作用相应很小，于是有
Ei≈E
式（1－27）变为
（1－41）
估计一下空气的介电常数：N＝2.7×1019cm-3＝2.7×1023m-3，电子位移极化率αe取平均值，为10-40法·米2量级，将这些数值代入式(1一41)，得到

真空相对介电常数≈1，由上述结果可见，空气的相对介电常数值与真空相对介电常数十分接近。
2．极性气体介质及极性液体
在非极性液体中的稀释溶液极性气体介质与极性液体介质在物质组成方面的共同点是组成质点是具有固有偶极矩的极性分子。极性分子间的相互作用一般很大，基于洛仑兹模型与莫素缔假设(E2＝0)导出的克—莫方程对极性介质是不适用的。特殊地，对于极性气体，由于分子间距离较大，同时单位体积内的分子数又较少，加之分子呈混乱状态分布，因此，作为一种近似，可以认为E2＝0，于是克一莫方程仍然可以应用，只是在总极化率中除考虑电子极化率Mi外，还须计入极性分了的转向极化率αe。于是克一莫方程可写成：
(1－42)
式中，k为波耳兹曼常数，T为绝对温度；于是大(1－42)即可写为
(1-43)
由于在推导极性分子转向极化率时，主要根据了德拜当时所提供的较严格的的算方法，并在计算过程中，引用了朗杰万函数：L(a)＝(cotha-)，其中a=，故式(1-43)称为朗杰万一德拜方程(Langevin—Debye’s equation)，或称德拜方程。
对于极性液体来说，由于其中存在着很强的偶极互作用，克一莫方程自然是不适用的，但对极性液体在非极性液体中的稀释溶液却是适用的，这主要是因为此时可近似地视极性分子为周围大量非极性分子所隔离，如果认为E2＝0将不会带来很大的误差，这种情形下应用克一莫方程应当计及组成溶液的各成分对极化的贡献：
(1－44)
式小为溶剂分子密度与极化率(仅含电子极化)的乘积，为溶质分子密度与极化率(含电子极化与转向极化)的乘积。
3．离子晶体介质
这类介质只要在微观结构上具有某种对称性，以保证E2＝0，则克一莫方程是适用的，其具体形式为
(1－45)
式中为晶体中正离子的电子极化率；为负离子的电子极化率；为离子极化率。考虑到式(1-38)，上式又可写为
(1－46)
上式表明了：当离子晶体受到电场作用时，总的介电常数是由两部分极化，即电子位移极化与离子位移极化贡献。
4．克-莫方程能换写成利用可直接测量的量来表达的更简洁的公式
在由式(1—35)表示的克－莫方程的右边包含了一个既与环境温度有关而又不易直接测定的参数N，使在许多场合下应用克-莫方程不够方便，因此，常作如下简单处理，引出较为简洁易算的表达公式，
将克一莫方程两边各乘以介质分子的摩尔体积M/P(M－分子量；ρ一电介质密度)l有

由此即得到
(1－47)
式中；N0为阿佛加德罗常数，N0＝6.06×1023。Ps称为摩尔极化强度(molar polarization)．
显然，利用式(1一47)来计算某种介质的分子极化率就容易得多，因为M、ρ都是容易测定的量，而N。与ε0为已知常数，这样唯一的来知数ε便可方便求出。在实际应用中，还常常将自式(1—47)求得的克分于极化强度Ps作成是的函数关系图，从图直接判断分子的极性．见图1—11。
由图所示可有以下两种情形：
(1) Ps与温度无失，这表明组成介质的分子是非极性
的，不具有固有偶极矩，此时得到图1—11中所示的与横
轴相平行的直线(I)。
(2)Ps与温度有关，这种关系主要反映为

此时，作为1／T的函数的Ps在图中成为一斜直线（I）。凡有图示直线Ⅱ的特性的分子是极性的，具有固有偶极矩。其大小可由图中该斜直线斜率方便地算出。
如果我们只是考虑由纯电子极化所造成的克分子极化，则又可将式(1