二次函数经典解题技巧.doc

龙文教育学科教师辅导讲义

课 题
二次函数知识点总汇

教学目标

介绍一些些能加快速度的计算公式
教学内容
3求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
12.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等 （2）点P(x,y)到y轴的距离等于 （3）点P(x,y)到原点的距离等于
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。 。
考点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的

2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
3、直线斜率： b为直线在y轴上的截距
4、直线方程： 一般两点斜截距
1，一般 一般 直线方程 ax+by+c=0
2，两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:
--最最常用，记牢
3，点斜 知道一点与斜率
4，斜截 斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)

5 ，截距 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距
式方程，简称截距式：
记牢可大幅提高运算速度
5、 设两条直线分别为，： ：
若，则有且。
若
6、 点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:
对于点P（x0，y0）到直线滴一般式方程 ax+by+c=0 滴距离有

常用记牢
2、 如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点
B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

解：（1）根据题意，得…2分
解得 …………………………3分
∴二次函数的表达式为．……4分
（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴
的另一个交点坐标C（5, 0）.……………5分
由于P是对称轴上一点，
连结AB，由于，
要使△ABP的周长最小，只要最小.…………………………………6分
由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P，则= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为BC.
因而BC与对称轴的交点P就是所求的点.……………………………………8分
设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得
所以直线BC的解析式为.…………………………………………………9分
因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得
所求的点P的坐标为（2，-3）.……………………………10分
压轴题中求最值
此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。
典型例题：
1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
B E→ F→ C
A D
G

解：⑴ x，D点
⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2；
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
B E F C
A D
G
N
M
图1
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝x2－（3x－6）2＝.
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝（6－x）2＝.
⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，
B E C F
A D
G
P
H
图2
∴x＝2时，y最大＝；
当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝；
当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x＝3时，y最大＝.
综上所述：当x＝时，y最大＝

如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）.
（1）求点C的坐标.
（2）当0<t<5时，求S与t之间的函数关系式.
（3）求（2）中S的最大值.
（4）当t>0时，直接写出点（4，）在正方形PQMN内部时t的取值范围.
【参考公式：二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（）.】
解：（1）由题意，得解得
∴C（3,）.
（2）根据题意，得AE=t，OE=8-t. ∴点Q的纵坐标为(8-t)，点P的纵坐标为t， ∴PQ= (8-t)-t=10-2t.
当MN在AD上时，10-2t=t，∴t=.
当0<t≤时，S=t(10-2t)，即S=-2t2+10t. 当≤t<5时，S=(10-2t)2，即S=4t2-40t+100.
（3）当0<t≤时，S=-2（t-）2+，∴t=时，S最大值=. 当≤t<5时，S=4(t-5)2，∵t<5时，S随t的增大而减小，
∴t=时，S最大值=.
∵>，∴S的最大值为.
（4）4<t<或t>6.