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资料
因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等
因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
　 (1) (a+b)(a-b) = a2-b2 -----------a2-b2=(a+b)(a-b)；
　 (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ---------a2±2ab+b2=(a±b)2；
　 (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
　 (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 --------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充两个常用的公式：
　 (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
　 (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知是的三边，且，
则的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形
解：

三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=
= 每组之间还有公因式！
=
例2、分解因式：
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式= 原式=
= =
= =

练习：分解因式1、 2、

（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=
=
=

例4、分解因式：
解：原式=
=
=

练习：分解因式3、 4、

综合练习：（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11）（12）

四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.
解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 >0而且是一个完全平方数。
于是为完全平方数，

例5、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：= 1 3
= 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：
解：原式= 1 -1
= 1 -6
（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1) (2) (3)

练习6、分解因式(1) (2) (3)

（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=

例7、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：=
练习7、分解因式：（1） （2）

（3） （4）

（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：=
=

练习8、分解因式(1)
(2)(3)

（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、 例10、
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=
练习9、分解因式：（1） （2）

综合练习10、（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）（8）
（9）（10）

思考：分解因式：

五、换元法。
(1)、换单项式
例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.
分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3 = m，则x6= m2，原式变形为
m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.
(2)、换多项式
例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.
分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2 +6= m，则x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m+6x，原式变形为
(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2
= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2
= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为
m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2
= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，设m= [(x2+4x+6) + (x2+6x+6)]= x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，
(m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2
= (x+2) 2 (x+3)2.
例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] = (x2+x-2) (x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”，设m= [ (x2+x-2)+ (x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式变形为
(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)
= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).
(3)、换常数
例1 分解因式x2(x+1)-2003×2004x.
分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设m=2003，则2004=m+1. 于是，原式变形为
x2(x+1) – m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x2+x-m2-m)
= x[(x2 -m2) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]
= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).
例13、分解因式（1）
（2）
解：（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式（1）
（2）
（3）

例14、分解因式（1）
观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式==
设，则
∴原式==
==
==
=
（2）
解：原式==
设，则
∴原式==
==
练习14、（1）
（2）

六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式= 原式=
= = = = = =
= =

（2）
解：原式=
=
=
=

练习15、分解因式
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）

七、待定系数法。

例16、分解因式
分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为
解：设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=

例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。

（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解：设=
则=
比较对应的系数可得：，解得：或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=

（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
解：设=
则=
∴ 解得，
∴=21

练习17、（1）分解因式
（2）分解因式
（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。
（4） 为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全
经典一：
一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式： m3-4m= .
3.分解因式： x2-4y2= __ _____.
4、分解因式：=___________ ______。
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为 .
6、若，则=_________，=__________。
二、选择题
7、多项式的公因式是( )
A、 B、 C、 D、
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A、 B、
C、 D、
10.下列多项式能分解因式的是（ ）
(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4
11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（ ）
A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）

12．下列各个分解因式中正确的是（ ）
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）

13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（ ）
A.2 B.4 C.2y2 D.4y2
三、把下列各式分解因式：
14、 15、

16、 17、

18、 19、；

五、解答题
20、如图，在一块边长=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。

d
D
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，结果保留2位有效数字)

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。

经典二：
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式

解二：原式=

2. 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式
解一：将拆成，则有

解二：将常数拆成，则有

3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：

设，则

4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
例1.在中，三边a,b,c满足
求证：
证明：

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2. 已知：__________
解：

说明：利用等式化繁为易。
题型展示
1. 若x为任意整数，求证：的值不大于100。
解：

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。
2. 将
解：

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟
1. 分解因式：

2. 已知：的值。

3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。

4. 求证：是6的倍数。（其中n为整数）

5. 已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。

6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。

经典三：因式分解练习题精选
一、填空：（30分）
1、若是完全平方式，则的值等于_____。
2、则=____=____
3、与的公因式是＿
4、若=，则m=_______，n=_________。
5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的
有________________________ ，其结果是 _____________________。
6、若是完全平方式，则m=_______。
7、
8、已知则
9、若是完全平方式M=________。
10、，
11、若是完全平方式，则k=_______。
12、若的值为0，则的值是________。
13、若则=_____。
14、若则___。
15、方程，的解是________。
二、选择题：（10分）
1、多项式的公因式是（ ）
A、－a、 B、 C、 D、
2、若，则m，k的值分别是（ ）
A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、
3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（ ）
A、1个，B、2个，C、3个，D、4个
4、计算的值是（ ）
A、 B、
三、分解因式：（30分）
1 、
2 、
3 、
4、
5、
6、
7、
8、
9 、
10、

四、代数式求值（15分）
1、 已知，，求 的值。

2、 若x、y互为相反数，且，求x、y的值

3、 已知，求的值

五、计算： （15）
（1） 0.75
（2） 　
（3）
六、试说明：（8分）
1、对于任意自然数n，都能被动24整除。
2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8分）
1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：
甲：这是一个三次四项式
乙：三次项系数为1，常数项为1。
丙：这个多项式前三项有公因式
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分）

经典四：
因式分解
一、 选择题
1、代数式a3b2－a2b3, a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是（ ）
A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b3

2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式应当为（ ）
A、5a－10b B、5a＋10b C 、5(x－y) D、y－x

3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，结果是（ ）
A、－4m(2m2－3m) B、－4m(2m2＋3m－1)
C、－4m(2m2－3m－1) D、－2m(4m2－6m＋2)

4、把多项式－2x4－4x2分解因式，其结果是（ ）
A、2(－x4－2x2) B、－2(x4＋2x2) C、－x2(2x2＋4) D、 －2x2(x2＋2)

5、（－2）1998＋（－2）1999等于（ ）
A、－21998 B、21998 C、－21999 D、21999

6、把16－x4分解因式，其结果是（ ）
A、(2－x)4 B、(4＋x2)( 4－x2)
C、(4＋x2)(2＋x)(2－x) D、(2＋x)3(2－x)

7、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（ ）
A、a2(a2－2b2)＋b4 B、(a2－b2)2 C、(a－b)4 D、(a＋b)2(a－b)2

8、把多项式2x2－2x＋分解因式，其结果是（ ）
A、(2x－)2 B、2(x－)2 C、(x－)2 D、 (x－1)2

9、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，则 k的值是（ ）
A、±4 B、±2 C、3 D、4或2

10、－（2x－y）(2x＋y)是下列哪个多项式分解因式的结果（ ）
A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2

11、多项式x2＋3x－54分解因式为（ ）
A、(x＋6)(x－9) B、(x－6)(x＋9)
C、(x＋6)(x＋9) D、 (x－6)(x－9)

二、填空题
1、2x2－4xy－2x = _______(x－2y－1)
2、4a3b2－10a2b3 = 2a2b2(________)
3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1)
4、m(m－n)2－(n－m)2 =(__________)(__________)
5、x2－(_______)＋16y2=( )2
6、x2－(_______)2=(x＋5y)( x－5y)
7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________)
8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)= (x＋y－z)·(________)
9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)
10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)
11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)
12、已知x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，则p=_______.

三、解答题
1、把下列各式因式分解。
(1)x2－2x3 (2)3y3－6y2＋3y

(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2 (4)(x－2)2－x＋2

(5)25m2－10mn＋n2 (6)12a2b(x－y)－4ab(y－x)

(7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x) (8)a2＋5a＋6

(9)x2－11x＋24 (10)y2－12y－28

(11)x2＋4x－5 (12)y4－3y3－28y2

2、用简便方法计算。
（1）9992＋999 （2）2022－542＋256×352

(3)

3、已知：x＋y=,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。

四、探究创新乐园
1、 若a－b=2,a－c=,求(b－c)2＋3(b－c)＋的值。

2、 求证：1111－1110－119=119×109

五、证明(求值)
1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．

2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．

3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．

4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．

5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．

6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．

7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．

8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．

经典五：
因式分解分类练习题
因式分解—提公因式法
1、下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )
A. B. C. D.
2、在把分解因式时，应提取的公因式是( )
A. B. C. D.
3、下列变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4、多项式的公因式是 。
5、多项式= 。
6、已知，则代数式 。
7、用提公因式法将下列各式因式分解：
⑴； ⑵； ⑶； ⑷；

⑸； ⑹

8、若，求的值。

9、利用因式分解计算：
⑴31×3.14+27×3.14+42×3.14

⑵当时，求的值。

因式分解—公式法
1、若是完全平方式，则的值等于( )
A. B. C. D.或
2、若能在整数范围内因式分解，则可取的整数值有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
3、下列分解正确的是( )
A. B.
C. D.
4、分解因式的结果是 。
5、为使 在整数范围内可以分解因式，则可能取的值为 。(任写一个)
6、分解因式：
⑴； ⑵； ⑶；

⑷；⑸；⑹

7、已知是△ABC的三边，且满足关系式，试判断△ABC的形状。

8、⑴研究下列算式你会发现有什么规律，4×1×2+1=，4×2×3+1=，4×3×4+1=，4×4×5+1=，…….请你将找出的规律用含一个字母的等式表示出来 。
⑵试用上述规律计算：4×2006×2007+1= 。
9、当为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值。

因式分解—分组分解法
1、用分组分解法把分解因式，分组的方法有（ ）
A、1种 B、2种 C、3种 D、4种
2、用分组分解法分解，分组正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、填空：（1）
（2）
（3）
4、把下列各式因式分解：
1）； 2）； 3）

5、把下列各式因式分解：
1）；2）；3）

6、把下列各式因式分解：
1）； 2）

3）

因式分解—十字相乘法
1、若是代数式分解因式的结果，则的值为（ ）
A、－2 B、2 C、8 D、－8
2、在多项式（1），（2），（3），
（4），（5）中，有相同因式的是（ ）
A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（2）（5） D、不同于以下答案
3、把分解因式得（ ）
A、B、C、D、
4、把下列各式因式分解：
（1） （2）

（3） （4）

5、把下列各式因式分解：
（1） （2）

（3） （4）

6、把下列各式因式分解：
（1） （2）

（3） （4）

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