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力的空间累积效应力的空间累积效应 4.1 力的功力的功 动能定理动能定理abdr元功元功功功（变力作用（变力作用 曲线运动）曲线运动）一、力的功一、力的功 直角坐标系中功的表达式直角坐标系中功的表达式:（微元分析法）（微元分析法）取微元过程，取微元过程，再求和再求和解：解：例例 质点在力质点在力 作用下沿作用下沿X轴正方向运动，则从轴正方向运动，则从x=1m运动到运动到x=2m的过的过程中，力做的功程中，力做的功A=.例例 如图如图,质点沿圆周运动质点沿圆周运动,作用力作用力 (k(k为常量为常量),),则从原点则从原点O运动运动到到A(0,2R)(0,2R)的过程中的过程中,力做力做的功为的功为.X XY Y解：解：讨论讨论摩擦力摩擦力作功一作功一定是负定是负的吗？的吗？2）功是功是过程量过程量，作功的多少与路径有关作功的多少与路径有关1）功是标量）功是标量,其其正负取决于正负取决于 与与 的的夹夹角角 3）恒力的功恒力的功等于力与位移的等于力与位移的乘积乘积 4）合力的功合力的功:(1)对质点对质点合力的功等于各力作功之和合力的功等于各力作功之和。代数和代数和!(2)对质点系对质点系:各力作功之和各力作功之和各质点各质点的元位的元位移不同移不同合力作功合力作功不等于不等于 一对内力一对内力 作功之和：作功之和：系统中任意两质点系统中任意两质点 m1、m2的相互作用力的相互作用力质点质点1相对质点相对质点2的元位移的元位移质点质点1受质点受质点2的力的力一对内力的功等于一个一对内力的功等于一个力与相对位移的点积力与相对位移的点积、(作用力反作用力作用力反作用力)中学已使用过这个结论。如：中学已使用过这个结论。如：一对正压力的功一对正压力的功一对滑动摩擦力作功一对滑动摩擦力作功0 0中学熟知的例子中学熟知的例子两质点间的两质点间的“一对力一对力”做功之和等于其中一个做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点移动的质点受的力沿着该质点相对于另一质点移动的路径所做的功。路径所做的功。二、二、功率功率反映作功快慢程度的物理量反映作功快慢程度的物理量平均功率：平均功率：瞬时功率：瞬时功率：单位：瓦特单位：瓦特（W）当力和速度的方向一致时：当力和速度的方向一致时：例例4.1 如图，水平桌面上有质点如图，水平桌面上有质点 m，桌面的摩擦，桌面的摩擦系数为系数为,求两种情况下从求两种情况下从a到到b摩擦力作的功摩擦力作的功:1）沿圆弧；）沿圆弧；2）沿直径。）沿直径。解：解：并非恒力并非恒力，其方向在变化，其方向在变化，讨论：讨论：1）是负功；）是负功；注意负号的来源。注意负号的来源。2）摩擦力作功与）摩擦力作功与路径有关。路径有关。解解:例例4.2 质量为质量为 2kg 的质点在力的质点在力(SI)的作用下，从静止出发，沿的作用下，从静止出发，沿 x 轴正向作直线轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。运动。求前三秒内该力所作的功。三、质点运动的动能定理三、质点运动的动能定理思路：思路：与推导动量定理和角动量定理相同，仍然由与推导动量定理和角动量定理相同，仍然由 牛顿第二定律出发。牛顿第二定律出发。牛顿力学中牛顿力学中定义定义质点质点动能动能为为由：由：元功元功牛牛 标量标量 状态量状态量质点的质点的动能定理动能定理合力的功合力的功质点动能的增量质点动能的增量质点的质点的动能定理动能定理四、四、质点系的动能定理质点系的动能定理思考：思考：为什么为什么内力内力之和之和一一定定为零，而为零，而内力作功内力作功之和之和不一定不一定为零呢？为零呢？合力的功合力的功质点动能的增量质点动能的增量对第对第 i 质点：质点：所有外力所有外力做的功做的功所有内力所有内力做的功做的功系统总动能的系统总动能的增量增量求和：求和：(动能定理动能定理)Note:内力不改变系统总动量，但改变系统总动能！内力不改变系统总动量，但改变系统总动能！四、四、质点系的动能定理质点系的动能定理内力内力之和之和一定一定为零，而为零，而内力作功内力作功之和之和不一定不一定为零为零1）内力也能改变系统的总动能内力也能改变系统的总动能 2）质点系质点系的三个运动定理的三个运动定理各司其职各司其职 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理 动能定动能定理理讨论讨论3）动能动能是是状态量状态量而而功功是是过程量过程量，由状态量的，由状态量的变化求过程量可以简化计算。变化求过程量可以简化计算。4）动能定理动能定理只适用于只适用于惯性系惯性系，并且功和动能，并且功和动能的计算必须统一到同一惯性系。的计算必须统一到同一惯性系。例例4.3 在光滑的水平桌面上固定有如图所示的半圆形在光滑的水平桌面上固定有如图所示的半圆形屏障，质量为屏障，质量为m的滑块以初速的滑块以初速 v0 沿屏障一端的切线方沿屏障一端的切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为 ，求当，求当滑块从屏障另一端滑出时摩擦力的功。滑块从屏障另一端滑出时摩擦力的功。1.1.万有引力的功万有引力的功以以M处处为原点，为原点，一、保守力的定义一、保守力的定义 4.2 保守力的功保守力的功 势能势能与路径无关与路径无关重力作功重力作功地面地面2.弹簧的恢复力的功弹簧的恢复力的功小球在小球在x点时，点时，受力受力则则质点从质点从 a b 的过程中，的过程中，弹簧弹簧的恢复力作功：的恢复力作功：l0 xoxaxbFab也也与路径无关与路径无关定义：定义：作功与路径无关，只与始末位置有关的作功与路径无关，只与始末位置有关的力，称为保守力力，称为保守力。保守力的环流为零保守力的环流为零。所讨论的力的共同特征所讨论的力的共同特征：作功与路径无关，作功与路径无关，只与始末只与始末(相对相对)位置有关位置有关 具有这种特征的具有这种特征的力力（严格说是（严格说是一对力一对力）称为称为保守力保守力 证明：证明：=0等价的等价的数学表述数学表述：沿任意闭合的相对路径移动一周保守力做功为零沿任意闭合的相对路径移动一周保守力做功为零二、势能二、势能 1.定义定义 保守力的功，均为系统始末保守力的功，均为系统始末位形函数位形函数的差。的差。把这些由把这些由位形位形决定的函数，叫做决定的函数，叫做势能函数势能函数(Ep)。保守力做功的特点保守力做功的特点与路径无关与路径无关弹性力的功弹性力的功保守力的功等于系统势能的减少保守力的功等于系统势能的减少任一状态的势能值？任一状态的势能值？若选末态为若选末态为势能零点势能零点，即令，即令即即为系统在为系统在状态状态a的势能的势能 势能零点势能零点原则上任意选取；原则上任意选取；零点改变，则各点势能零点改变，则各点势能值随之改变，值随之改变，势能差值与势能零点的选择无关。势能差值与势能零点的选择无关。由功的定义由功的定义定义定义:一点处的势能等于一点处的势能等于保守力从该点到势保守力从该点到势能零点的线积分值能零点的线积分值(1)万有引力势能万有引力势能由由=EPaEPb以以r时为万有引力势能零点，即令时为万有引力势能零点，即令rEP引引O由任一状态势能值的定义由任一状态势能值的定义,可得可得两物体相距两物体相距r时的万有时的万有引力势能引力势能2.力学中力学中常见的势能函数常见的势能函数 思考思考 设设 则则(2)重力势能重力势能0h hEP以以h=0处为重力势能零点，则有处为重力势能零点，则有EP重重（h）=mgh(3)弹性势能弹性势能通常通常以弹簧原长以弹簧原长(x=0)时为弹性势能零点，时为弹性势能零点，xEP弹弹O同样根据任一状态势能值的定义，同样根据任一状态势能值的定义，可得弹簧伸长可得弹簧伸长 x 时弹性势能时弹性势能:以弹簧原长以弹簧原长(x=0)时为弹性势能零点时为弹性势能零点oxX X 思考思考 设设 则则有关势能的几点说明有关势能的几点说明 2、系统引入势能的条件是、系统引入势能的条件是系统内系统内物体间物体间存在着保守存在着保守力力。对于系统内的非保守力就不能引入势能。对于系统内的非保守力就不能引入势能。3、保守力所做的功等于系统势能的减少。、保守力所做的功等于系统势能的减少。保守力做保守力做正功，系统势能减少正功，系统势能减少；保守力做负功，系统势能增加保守力做负功，系统势能增加。系统具有势能，就具有做功的本领。系统具有势能，就具有做功的本领。4、由于势能和系统所处的、由于势能和系统所处的相对位置相对位置(相对位移相对位移)有关，有关，因而与参照系的选择无关。因而与参照系的选择无关。1、势能属于产生保守力的整个势能属于产生保守力的整个物体系统物体系统，不属于某不属于某一物体所有。一物体所有。质点质量为质点质量为m,距地心为距地心为r，若选，若选r=4R(R 为地球半径为地球半径)处为势能零处为势能零点，则质点位于点，则质点位于 r=2R处时，它与处时，它与地球地球(质量为质量为M)所组成的系统的势所组成的系统的势能为能为.解解:用万有引力的线积分计算用万有引力的线积分计算？思考思考 例例4-64-6 例例4-74-7 两质点的质量均为两质点的质量均为m,开始时两者静开始时两者静止，距离为止，距离为a.在万有引力作用下在万有引力作用下,两者距离变为两者距离变为b.在此过程中在此过程中,万有引万有引力做的功力做的功A=.解：解：思考思考两者距离为两者距离为b时的速率？时的速率？例例4-84-8 质量为质量为m的质点在指向圆心的力的质点在指向圆心的力 F=k/r2 的作用下，作半径为的作用下，作半径为r的的圆周运动，若取圆周运动，若取E Ep p=0=0，则系统的机，则系统的机械能械能E=E=.解：解：牛牛：于是于是三、由势能函数求保守力三、由势能函数求保守力由势能定义有保守力与相应势能的关系：由势能定义有保守力与相应势能的关系：例如弹性势能：例如弹性势能：一、质点系的一、质点系的功功能原理能原理（动能定理的变形）（动能定理的变形）质点系的动能定理质点系的动能定理机械能机械能二、二、机械能守恒定律机械能守恒定律功能原理功能原理：外力与非保外力与非保守内力做功守内力做功的代数和等的代数和等于质点系机于质点系机械能的增量械能的增量当当 4.3 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律说明说明 1、只有保守内力作功，系统的动能和势能可以互相、只有保守内力作功，系统的动能和势能可以互相转化，但它们的总和始终保持不变。转化，但它们的总和始终保持不变。2、机械能守恒定律只适用于、机械能守恒定律只适用于惯性系惯性系。3、运用守恒定律解题步骤、运用守恒定律解题步骤 选系统选系统明过程明过程查受力查受力审条件审条件定状态定状态列方程列方程 例例4.4 一雪橇从高度为一雪橇从高度为50m 的山顶上点的山顶上点A沿冰道由静沿冰道由静止下滑止下滑,山顶到山下的坡道长为山顶到山下的坡道长为500m.雪橇滑至山下点雪橇滑至山下点B后后,又沿水平冰道继续滑行又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在滑行若干米后停止在C处处.若摩擦因数为若摩擦因数为0.050,求此雪橇沿水平冰道滑行的路程求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.(点点B附近可视为连续弯曲的滑道附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力忽略空气阻力)已知：已知：h=50m，=0.050，s=500m，求：，求：s=？解解:以雪橇、冰道和地球为一系统，以雪橇、冰道和地球为一系统，代入已知数据有代入已知数据有由功能原理得由功能原理得例例4.5 一半径为一半径为 的四分之一圆弧垂直固定于地面上，的四分之一圆弧垂直固定于地面上，质量为质量为 的小物体从最高点的小物体从最高点 由静止下滑至由静止下滑至 点处的速点处的速度为度为 ，求摩擦力所作的功。，求摩擦力所作的功。解：解：法二：应用质点动能定理求解法二：应用质点动能定理求解 法一法一 ：应用功能原理求解：应用功能原理求解选系统：物体选系统：物体 圆轨道圆轨道 地球地球取取 点处为重力势能零点，得点处为重力势能零点，得法三：应用牛二定律，解出法三：应用牛二定律，解出摩擦力，然后摩擦力，然后由功的定义求由功的定义求例例4.6 一轻弹簧一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点其一端系在铅直放置的圆环的顶点P,另一端系一质量为另一端系一质量为m 的小球的小球,小球穿过圆环并在圆环上小球穿过圆环并在圆环上运动运动(不计摩擦不计摩擦)。开始小球静止于点开始小球静止于点A,弹簧处于自然弹簧处于自然状态状态,其长度为圆环半径其长度为圆环半径R;当小球运动到圆环的底端当小球运动到圆环的底端点点B 时时,小球对圆环没有压力小球对圆环没有压力。求弹簧的劲度系数求弹簧的劲度系数。解：解：以弹簧、小球和地球为一系统，以弹簧、小球和地球为一系统，只有保守内力做功只有保守内力做功系统机械能守恒系统机械能守恒取图中点取图中点 为重力势能零点为重力势能零点即即又又 所以所以机械能守恒在体育方面的应用机械能守恒在体育方面的应用 碰撞的特点碰撞的特点：1、两物体间相互作用时间很短，而碰撞前后，、两物体间相互作用时间很短，而碰撞前后，两物体的运动状态变化显著。两物体的运动状态变化显著。2 2、两物体碰撞时，相互作用的冲力很大，其它、两物体碰撞时，相互作用的冲力很大，其它外力相对很小，可忽略不计，因此可认为外力相对很小，可忽略不计，因此可认为总动量守总动量守总动量守总动量守恒恒恒恒。碰撞碰撞 是指两个或两个以上的物体间的短促作用。是指两个或两个以上的物体间的短促作用。4.4 碰撞碰撞（collision）（五个小球质量全同）（五个小球质量全同）一、一、完全弹性碰撞完全弹性碰撞（perfectly elastic collision）特点特点：系统的机械能（动能）完全没有损失。系统的机械能（动能）完全没有损失。两球交换速度两球交换速度轻球反弹轻球反弹重球速度不变，轻球以两倍于重球的速度前进重球速度不变，轻球以两倍于重球的速度前进。由由动量守恒动量守恒和和机械能守恒机械能守恒：解得解得讨论讨论二、完全非弹性碰撞（perfectly inelastic collisionperfectly inelastic collision）特点特点：碰后两物体以共同速度运动碰后两物体以共同速度运动碰撞过程中损失的动能：碰撞过程中损失的动能：由由动量守恒动量守恒：解得：解得：机械能机械能不不守恒！守恒！动量守恒：动量守恒：碰撞定律：碰撞定律：碰撞后两球的分离速度（碰撞后两球的分离速度（v2 2-v1 1）与碰）与碰撞前两球的接近速度（撞前两球的接近速度（v1010-v2020）成正比。）成正比。比值由两球的质料决定。比值由两球的质料决定。弹性碰撞：弹性碰撞：e=1 =1 完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：e=0 =0 非弹性碰撞：非弹性碰撞：0 0e1 1定义定义:恢复系数恢复系数三、非弹性碰撞三、非弹性碰撞（non-perfectly elastic collision）习习4.1 质量为质量为1kg的钢球，系在长为的钢球，系在长为l=0.8m的绳子的的绳子的一端，绳的另一端固定。把绳拉至水平位置后将球由一端，绳的另一端固定。把绳拉至水平位置后将球由静止释放，球在最低点与质量为静止释放，球在最低点与质量为 5kg 的钢块作完全弹的钢块作完全弹性碰撞。求碰撞后钢球升高的高度。性碰撞。求碰撞后钢球升高的高度。解解：本题分三个过程：本题分三个过程：第一过程：第一过程：钢球下落到最低点。以钢球和地球为系统，钢球下落到最低点。以钢球和地球为系统，机械能守恒。机械能守恒。以钢球在最低点为重力势能零点：以钢球在最低点为重力势能零点：第二过程：第二过程：钢球与钢块作钢球与钢块作完全弹性碰撞完全弹性碰撞，以钢球和钢，以钢球和钢块为系统，动能和动量守恒：块为系统，动能和动量守恒：第二过程：第二过程：钢球与钢块作钢球与钢块作完全弹性碰撞完全弹性碰撞，以钢球和钢，以钢球和钢块为系统，动能和动量守恒：块为系统，动能和动量守恒：第三过程：第三过程：钢球上升。以钢球和地球为系统，钢球上升。以钢球和地球为系统，机械能机械能守恒守恒。以钢球在最低点为重力势能零点。以钢球在最低点为重力势能零点。解以上方程，可得解以上方程，可得代入数据，得代入数据，得习习4.2 一劈形物体质量为一劈形物体质量为m,斜面倾角为斜面倾角为,静止于光静止于光滑的水平面上。在它的斜面上有一质量为滑的水平面上。在它的斜面上有一质量为 m 的小物体，的小物体，从高度从高度 h处由静止无摩擦地下滑。问当小物体处由静止无摩擦地下滑。问当小物体滑滑到水平到水平面时，劈形面时，劈形物体的速度为多大？物体的速度为多大？解解 设小物体相对于斜面设小物体相对于斜面的下滑速度为的下滑速度为相对于地的速度为相对于地的速度为以两个物体和地球为系统，以两个物体和地球为系统，有有机械能守恒：机械能守恒：劈形劈形物体的速度为物体的速度为 mv2vm(1)动量的动量的水平水平分量守恒分量守恒根据相对运动的速度变换公式可得根据相对运动的速度变换公式可得由以上四式解得由以上四式解得(2)(1)(3)(4)vv2v1运动学关系：运动学关系：解：以解：以m1、m2和弹簧和弹簧、地球为研究系统，开始时，地球为研究系统，开始时，弹簧被压缩弹簧被压缩x0，由平衡条件得，由平衡条件得m2离开地面的条件为离开地面的条件为:系统机械能守恒系统机械能守恒习习4.3 用弹簧连接两个木板用弹簧连接两个木板m1、m2，弹簧压缩。，弹簧压缩。求求:给给m1上加多大的压力能使上加多大的压力能使m2 离开桌面？离开桌面？如图的系统，物体如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，置于光滑的桌面上，物体物体 A 和和 C,B 和和 D 之间摩擦因数均不为零，首之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿水平方向相向推压先用外力沿水平方向相向推压 A 和和 B，使弹簧压使弹簧压缩，后拆除外力，缩，后拆除外力，则则 A 和和 B 弹开过程中，弹开过程中，对对 A、B、C、D 组成的系统组成的系统（）讨论讨论（A）动量守恒，机械能守恒）动量守恒，机械能守恒 .（B）动量不守恒，机械能守恒）动量不守恒，机械能守恒.（C）动量不守恒，机械能不守恒）动量不守恒，机械能不守恒.（D）动量守恒，机械能不一定守恒）动量守恒，机械能不一定守恒.DBCADBCAD