对坐标的曲线积分26247.ppt

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1、节一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分2021/5/241一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“分割”“近似”“求和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束 2021/5/2421)“分割分割”.2)“近似近似”把L分

2、成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束 2021/5/2433)“求和求和”4)“取极限取极限”(其中为 n 个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束 2021/5/2442.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段积分弧段或积分曲线积分曲线.称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量

3、函数极限记作机动目录上页下页返回结束 2021/5/245在空间曲线弧上的对坐标的曲线积分为:称为称为类似地,机动目录上页下页返回结束对 y 的曲线积分.对 x 的曲线积分;2021/5/2463.性质性质(1)若 L 可分成 k 条与L同向的光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则,则定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!机动目录上页下页返回结束 2021/5/247二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有机动

4、目录上页下页返回结束注注:不一定小于.2021/5/248特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束 2021/5/249例例1.计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x 为参数,则解法解法2 取 y 为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束 2021/5/2410例例2.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则机动目录上页下页返回结束 2021/5/2411例例3.计算

5、其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线解解:(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束 2021/5/2412例例4.求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束 2021/5/2413三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设 L 的参数方程为则L的切向量为机动目录上页下页返回结束所以所以L的切向量的方向余弦为2021/5/2414类似的，有机动目录上页下页返回结束则两类曲线积分有如下联系2021/5/2415例例5.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周机动目

6、录上页下页返回结束所以L的切向量为则L的切向量的方向余弦为所以因为L的方程为2021/5/24161.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动目录上页下页返回结束 2021/5/24173.计算对有向光滑弧对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束 2021/5/24184.两类曲线积分的联系对空间有向光滑弧:机动目录上页下页返回结束 2021/5/2419原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示提示:F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考思考:若题中F 的方向改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则机动目录上页下页返回结束 2021/5/24202.已知为折线 ABCOA(如图),计算提示提示:机动目录上页下页返回结束 2021/5/24213.设曲线C为曲面与曲面从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解解:(1)机动目录上页下页返回结束 2021/5/2422(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束 2021/5/2423

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