连续函数及其性质.ppt

48-12021/10/10148-22021/10/10248-32021/10/10348-42021/10/10448-52021/10/10548-62021/10/10648-72021/10/107例2解右连续但不左连续右连续但不左连续,2021/10/10848-92021/10/10948-102021/10/1010例例2.6.7证2021/10/101148-122021/10/101248-132021/10/101348-142021/10/10141.跳跃间断点例4解2021/10/10152.可去间断点可去间断点例例2.6.72021/10/1016解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.2021/10/1017如上例中如上例中,特点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.2021/10/1018例6解3.无穷间断点：无穷间断点：如果如果 在点在点 处左、右极限处左、右极限至少有一个为无穷大，则称点至少有一个为无穷大，则称点 为函数为函数 的的无无穷间断点穷间断点.2021/10/10194 4、振荡间断点：如果、振荡间断点：如果 在点在点 处处无极限且函数值在某两个最值间变动无极限且函数值在某两个最值间变动无限多次，则称无限多次，则称 为函数为函数 的振的振荡间断点荡间断点.2021/10/1020例例2.6.82021/10/1021在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:函数函数2021/10/1022例例2.6.9解2021/10/1023例例2.6.10函数函数 在点在点 是否间断是否间断?属于那种类型属于那种类型?能否补充或改变函数在该能否补充或改变函数在该点定义使之连续点定义使之连续?解 函数函数 在点在点 没有定义没有定义,所以所以 是函数的间断点是函数的间断点.对于对于 ,.2021/10/1024因为因为 ,所以所以 是第一类间断点是第一类间断点.令令 ,即可使函数在即可使函数在 处连续处连续.对于对于 ,因为因为 ,所以所以 是第二类是第二类间断点且为无穷间断点间断点且为无穷间断点.2021/10/102548-262021/10/102648-272021/10/102748-282021/10/102848-292021/10/102948-302021/10/103048-312021/10/1031定理定理2.6.4证证2021/10/1032将上两步合起来将上两步合起来:2021/10/1033意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解2021/10/1034例例2 2解解同理可得同理可得2021/10/1035定理定理2.6.5例如例如,2021/10/103648-372021/10/1037三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.2021/10/1038定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.2021/10/10391.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.2021/10/1040例例3 3例例4 4解解解解2021/10/1041小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.2021/10/1042思考题思考题2021/10/1043思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点2021/10/1044等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证2021/10/104548-462021/10/1046例例2.6.16解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意2021/10/1047例例2.6.17解解错2021/10/104848-492021/10/104948-502021/10/1050小结小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)2021/10/1051可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx2021/10/1052思考题思考题2021/10/1053思考题解答思考题解答且且2021/10/1054但反之不成立但反之不成立.例例但但2021/10/105548-562021/10/105648-572021/10/105748-582021/10/105848-592021/10/105948-602021/10/106048-612021/10/106148-622021/10/106248-632021/10/106348-642021/10/106448-652021/10/106548-662021/10/106648-672021/10/1067例例2.6.262.6.26证证由零点定理由零点定理,2021/10/1068小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;2021/10/1069思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？2021/10/1070思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数2021/10/1071