高数点积叉积.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 1.向量的两种表示方式（直观，坐标）2.向量的两个要素（长度、方向）的表示3.向量的线性运算（直观，坐标）复习向量的表示及线性运算复习向量的表示及线性运算-模与方向余弦模与方向余弦4.向量的平行的充要条件（直观，坐标）5.向量在坐标轴上的投影及投影向量2023/5/241目录 上页 下页 返回 结束 解解 因1.设求向量在 x 轴上的投影、在 y 轴上的分向量在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为及与平行的单位向量.与 平行的单位向量为2023/5/242解解2023/5/2432023/5/244目录 上页 下页 返回 结束*三、向量的混合积三、向量的混合积 第三节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八八章 2023/5/245目录 上页 下页 返回 结束 一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义定义设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).引例引例.设一物体在常力 F 作用下,位移为 s,则力F 所做的功为2023/5/246目录 上页 下页 返回 结束 记作故2.性质性质为两个非零向量,则有 2023/5/247目录 上页 下页 返回 结束 3.运算律运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;2023/5/248目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明三角形余弦定理证证:如图.则设2023/5/249目录 上页 下页 返回 结束 4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得2023/5/2410目录 上页 下页 返回 结束 例例2.已知三点 AMB.解解:则求故2023/5/2411目录 上页 下页 返回 结束 为 ).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积:的夹角为且为单位向量2023/5/2412目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力2023/5/2413目录 上页 下页 返回 结束 1.定义定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考思考:右图三角形面积S2023/5/2414目录 上页 下页 返回 结束 2.性质性质为非零向量,则3.运算律运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明证明:2023/5/2415目录 上页 下页 返回 结束 4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则2023/5/2416目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法2023/5/2417目录 上页 下页 返回 结束 例例4.已知三点角形 ABC 的面积.解解:如图所示,求三2023/5/2418目录 上页 下页 返回 结束*三、向量的混合积向量的混合积1.定义定义 已知三向量称数量混合积混合积.记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2023/5/2419目录 上页 下页 返回 结束 2.混合积的坐标表示混合积的坐标表示设2023/5/2420目录 上页 下页 返回 结束 3.性质性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)2023/5/2421目录 上页 下页 返回 结束 例例5.已知 A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四点共面,求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.解解:A、B、C、M 四点共面展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程AM、AB、AC 三向量共面即2023/5/2422目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:2023/5/2423目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2.向量关系:2023/5/2424目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.答案答案:2.用向量方法证明正弦定理:2023/5/2425目录 上页 下页 返回 结束 证证:由三角形面积公式所以因2023/5/2426目录 上页 下页 返回 结束 P289 1,2,3,4,5,6,7，8，9第三节 作业作业2023/5/2427目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：2023/5/2428目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：2023/5/2429目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：2023/5/2430目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：2023/5/2431目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有2023/5/2432目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有2023/5/2433目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有2023/5/2434目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有2023/5/2435目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有2023/5/2436目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：2023/5/2437目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：2023/5/2438目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：2023/5/2439目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：2023/5/2440