合情推理与演绎推理题型整理总结.doc

题型一 用归纳推理发现规律
例1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
；；；.
解析：猜想：
证明：左边=
==右边
注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”
（1）先猜后证是一种常见题型
（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）
题型二 用类比推理猜想新的命题
例2：已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.
解析：原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高
注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等
（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。
（4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等
题型三 利用“三段论”进行推理
例3 某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入中的某个字母）
解析：因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多
注：从分式的性质中寻找S值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到
1.下列说法正确的是 （ ）
A.类比推理是由特殊到一般的推理
B.演绎推理是特殊到一般的推理
C.归纳推理是个别到一般的推理
D.合情推理可以作为证明的步骤
答案： C
3.已知 ，考察下列式子：；；
. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为
答案：
4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　　．
[解析]解法的类比（特殊化）
易得两个正方体重叠部分的体积为
5.已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积
[解析]
6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在的球的一般方程为_______________________.
答案；；
7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；
（2） 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．
答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；
（2）；
8. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：

根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为

答案：

(2014全国I卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .

1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。
小王说：“我肯定考上重点大学。”
小刘说：“重点大学我是考不上了。”
小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”
发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：（ ）
（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学
（B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学
（C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学
（D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上
3、给出下列三个命题：①若；②若正整数满足，则；③设上任意一点，圆以为圆心且半径为1。当时，圆相切。
其中假命题的个数是（ ）
（A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3

二、填空题
4、设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .
一、选择题
（1）由推理知识，可知应选（C）
（3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）
二、填空题
（4）分析 此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算： ，
，
，
发现正好是一个定值， ，.

【典型例题】
例1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王
发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 （ ）
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697
答案：C。解析：观察可知：

累加可得： ，
验证可知1681符合此式，且41×41=1681。
（2）下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；
③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比错误的是 ( )
A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
答案：D 。解析：由复数的性质可知。
（3）定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( )

（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A. B. C. D.
答案：B。

例3：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。
答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，
所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。
取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，
则此三棱锥的外接球的半径是。
例4： 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。
答案： 推广的结论：若 都是正数，

证明： ∵都是正数 ∴ ，
………，，

【课内练习】
1．给定集合A、B，定义，若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合中的所有元素之和为 （ ）
A.15 B.14 C.27 D.-14
答案：A 。 解析：，1+2+3+4+5＝15。
2．观察式子：，…，则可归纳出式子为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：C。解析：用n=2代入选项判断。
3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
4．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 。
答案：59。解析：记这一系列三角数构成数列，则由归纳猜测，两式相加得。或由，猜测。
5．数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列{}也为等比数列.
答案：。
6．“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。
答案：菱形对角线互相垂直且平分。
7．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用表示)
图1
图2
图3
图4

答案：66, 。解析：利用归纳推理知。
8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，
按图所标边长，由勾股定理有：
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .

答案：。
9．已知椭圆C：具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。
答案：本题明确要求进行“性质类比”。类似的性质：若M、N是双曲线上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。证明如下：
设，其中
设，由，
得
将代入得。
10．观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：
（Ⅰ）求第六行的第一个数．
（Ⅱ）求第20行的第一个数．
（Ⅲ）求第20行的所有数的和．
答案：（Ⅰ）第六行的第一个数为31
（Ⅱ）∵第行的最后一个数是，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第行的第一个数是 ∴ ∴ ∴第20行的第一个数为3
（Ⅲ）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数
设第20行的所有数的和为则

【作业本】
A组
1．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）
A．25 B．6 C．7 D．8
答案：C。解析：对于中，当n＝６时，有所以第２５项是７。
O
x
A
B
F
y
2．如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ）
A. B.
C. D.
答案：A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率等于.事实上对直角△应用勾股定理,得,即有,
注意到,,变形得.
3．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）
A、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°
B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人
D、在数列中，，由此推出的通项公式
答案：A。解析：B是类比推理，C、D是归纳推理。
4．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。
答案：②③①。解析：②是大前提，③是小前提，①是结论。
5．公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。
答案：，，；300。解析：采用解法类比。
6．二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。
答案：取自然数6，按角谷的作法有：6÷2=3，3×3+1=10，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1，其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1。
取自然数7，则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→……→1。
取自然数100，则100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→……→1。
归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1。
7．圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？设AB是椭圆的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为KOM、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？并证明你的结论。
答案：KOM·KAB=。证明：设，
则=0
∵
即KOM·KAB=，而，即KOM·KAB≠－1
∴OM与AB不垂直，即不能推广到椭圆中。
B组
1．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文,例如,明文对应密文.当接收方收到密文时,则解密得到的明文为（ ）
A． B． C． D．
答案：C。解析：本题考查阅读获取信息能力,实则为解方程组，解得，即解密得到的明文为。
2．平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为 （ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B。解析：由，利用累加法，得。
3．设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值为 （ ）
A、 B、2 C、3 D、4
答案：C。解析：。
4．考察下列一组不等式：
.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.
答案：（或为正整数）。解析：填以及是否注明字母的取值符号和关系，也行。
5．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，
则 ； ＝ .

答案：42；。
6．指出下面推理中的大前提和小前提。
（1）5与2可以比较大小； （2）直线。
答案：（1）大前提是实数可以比较大小，小前提是5与是实数。
（2）大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是。
7．已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，求的值。
答案：∵当，由，
从而可得：=

8．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,
(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；
(2)证明所得的结论。
答案：(1) a1＝, a2＝, a3＝, 猜测 an＝2－
(2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；
②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－,
当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,
且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2ak＋1＝2＋2－, ak＋1＝2－, 即当n＝k＋1时,命题成立.
根据①②得n∈N+ , an＝2－都成立
一、填空题　
1. 如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：

仿此，52的“分裂”中最大的数是___________，若的“分裂”中最小的数是211，则的值为___________.
2. 下面给出三个类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）；
①类比推出
②类比推出
,若
③类比推出
其中类比结论正确的序号是_____________（写出所有正确结论的序号）

3. 已知，则中共有　　　　项．
4. 设(是两两不等的常数),则的值是 ______________.

二、选择题　
5. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于
A．演绎推理 B．类比推理 C．合情推理 D．归纳推理
6. 用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以＞0”，你认为这个推理（ ）
A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的
7. 已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可类比
8. 下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（　　）
Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形
9. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（　　）

Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120
11. 设，则（ ）
A． B． C． D．
13. 计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十六进制
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示,则（ ）
A． B． C． D．
14. 设的最小值是（ ）
A． B． C．－3 D．

三、解答题　
15. 已知　记试通过计算的值，推测出的值。
16. 是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

17. 计算：
18. 设图像的一条对称轴是.
1）求的值； （2）求的增区间； （3）证明直线与函数的图象不相切。
一、填空题1. 9，152. ①②3. 4. 解析：，
，

二、选择题5. A6. A7. Ｃ8. Ｃ9. Ｃ10. B 解析：令，不能推出；反之
11. B 解析：，，即

13. A 解析：14. C 解析：令
三、解答题
15. 解析：（1）………得出猜想………16. 解析：假设存在，使得所给等式成立．
令代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．
（1）当时，由以上可知等式成立；
（2）假设当时，等式成立，即，
则当时，

．
由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．

17. 解析：

18. 解析：（1）由对称轴是，得，
而，所以（2）
，增区间为
（3），即曲线的切线的斜率不大于，
而直线的斜率，即直线不是函数的切线。