量子力学知识点小结.doc

第一章
⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。
⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
⒎普朗克量子假说：
表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。
⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。
⒐光电效应有两个突出的特点：
①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。
⒑爱因斯坦光量子假说：
光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程
⒒光电效应机理：
当光射到金属表面上时，能量为 E= hν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：
①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0 ≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 
②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。
⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：
①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ；
②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。
⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象
⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性
⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。

⒚光谱线：光经过一系列光学透镜及棱镜后，会在底片上留下若干条线，每个线条就是一条光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。
⒛线状光谱：原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。
21.标识线状光谱：对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的，也就是说，可以表征原子特征的线状光谱。
第二章
⒈量子力学中，原子的轨道半径的含义。
⒉波函数的物理意义：某时刻t在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波。
⒊波函数的特性：波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的几率，即不改变波函数所描写的状态。
⒋波函数的归一化条件
⒌态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态Ψ1，Ψ2，…Ψn，则这些可能状态的任意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说，当体系处于态Ψ时，体系部分地处于态Ψ1，Ψ2，…Ψn中。
⒍波函数的标准条件：单值性，有限性和连续性，波函数归一化。
⒎定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。。
⒐定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。
⒑本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于一个常数乘以该波函数，则称此方程为该算符的本征方程。常数fn为该算符的第n个本征值。波函数ψn为fn相应的本征波函数。
⒒束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。
⒓宇称：在一维问题中，凡波函数ψ(x)为x的偶函数的态称为偶(正)宇称态；凡波函数ψ(x)为x的奇函数的态称为奇(负)宇称态。
⒔在一维空间内运动的粒子的势能为(μω2x2)/2， ω是常数，这种粒子构成的体系称为线性谐振子。
线性谐振子的能级为：
⒕透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。
⒖隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
16．量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？
答: 量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。
17．什么是量子力学中的定态？它有什么特征？
答：定态是一种特殊状态即能量本征态，在定态下，一切显含时间的力学量（不管是否为守恒量）的平均值和几率分布都不随时间改变，粒子在空间的几率密度和几率流密度也不随时间改变。
第三章
⒈算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
⒉厄密算符的定义：如果算符满足下列等式，则称为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。
推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。
⒊厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
⒋简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。
简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。
⒌氢原子的电离态：氢原子中的电子脱离原子的束缚，成为自由电子的状态。
电离能：电离态与基态能量之差
⒍氢原子中在半径r到r+dr的球壳内找到电子的概率是：
在方向(θ，φ)附近立体角dΩ内的概率是：
⒎两函数ψ1和ψ2正交的条件是：式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称函数ψ1和ψ2相互正交。
⒏正交归一系：满足正交条件的归一化本征函数φk或φl。
⒐厄密算符本征波函数的完全性：如果φn(r)是厄密算符的正交归一本征波函数，λn是本征值，则任一波函数ψ(r)可以按φn(r)展开为级数的性质。或者说φn(r)组成完全系。
⒑算符与力学量的关系：当体系处于算符的本征态φ时，力学量F有确定值，这个值就是算符在φ态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。
⒒算符对易关系： 。
可对易算符：如果，则称算符与是可对易的；
不对易算符：如果，则称算符与是不对易的。
⒓两力学量同时有确定值的条件：
定理1：如果两个算符有一组共同本征函数φn，而且φn组成完全系，则算符对易。
定理2：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。
⒔测不准关系：当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值，

⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是：

量子力学中的能量守恒定律形式是：

⒖空间反演：把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如r→－r)的运算。
宇称算符：表示空间反演运算的算符。
宇称守恒：体系状态的宇称不随时间改变。
16.相关关系式：
,

第四章
⒈基底：设 e1, e2, e3 为线性无关的三个向量，空间内任何向量 v 必是e1, e2, e3 的线性组合，则e1, e2, e3 称为空间的基底。正交规范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的长度等于1，这样的基底叫做正交规范基底。
⒉希耳伯特空间：如果把本征波函数Φm看成类似于几何学中的一个矢量(这就是波函数有时称为态矢量或态矢的原因)，则波函数的集合｛φm｝构成的一个线性空间。
⒊表象：量子力学中，态和力学量的具体表示方式。
第五章
1.斯塔克效应：在外电场中，原子光谱产生分裂的现象。
2.分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。
3.周期微扰产生跃迁的条件是：，说明只有当外界微扰含有频率时，体系才能从态跃迁到态，这时体系吸收或发射的能量是，这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。
4.光的吸收现象：在光的照射下，原子可能吸收光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的现象。
5.原子的受激辐射(跃迁)现象：在光的照射下，原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出光的现象。
6.原子的自发辐射(跃迁)现象：在无光照射时，处于激发态的原子跃迁到较低能级而发光的现象。
7.自发发射系数：表示原子在单位时间内，由能级自发跃迁到能级，并发射出能量为的光子的几率。
8.受激发射系数：作用于原子的光波在频率范围内的能量密度是，则在单位时间内，原子由能级受激跃迁到能级、并发射出能量为的光子的几率是。
9.吸收系数：原子由低能级跃迁到高能级、并吸收能量为的光子的几率是。
第七章
⒈斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由。
⒉塞曼效应：在外磁场中，每一条光谱线劈裂成一组相邻谱线的现象。
简单(正常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为三条光谱线。
产生的条件是：当外磁场足够大时，自旋和轨道运动间相互作用可以忽略。
复杂(反常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为更多条光谱线。
产生的条件是：在弱外磁场中，必须考虑自旋和轨道运动间相互作用。
⒊两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量S：
，
所以两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量只能有两个可能值。
⒋两个电子轨道角动量耦合的轨道总角动量L：

对于两个电子，就有几个可能的轨道总角动量。
⒌电子自旋角动量与轨道角动量耦合为一个总角动量J1：

每个电子只有两个J1值。
⒍LS耦合总角动量J：

⒎jj耦合总角动量J：

⒏价电子：原子最外层的电子。原子的化学性质以及光谱特性都决定于价电子。
⒐内层电子：原子中除价电子外的剩余电子。
⒑原子实：原子核与内层电子组成一个完整而稳固的结构。
⒒电子组态：价电子所处的各种状态。
⒓原子态：原子中电子体系的状态。
⒔原子态符号：用来描述原子状态的符号。
⒕原子态符号规则：用轨道总量子数l、自旋总量子数s和总角动量量子数j表示
①轨道总量子数l=0,1,2,···，对应的原子态符号为S,P,D,F,H,I,K,L,···;
②原子态符号左上角的数码表示重数，大小为2s +1,表示能级的个数。
③原子态符号右下角是j值 ，表示能级对应的j值 。
形式为：
⒖光谱的精细结构：用分辨率足够高的仪器观察类氢原子的光谱线，会发现每一条光谱线并不是简单的一条线，而是由二条或三条线组成的结构，这种结构称为光谱的精细结构。
⒗原子态能级的排序(洪特定则)：
(1)从同一电子组态形成的、具有相同L值的能级中，那重数最高的，即S值最大的能级位置最低；
(2)从同一电子组态形成的、具有不同L值的能级中，那具有最大L值的位置最低。
⒘辐射跃迁的普用选择定则：
1、选择定则：原子光谱表明，原子中电子的跃迁仅发生在满足一定条件的状态之间，这些条件称为选择定则。
2、原子的宇称：如果原子中各电子的l量子数相加，得到偶数，则原子处于偶宇称状态；如果是奇数，则原子处于奇宇称状态。
3、普遍的选择定则：跃迁只能发生在不同宇称的状态间，偶宇称到奇宇称，或奇宇称到偶宇称。电子能否有跃迁首先要考虑这一条，然后按照耦合类型再有以下定则。
⒙LS耦合选择定则：
①，要求单一态电子只能跃迁到单一态，三重态电子只能跃迁到三重态。
②，当时，要考虑宇称奇偶性改变的要求。
③，的跃迁是禁止的。
jj耦合选择定则：
①
②，的跃迁是禁止的。
⒚全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同微观粒子。
⒛全同粒子的特性：全同粒子具有不可区分性，只有当全同粒子的波函数完全不重叠时，才是可以区分的。
21.全同性原理: 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
22.对称波函数：设qi表示第i个粒子的坐标和自旋，Φ(q1,…,qi,qj,…,t)表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数不变，则Φ是q的对称波函数。
23.反对称波函数：设qi表示第i个粒子的坐标和自旋，Φ(q1,…,qi,qj,…,t)表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数变号，则Φ是q的反对称波函数。
24.对称性守恒原理：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称(反对称)的状态，则它将永远处于对称(反对称)的状态上。
25.费密子：自旋为或奇数倍的全同粒子。费密子的特点：组成体系的波函数是反对称的，服从费密—狄拉克统计。
26.玻色子：自旋为零、或整数倍的全同粒子。玻色子的特点：组成体系的波函数是对称的，服从玻色—爱因斯坦统计。
27.交换简并：由全同粒子相互交换而产生的简并。
28.泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。
29.交换能的出现，是由于全同粒子的波函数必须是对称波函数或反对称波函数的缘故。
30.交换能J与交换密度有关，其大小决定于两个电子波函数重叠的程度。重叠程度越大，交换能就越大。
31.LS耦合引起的精细结构分析。如n=3能级中，有一个p电子和d电子所引起的能级差别(原子态)。
32. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度。
33. 反常塞曼效应的特点，引起的原因。(碱金属原子能级偶数分裂；光谱线偶数条；分裂能级间距与能级有关；由于电子具有自旋。)
量子力学期末试题及答案一
一、（20分）已知氢原子在时处于状态

其中，为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。
解 已知氢原子的本征值为
， （1）
将时的波函数写成矩阵形式
（2）
利用归一化条件
（3）
于是，归一化后的波函数为
（4）
能量的可能取值为，相应的取值几率为
（5）
能量平均值为
（6）
自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为
（7）
自旋分量的平均值为
（8）
时的波函数
（9）
二. （20分） 质量为的粒子在如下一维势阱中运动

若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。
解 对于的情况，三个区域中的波函数分别为
（1）
其中，
（2）
利用波函数再处的连接条件知，，。
在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
（3）
得到
（4）
于是有
（5）
此即能量满足的超越方程。
当时，由于
（6）
故
（7）
最后得到势阱的宽度
（8）
三、（20分） 证明如下关系式
（1）任意角动量算符满足 。
证明 对分量有

同理可知，对与分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。
投影算符是一个厄米算符，其中，是任意正交归一的完备本征函数系。
证明 在任意的两个状态与之下，投影算符的矩阵元为

而投影算符的共軛算符的矩阵元为

显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符是厄米算符。
利用证明，其中，为任意正交归一完备本征函数系。
证明

四、（20分） 在与表象中，在轨道角动量量子数的子空间中，分别计算算符、与的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。
解 在与表象下，当轨道角动量量子数时，，显然，算符、与皆为三维矩阵。
由于在自身表象中，故是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有
（1）
相应的本征解为
（2）
对于算符、而言，需要用到升降算符，即
（3）
而
（4）
当时，显然，算符、的对角元皆为零，并且，
（5）
只有当量子数相差时矩阵元才不为零，即
（6）
于是得到算符、的矩阵形式如下
（7）
满足的本征方程为
（8）
相应的久期方程为
（9）
将其化为
（10）
得到三个本征值分别为
（11）
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
（12）
满足的本征方程为
（13）
相应的久期方程为
（14）
将其化为
（15）
得到三个本征值分别为
（16）
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
（17）
五、（20分） 由两个质量皆为、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项（分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为

式中， 。
解 体系的哈密顿算符为
（1）
其中
（2）
已知的解为
（3）
其中
（4）
将前三个能量与波函数具体写出来
（5）
对于基态而言，，，体系无简并。
利用公式
（6）
可知

（7）
显然，求和号中不为零的矩阵元只有
（8）
于是得到基态能量的二级修正为
（9）
第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为
（10）
其中
（11）
将上式代入（10）式得到
（12）
整理之，满足
（13）
于是得到第二激发态能量的一级修正为
（14）
量子力学期末试题及答案二

一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1、A,B两束光，A的波长，B的波长，请问哪束光的能量更高？ A .
2、微观粒子的波函数应满足的三个标准条件是 单值性，连续性，有限性 .
3、一粒子的波函数，请问该粒子是否处在动量的本征态？ 否.
4、粒子穿过方势垒，请问透射系数随着势垒的加高减小还是增大？减小..
5、假如两力学量算符具有共同的本征函数，则此这个算符是否对易？对易.
6、对易关系，，.
7、已知,则.
8、算符在其自身表象中的表示是否为对角矩阵？ 是 .
9、已知泡利算符分量，sx, sy的矩阵表达式
分别为，.
10、写出氧原子（原子序数）的电子排布:.
二、解答题（本大题共6小题，共70分）
1、一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：一位无限深势阱中，定态薛定谔方程
（1） （2分）
在阱外，,，若波函数, 由(1)式得, 这是没有意义的。因此, 在阱外必有。 （2分）
在阱内, ,令,由 (1)式得
. (2)
上式的通解是 , (3)
是两个待定常数.由于在边界处连续,有且
.
由于,否则只能有零解,故,.将粒子波函数代入归一化条件,积分得, 所以, 归一化波函数为
. (4) （5分）
粒子能量为 . (5) （3分）
2、粒子状态处于一维谐振子的基态 试求平均值和动量的几率分布函数。（利用积分公式：）
解：平均值为
（4分）
因为动量的本征函数为 ，所以

（4分）
动量几率分布函数为
（2分）

3、有二个物理量，它们的矩阵表示为：
,
(1)如果测量，得到的可能的值是什么？
解：的久期方程为

∴的本征值为 （3分）
(2)求的本征函数。
解：的本征方程
（1分）
其中设为的本征函数。
当时，有

由归一化条件
，所以
∴ （2分）
当时，有

由归一化条件
，所以

∴ （2分）
当时，有

由归一化条件
，所以

∴ （2分）
(3)求的本征值。
解：的久期方程为

∴的本征值为 （3分）

(4)求的本征函数。
解：的本征方程

其中设的本征函数. （1分）
当时，有

∴
由归一化条件
. 取
（2分）
当时，有

∴
由归一化条件
. 取
∴。 （2分）
当时，有

∴
由归一化条件 . 取
∴。

4、设一体系未受微扰作用时有三个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为，a和b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。
解：因为，由微扰论公式（2分）
可得

5、证明轨道角动量满足.（其中）
证明：
6、简述量子力学的基本假设。

答：(1) 微观体系的状态用波函数完全描述。（2分）
(2) 体系的状态波函数满足薛定鄂方程：.（2分）
(3) 力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密算符表示，它的本征函数组成完全系，当体系处于波函数时，可用某力学量算符的本征函数展开，，测量力学量所得的数值必是算符的本征值之一，测得的几率为.（4分）
(4) 全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态.（2分）