椭圆的内接三角形问题.doc

椭圆的最大面积内接三角形的周长最值问题
（安徽省马鞍山市第二中学当涂分校 孙世宝 邮编：243100）
文献[1]中提出了这样一个猜想：椭圆的具有最大面积的三角形中，周长取最值的三角形一定是等腰的. 笔者的研究表明，这个猜想是正确的. 下文以分别表示循环和、循环积.
为了便于后面应用，先给出一个引理.
引理：则有如下的一系列恒等式
（1）；
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
利用复数或三角恒等变换都能给出上述结论的证明，此处从略.
问题的解答：设椭圆的方程为是其一面积最大的内接三角形. 利用仿射变换，椭圆将变为单位圆
此时是内接于单位圆，且具有最大面积，它是等边三角形.
这样可设它的各点的坐标为于是相应的
利用两点间距离公式算得：
的周长
+
以下为计算方便，记：
则
这样即： ①
下面求解满足方程①的所有这是解决前面猜想的至关重要的一步.
记

方程①即：这样
展开来就是：将前面的式子代入得到：
②
记方程②的左右两边的式子分别为，则：
利用引理（）可算得：

，
于是
其中
=

这样利用即
代入方程①检验后知道这确是其全部解.
我们不难检验周长函数具有周期故要求其值域，只需考查
这一小段就可以了，在这个范围内函数只有一个极值点
又

（，再两边分子有理化就行了）
这两个值就是最值.
此时取最大值时三顶点坐标为：
取最小值时三顶点坐标为：
这样的周长取最值的三角形共有4个，都是等腰的，并且它们的顶点就是椭圆的顶点.
（把的值全部求一下，也能得到同样的两个值，所对应的三角形也都是等腰的,共4个）笔者把它叙述为如下的结论.
定理：椭圆的具有最大面积的内接三角形中，周长最大、最小的三角形都是等腰的.（各2个）其一个顶点在椭圆的长轴端点时，周长最小; 一个顶点在椭圆的短轴端点时，周长最大.
参考文献：
1．刘培杰主编. 400个最新世界著名最值问题. 哈尔滨工业大学出版社，2008年9月第一版，