椭圆的简单几何性质系列(上课)(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,椭圆的简单几何性质,1,1,F,1,(-c,0),，,F,2,(c,0),F,1,(0,-c),，,F,2,(0,c),椭圆分母看大小焦点随着大的跑,1,2,y,o,F,F,M,x,1,o,F,y,x,2,F,M,c,a,b,M,2,椭圆 简单的几何性质,范围：,-axa,-byb,椭圆落在,x=a,y=b,组成的矩形中（如图）,o,y,B,2,B,1,A,1,A,2,F,1,F,2,c,a,b,1.,观察：,x,y,的范围？,2.,思考：如何用代数方法解释,x,y,的范围？,-axa,-byb,一,.,范围,3,二、椭圆的顶点,令,x=0,，得,y=,？，,说明椭圆与,y,轴的交点（），,令,y=0,，得,x=,？,说明椭圆与,x,轴的交点（）。,*,顶点,：,椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。,o,x,y,B,1,(0,b),B,2,(0,-,b),A,1,A,2,(a,0),0,b,a,0,*,长轴,、,短轴,：,线段,A,1,A,2,、,B,1,B,2,分别叫做椭圆的长轴和短轴。,a,、,b,分别叫做椭圆的,长半轴长,和,短半轴长,。,焦点总在长轴上,!,4,三,.,椭圆的对称性,Y,X,O,P,1,（,-x,，,y,）,P,2,（,-x,，,-y,）,P,3,（,-x,，,-y,）,P,（,x,，,y,）,把,(,X,),换成,(,-,X,),方程不变,说明椭圆关于,(),轴对称；,把,(,Y,),换成,(,-,Y,),方程不变,说明椭圆关于,(),轴对称；,把,(,X,),换成,(,-,X,),(,Y,),换成,(,-,Y,),方程还是不变,说明椭圆关于,(,),对称；,Y,X,原点,所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。,5,1,2,3,-1,-2,-3,-4,4,y,1,2,3,-1,-2,-3,-4,4,y,1,2,3,4,5,-1,-5,-2,-3,-4,x,1,2,3,4,5,-1,-5,-2,-3,-4,x,练习：根据前面所学有关知识画出下列图形,（,1,）,（,2,）,A,1,B,1,A,2,B,2,B,2,A,2,B,1,A,1,6,四,、椭圆的离心率,离心率：,椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,1,离心率的取值范围：,1,）,e,越接近,1,，,c,就越接近,a,，从而,b,就越小，椭圆就越扁,因为,a c 0,，所以,0e b),知识归纳,a,2,=b,2,+c,2,8,关于,x,轴、,y,轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0),、,(-a,0),、,(0,b),、,(0,-b),(c,0),、,(-c,0),长半轴长为,a,短半轴长为,b.,(ab),(b,0),、,(-b,0),、,(0,a),、,(0,-a),(0,c),、,(0,-c),关于,x,轴、,y,轴成轴对称；关于原点成中心对称,长半轴长为,a,短半轴长为,b.,(ab),-a x a,-b y b,-a y a,-b x b,a,2,=b,2,+c,2,a,2,=b,2,+c,2,9,例题,1:,求椭圆,9 x,2,+4y,2,=36,的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点坐标。,椭圆的长轴长是,:,离心率,:,焦点坐标是,:,四个顶点坐标是,:,椭圆的短轴长是,:,2a=6,2b=4,解题步骤：,1,、将椭圆方程转化为标准方程求,a,、,b,：,2,、确定焦点的位置和长轴的位置,.,解：把已知方程化成标准方程,四、例题讲解：,10,练习,:,求椭圆,16 x,2,+25y,2,=400,的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。,解：把已知方程化成标准方程,椭圆的长轴长是,:,离心率,:,焦点坐标是,:,四个顶点坐标是,:,椭圆的短轴长是,:,2a=10,2b=8,11,例,2:,求适合下列条件的椭圆的标准方程：,（,1,）经过点,（,-3,，,0,）、,（,0,，,-2,）；,解：,方法一：,设椭圆方程为,mx,2,ny,2,1,（,m,0,，,n,0,，,mn,），,将点的坐标代入方程，求出,m,1/9,n,1/4,。,所以椭圆的标准方程为,方法二：,利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在,x,轴上，且点,P,、,Q,分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故,a,3,，,b,2,，所以椭圆的标准方程为,（,2,）离心率为 ，经过点（,2,0,）,12,练习：,椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的,2,倍，求椭圆的标准方程,分析：,题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置,椭圆的标准方程为：；,椭圆的标准方程为：；,解：,（,1,）当 为长轴端点时，,（,2,）当 为短轴端点时，,，,综上所述，椭圆的标准方程是 或,13,椭圆的简单几何性质,2,14,关于,x,轴、,y,轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0),、,(-a,0),、,(0,b),、,(0,-b),(c,0),、,(-c,0),长半轴长为,a,短半轴长为,b.,(ab),(b,0),、,(-b,0),、,(0,a),、,(0,-a),(0,c),、,(0,-c),关于,x,轴、,y,轴成轴对称；关于原点成中心对称,长半轴长为,a,短半轴长为,b.,(ab),-a x a,-b y b,-a y a,-b x b,a,2,=b,2,+c,2,a,2,=b,2,+c,2,15,二,.,离心率的常见题型及解法,题型一：定义法,例,1.,已知椭圆方程为,+=1,，求椭圆的离心率；,1.,直接算出,a,、,c,带公式求,e,F,2,(c,0),x,o,y,F,1,(-c,0),P,c,a,2.,几何意义：,e,为,OPF,2,的正弦值,16,3.,已知,a,2,、,c,2,直接求,e,2,变式训练,1,：,若椭圆,+=1,的离心率为,1/2,，求,m,的值,.,4.,已知,a,2,、,b,2,不算,c,直接求,e,17,题型二：方程法,例,2,.,依据,a,b,c,e,的关系，构造关于,a,c,的齐次式，解出,e,即可，但要,注意椭圆离心率范围是,0eb0),的三个顶点为,B,1,(0,，,-b),，,B,2,(0,，,b),A(a,0),焦点,F(c,0),且,B,1,F,AB,2,求该椭圆的离心率。,B,2,(0,，,b),B,1,(0,，,-b),A(a,0),F(c,0),x,o,y,21,练习,2,：已知一椭圆的短轴长与焦距长相等，求椭圆的离心率。,22,五,.,小结,1.,知识点：求离心率的两种常规方法：,（,1,）定义法,:,求,a,c,或,a,、,c,的关系；,（,2,）方程法,:,根据题上的相等关系，构造关于,a,c,的齐次式，解出,e.,2.,思想方法,：,方程的思想，转化的思想,23,高考链接,（,2012,新课标全国卷）设,F,1,和,F,2,是椭圆,+=1(ab0),的左、右焦点，,P,为直线,x=,上一点，,F,2,P,F,1,是底角为,30,的等腰三角形，求该椭圆的离心率。,F,2,(c,0),x,o,y,F,1,(-c,0),x=3a/2,P,30,2c,2c,c,2c=3a/2,24,六,.,课后练习,2.,设椭圆的两个焦点分别为,F,1,和,F,2,，过,F,2,作椭圆,长轴的垂线交椭圆于点,P,，若为,F,2,PF,1,等腰直角,三角形，求椭圆的离心率,.,1.,若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率,.,3.,已知椭圆的两个焦点为,F,1,和,F,2,，,A,为椭圆上一,点，且,AF,1,AF,2,，,AF,1,F,2,=60,，求该椭圆的,离心率。,25,1.,椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为,6,，,则椭圆的方程 为,（）,(A),(B),(C),(D),或,或,C,2.,若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率,e=_,26,已知椭圆 的离心率 ，求 的值,由 ，得：,解：,当椭圆的焦点在 轴上时，,，得 ,当椭圆的焦点在 轴上时，,，得 ,由 ，得 ，即 ,满足条件的 或 ,练习,2,：,已知椭圆 的离心率 ，求 的值,27,练习,3,：,28,例,4,：,点,M(x,y),与定点,F(4,0),的距离和它到定直线,l,:x=,的距离的比是常数 ，求点,M,的轨迹,。,x,y,o,F,M,l,F,1,l,(,椭圆的第二定义,),准线方程：,29,解：,如图，设,d,是点,M,到直线,L,的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：,由此得：,这是一个椭圆的标准方程，所以点,M,的轨迹是长轴、短轴分别是,2a,、,2b,的椭圆。,点,M,（,x,y,）与定点,F,（,c,0,）的距离 和它到定直线,的距离比是常数,求,M,点的轨迹。,平方，化简得：,30,若点,F,是定直线,l,外一定点，动点,M,到点,F,的距离,与它,到直线,l,的距离,之,比,等于常数,e,(0,e,1),，则点,M,的轨迹是椭圆,.,M,F,H,l,新知探究,动画,第二定义,31,直线 叫做椭圆相应于焦点,F,2,(c,，,0),的,准线,，相应于焦点,F,1,(,c,，,0),的准线方程是,O,x,y,F,2,F,1,新知探究,32,椭圆的准线与离心率,离心率,：,椭圆的准线：,o,x,y,M,L,L,F,F,离心率的范围,：,相对应焦点,F,（,c,0,），准线是：,相对应焦点,F,（,-c,0,），准线是：,33,1.,基本量,:,a,、,b,、,c,、,e,、,几何意义：,a,-,长,半,轴、,b,-,短,半,轴、,c,-,半焦距，,e,-,离心率；,相互关系：,椭圆中的基本元素,2.,基本点：,顶点、焦点、中心,3.,基本线,:,对称轴,（共两条线），,准线,焦点总在长轴上,!,课堂小结,-,准线,34,椭圆,+=1,上一点,P,到,右准线的距离为,10,则,:,点,P,到左焦点的,距离为,(),A.14 B.12 C.10 D.8,35,36,【答案】,6,37,38,39,例,3,：,40,变式,41,1.,若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则,:,离心率,e=_,2,离心率,e=,且两准线间的距离为,4,的椭圆的,标准方程为,_,3.,若椭圆的短轴长为,2,长轴是短轴的,2,倍,则,:,中心到准线,的距离为,(),A.B.C.D.,4.,离心率,e=,一条准线方程为,x=-,求标准方程,42,椭圆的简单几何性质,3,43,直线与椭圆的位置关系,种类,:,相离,(,没有交点,),相切,(,一个交点,),相交,(,二个交点,),44,直线与椭圆的位置关系的判定,代数方法,45,1.,位置关系：相交、相切、相离,2.,判别方法,(,代数法,),联立直线与椭圆的方程,消元得到二元一次方程组,(1)0,直线与椭圆相交,有两个公共点；,(2)=0,直线与椭圆相切,有且只有一个公共点；,(3)0,直线与椭圆相离,无公共点,通法,知识点,1.,直线与椭圆的位置关系,46,例,1,：直线,y=x+1,与椭圆 恒有公共点,求,m,的取值范围。,题型一：直线与椭圆的位置关系,变式练习,：,y=kx+1,与椭圆 恰有公共点，则,m,的范围（）,A,、（,0,，,1,）,B,、（,0,，,5,）,C,、,1,，,5,）,（,5,，,+,）,D,、（,1,，,+,）,47,练习,1.K,为何值时,直线,y=kx+2,和曲线,2x,2,+3y,2,=6,有两个公共点,?,有一个公共点,?,没有公共点,?,练习,2.,无论,k,为何值,直线,y=kx+2,和曲线,交点情况满足,(),A.,没有公共点,B.,一个公共点,C.,两个公共点,D.,有公共点,D,48,l,m,m,49,o,x,y,50,o,x,y,思考：最大的距离是多少？,51,设直线与椭圆交于,P,1,(x,1,y,1,),，,P,2,(x,2,y,2,),两点，直线,P,1,P,2,的斜率为,k,弦长公式：,知识点,2,：弦长公式,可推广到任意二次曲线,52,例,3,：,已知斜率为,1,的直线,L,过椭圆 的右焦点，交椭圆于,A,，,B,两点，求弦,AB,之长,53,54,55,例,5,：已知椭圆 过点,P(2,，,1),引一弦，使弦在这点被,平分，求此弦所在直线的方程,.,解：,韦达定理,斜率,韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造,知识点,3,：中点弦问题,56,例,5,已知椭圆 过点,P(2,，,1),引一弦，使弦在这点被,平分，求此弦所在直线的方程,.,点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造,出中点坐标和斜率,点,作差,57,知识点,3,：中点弦问题,点差法：,利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率,58,直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的,思想方法,59,例,5,已知椭圆 过点,P(2,，,1),引一弦，使弦在这点被,平分，求此弦所在直线的方程,.,所以,x,2,+4y,2,=(4-x),2,+4(2-y),2,，整理得,x+2y-4=0,从而,A,B,在直线,x+2y-4=0,上,而过,A,B,两点的直线有且只有一条,解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，,60,练习：,P49,：,A8,61,例,6,、,如图，已知椭圆 与直线,x+y-1=0,交,于,A,、,B,两点，,AB,的中点,M,与椭圆中心连线的,斜率是 ，试求,a,、,b,的值。,o,x,y,A,B,M,62,练习：,已知椭圆,5x,2,+9y,2,=45,，椭圆的右焦点为,F,，,(1),求过点,F,且斜率为,1,的直线被椭圆截得的弦长,.,(2),判断点,A(1,1),与椭圆的位置关系,并求以,A,为中点,椭圆的弦所在的直线方程,.,63,练习：,已知椭圆,5x,2,+9y,2,=45,，椭圆的右焦点为,F,，,(1),求过点,F,且斜率为,1,的直线被椭圆截得的弦长,.,(2),判断点,A(1,1),与椭圆的位置关系,并求以,A,为中点,椭圆的弦所在的直线方程,.,64,3,、,弦中点问题,的两种处理方法：,（,1,）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；,（,2,）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。,1,、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；,2,、弦长的计算方法：,弦长公式：,|,AB|=,=,（适用于任何曲线）,小 结,解方程组消去其中一元得一元二次型方程,0,相交,65,66,67,68,69,