高考数学冲刺专题复习之——求数列的前n项和(教师版).doc

高考数学（文）冲刺专题复习之——求数列的前n项和
求数列前n项和的常用方法有：公式法、裂项求和法、错位相减法、分组求和法、并项求和法等，应根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法.
一、公式法
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
例题 （2015四川文）设数列（）的前项和满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
解析（1）由已知，可得，
即.则，.
又因为，，成等差数列，即.
所以，解得.
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
（2）由（1）可得，所以.
训练 已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4；
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和

解：(1)设{an}的公差为d ，由已知得

解得a1＝3,d＝－1
故an＝3－(n－1)(－1)＝4－n…………………………………………5分
(2)由(1)的解答得，bn＝n·qn－1，于是
Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋……＋(n－1)·qn－1＋n·qn.
若q≠1，将上式两边同乘以q，得
qSn＝1·q1＋2·q2＋3·q3＋……＋(n－1)·qn＋n·qn＋1.
将上面两式相减得到
(q－1)Sn＝nqn－(1＋q＋q2＋……＋qn－1)

＝nqn－
于是Sn＝
若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋……＋n＝
所以，Sn＝……………………………………12分

二、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
裂项原形：
（1） （2）

（3） （4）
（5） （6），

例题1 （2015江苏卷11）设数列满足，且，则数列前项的和为 ．
解法：由题意得，，…，
故累加得，从而，
当时，满足通项．故，
则有

例题2（2013江西文）正项数列满足：.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 令，数列的前项和为．
解析 （1）由，得.由于是正项数列，所以.
（2）由，则，
.
从而.
例题3 （2013广东文）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，,且构成等比数列．
(1) 证明：；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数，有
解析 （1）证明：由，得，即，所以.
因为，所以.
（2）因为 ①
所以当时， ②
由①-②得，
即.
因为，所以，即.
因为成等比数列，所以，即，解得.
又由（1）知，所以，所以.
综上知，所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以.
所以数列的通项公式为.
（3）证明：由（2）知，
所以
.
（2017全国3文）设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解析 （1）令 ，则有 ，即.
当时， ①
②
得，即，得.
当时，也符合，所以.
（2）令，
所以

例题4 （2015安徽）已知数列是递增的等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，，求数列的前项和，
并证明对一切正整数，1.
解析 （1）因为是等比数列，且，所以.
联立，又为递增的等比数列，即.
解得或（舍），可得，得.
所以.
（2）由（1）可知，
所以，
所以.
故.
例题5 （2014陕西文）根据如图所示框图，对大于的整数，输出的数列的通项公式是（ ）.
A. B. C. D.

三、错位相减法
设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列（即等差比数列）的前项和求解，均可用错位相减法。
步骤：1、展开；2、乘公比错位；3、作差（大系数减小系数）；4、化简；
例题1 （2012江西） 已知数列的前项和，，且的最大值为8.
（1）确定常数，求；
（2）求数列的前项和。
【答案】

例题2（2015湖北文）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，.
(1)求数列，的通项公式;
(2)当时，记，求数列的前项和.
18.解析 (1)由题意有，，即.
解得，或.故或.
(2)由，知，，故，
于是， ①
. ②
式①式②可得.故.
例题3 （2015天津文）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设,求数列的前项和.
分析（1）列出关于与的方程组，通过解方程组求出，即可确定通项；（2）用错位相减法求和.
解析 （1）设的公比为，的公差为，由题意，由已知，有，
消去得，解得，所以的通项公式为，
的通项公式为.
（2）由（1）有，设的前项和为，
则，
，
两式相减得，
所以.
例题4 （2015浙江文）已知数列和满足，
.
(1)求与;
(2)记数列的前项和为，求.
解析 (1)由题意知是等比数列，，，所以.
当时，，所以，
所以，所以，又，所以.
（或采用累乘法）
(2)，所以，
所以，
所以.
例题5 （2017山东文）已知是各项均为正数的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前项和，已知，求数列的前项和.
解析 （1）设数列的公比为，由题意知，，.
又，解得，，所以.
（2）由题意知，.
又，，所以.
令，则，
因此，
又，
两式相减得，所以.
例题6 （2014安徽文）数列满足，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
解析 （I）由已知可得，即.所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（II）由（I）得，所以.从而.
，①
.②
得.
所以.
评注 本题考查等差数列定义的应用，错位相减法求数列的前项和，解题时利用题（I）提示对递推关系进行变形是关键.

四、分组求和法
所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例题 （2015福建文）在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
分析（1）利用基本量法可求得，，进而求的通项公式；（2）求数列前项和，
首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，
故可采取分组求和法求其前项和．
解析 （1）设等差数列的公差为．
由已知得，解得．
所以．
（2）由（1）可得，
所以

.
训练 (辽宁)已知等差数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列的前n项和为Sn，
∵＝＝－，
∴Sn＝－.
记Tn＝1＋＋＋…＋， ①
则Tn＝＋＋＋…＋， ②
①－②得：Tn＝1＋＋＋…＋－，
∴Tn＝－.
即Tn＝4－.
∴Sn＝－4＋
＝4－4＋
＝.
训练2 （全国2文）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)， a3＋a4＋a5＝64(＋＋)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋)2，求数列{bn}的前n项和Tn.

bn＝(an＋)2＝＋＋2＝4n－1＋＋2.
因此Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋＋…＋)＋2n＝＋＋2n
＝ (4n－41－n)＋2n＋1.

五、含绝对值的数列的求和
例题 （2016浙江文17）设数列的前项和为.已知，，.
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和.
14.解析 （1）由题意得：，则.
因为，，
所以，得.
又知，所以数列的通项公式为，.
（2）对于，，，当时，有.
设，，，，当时，有.
设数列的前项和为，则，.
当时，，时也满足此式，
所以.
训练 数列{an}中，，，且满足（常数）
（1）求常数和数列的通项公式；
（2） ,

六、并项求和法：
一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型可采用两项合并求解．
例题 求_____________．