椭圆大题中的向量问题—基础篇.pdf

椭圆中的向量问题椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行角度判断、椭圆内的平行四四 边形问题边形问题1向量的数量积问题向量的数量积问题记点是轴上的一点，是直线：（不经过椭圆不经过椭圆,0P tx1122,A x yB xy、lykxml的顶点）的顶点）和椭圆的两个交点，则计算过程可分为以下三步：222210 xyababPA PBuu u r uu u r I写出向量的坐标（末写出向量的坐标（末初）初），并将，并将表示成表示成的形式的形式PA PBuu u r uu u r1212,f x x xx 11221122,PA PBxt yxt yxt kxmxt kxmuu u r uu u r 22212121kx xkmtxxmtII联立直线联立直线 和椭圆，得出和椭圆，得出，；l121,x xfk m122,xxfk m联立，得，2222220ykxmb xa ya b2222222220a kbxkma xamb则，2122222kmaxxa kb 22212222ambx xa kb III将将，代入代入式中，得到式中，得到，将，将转化为含转化为含的式子的式子12xx12x x,PA PBg k muu u r uu u rPA PBuu u r uu u r,k mPA PBuu u r uu u r222222222222221ambkmakkmtmta kba kb 2222222222222212abma bkkmtata kba kb其中其中 I、II 两步可以互换顺序两步可以互换顺序同理，若点同理，若点，则，则0,Pt2222222222222212abma bkmtbPA PBta kba kbuu u r uu u r特殊情况：当特殊情况：当为原点为原点时，时，PO2222222221abma bkOA OBa kbuuu r uuu r基础练习：请按照以下条件作答基础练习：请按照以下条件作答1已知斜率为的直线 经过点与椭圆交于两点，kl1,02212xyAB、（1）若点为原点，请写出关于斜率的关系式；OOA OBuuu r uuu rk（2）已知点，请写出关于斜率的关系式；2,0PPA PBuu u r uu u rk2若斜率为的直线 经过点与椭圆交于两点（注意（注意），kl0,222132xyAB、0（1）若点为原点，请写出关于斜率的关系式；OOA OBuuu r uuu rk（2）若点，请写出关于斜率的关系式；1,0PPA PBuu u r uu u rk（3）若点，请写出关于斜率的关系式；2,0PPA PBuu u r uu u rk1.1 求向量数量积的问题（给出点求向量数量积的问题（给出点的坐标）的坐标）P例 1：已知椭圆：，直线 经过的右焦点与椭圆交于两点，点C22143xylCFAB、3,0P（1）写出关于直线 的斜率的关系式；（）PA PBuu u r uu u rlk2271543kPA PBkuu u r uu u r（2）若，求直线 的方程；（）227PA PBuu u r uu u rl1yx （3）若，求的值；（，）2OA OB uuu r uuu rPA PBuu u r uu u r22k 2911PA PBuu u r uu u r（4）求的取值范围；（）PA PBuu u r uu u r7,54PA PBuu u r uu u r（5）若，求的取值范围；（，）247APPBuuu ruu u rPA PBuu u r uu u r21k 5 22,47PA PBuu u r uu u r（6）记分别为椭圆的左右顶点，DE、C 若，求直线 的方程；（）907AD EBAE DBuuu r uu u ruuu r uuu rl1yx 求的取值范围（）AD EBAE DBuuu r uu u ruuu r uuu r21,162AD EBAE DBuuu r uu u ruuu r uuu r练习练习 1.11已知椭圆的离心率，若直线：与椭圆恒有两个不同的交2214xy32e l2ykx点且，求的取值范围AB、2OA OBu u u r u u u rk2已知椭圆的左焦点为，设分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为22132xyFAB、F的直线与椭圆交于两点.，若，求的值kCD、8AC DBADCBu u u r u u u ru u u r u u u rk1.2 动点分析问题（直线动点分析问题（直线 过椭圆顶点的问题）过椭圆顶点的问题）l以 经过椭圆的左顶点为例l222210 xyabab,0Aa设：且 过点与椭圆交于点，lyk xalA22,B xy联立，得，2222220yk xab xa ya b222224422220a kbxk a xa ka b，得，4222122222a ka bx xaxa kb 2322222aba kxa kb222222ab kya kb即点23222222222,aba kab kBa kba kb动点分析问题的过程如下：动点分析问题的过程如下：I分析问题中涉及的动点；分析问题中涉及的动点；II按难易程度，通过联立的方法用直线斜率按难易程度，通过联立的方法用直线斜率表示出问题中所涉及的动点坐标；表示出问题中所涉及的动点坐标；k III按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率表示出来；表示出来；k IV将向量的数量积运用含将向量的数量积运用含的式子表示出来的式子表示出来k例 2：如图，椭圆：，记为椭圆的左右顶点，点为椭圆的上顶点，直E2214xyAB、C线 经过点与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与相交于lCDxPACBD点当点异于点时QPB（1）记为直线 的斜率，用表示点的坐标；klkPD、（）2221814,0,41 41kkPDkkk、（2）用表示出的斜率；（）kBDl2142BDkkk（3）用表示出点的坐标；（）kQ4,21Qkk（4）用表示出、的坐标，并求（，kOPuuu rOQuuu rOP OQuuu r uuu r1,0OPk uuu r4,21OQkk uuu r）4OP OQuuu r uuu r练习练习 1.2：1已知椭圆:，若为椭圆的右焦点，经过椭圆的上顶点的直线 与椭圆C2212xyFCBl另一个交点为，且满足A=2BA BFu u u r u u u r（1）用直线 的斜率表示点的坐标；lkA（2）用含的式子表示的坐标，同时表示出的坐标；kBAuu u rBFuuu r（3）用含的式子表示，构建方程；kBA BFuu u r uuu r 2f k（4）解出的值，写出直线 的方程.kl2已知椭圆若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连2212xyCD、MMDCD接交椭圆于点，证明：为定值CMPOM OPu u u u r u u u r（1）记直线的斜率为，用含的式子表示出点的坐标；CMlkkM（2）用含的式子表示出点的坐标；kP（3）用含的式子分别表示出、的坐标；kOPuuu rOMuuuu r（4）证明为定值OM OPu u u u r u u u r3已知椭圆，点，设直线 过点与椭圆交于另一点，点在2214xy2,0A lAB0(0,)Qy线段的垂直平分线上，且，求的值AB4QA QBuuu r uuu r0y（1）设直线 的斜率为，用含的式子表示点的坐标；lkkB（2）用含的式子表示出的中点坐标，并写出的中垂线方程；kABAB（3）用含的式子表示出点的坐标；kQ（4）用含的式子分别表示出，；kQAuuu rQBuuu r（5）运用，求直线 的方程，并求出点的坐标 4QA QBf kuuu r uuu rlQ2数量积问题的延伸数量积问题的延伸垂直问题和角度判断问题垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题记点是轴上的一点，是直线：和椭圆,0P tx1122,A x yB xy、lykxm的两个交点，由之前的讨论可知，222210 xyabab，2222222222222212abma bkkmtaPA PBta kba kbuu u r uu u r若，则PAPB0PA PBuu u r uu u r例 3：如图，记为椭圆的上顶点，A222210 xyabab为椭圆的两焦点，分别为的中点，12FF、12BB、12OFOF、是面积为的直角三角形12AB B4（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）过点作直线 与椭圆相交于两点，若，求直线 的方程1BlPQ、22PBQBl练习 2.11已知椭圆：，分别为椭圆的左、右焦点，若过点的直线 与椭圆C2212xy12FF、2Fl 相交于两点，且，求直线 的方程C P Q、11FPFQuuu ruuu rl2已知椭圆：，短轴上、下顶点分别为，若是椭圆上关于G2212xyAB、CD、G轴对称的两个不同点，直线与轴交于点，判断以线段为直径的圆是否过yBCxMMD点，并说明理由A3如图，已知椭圆，设点分别是椭圆和圆22142xyPQ、上位于轴两侧的动点，若直线与轴平行，直线OyPQx与轴的交点记为，试证明为直角.APBP、yMN、MQN2.2 角度问题角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系若若，则，则，即，即90APBocos0APBcos0PA PBPAPBAPBuu u r uu u ruu u ruu u r 点点在以在以为直径的圆外为直径的圆外PAB若若，则，则，即，即90APBocos0APBcos0PA PBPAPBAPBuu u r uu u ruu u ruu u r 点点在以在以为直径的圆上为直径的圆上PAB若若，则，则，即，即90APBocos0APBcos0PA PBPAPBAPBuu u r uu u ruu u ruu u r 点点在以在以为直径的圆内为直径的圆内PAB2.2.1 角度判断角度判断例 4：记分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线 与椭圆交12FF、2214xy0,2Ml于同的两点，且为锐角，求直线 的斜率的取值范围AB、AOBlk练习练习 2.2.11已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，设过点，斜率为的直线 交F22143xyOFkl椭圆于两点，若，求的取值范围AB、222OAOBABk2设分别为椭圆的左、右顶点，设为直线上不同于点的任AB、2214xyP4x 4,0意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形APAMMBP2.2.2 点与圆的位置关系问题点与圆的位置关系问题例 5：已知椭圆：，设直线交椭圆于两点，判断点E22142xy+=()1,xmymR=-EAB、与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由9(,0)4G-AB练习练习 2.2.21已知椭圆，直线 经过椭圆右焦点与椭圆相交于两点，试判断点22132xylFAB、与以为直径的圆的位置关系(2,0)MAB2已知椭圆：，为的左右顶点，直线 经过点C2214xyAB、Cl且轴，点是上异于的任意一点，直线交BlxPCAB、AP直线 于点lQ（1）记分别为直线的斜率，证明为定值；12kk、OQBP、12kk（2）当点运动时，判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论PQBP3向量线性运算问题向量线性运算问题向量的共线问题有很多种出题的模式，在这里我们只讲解最简单的一种模型向量的共线问题有很多种出题的模式，在这里我们只讲解最简单的一种模型椭圆椭圆内的平行四边形问题内的平行四边形问题记点记点是直线是直线：与椭圆与椭圆的两交点，的两交点，1122,A x yB xy、lykxm222210 xyabab点点在椭圆上，且四边形在椭圆上，且四边形为平行四边形，如下图为平行四边形，如下图33,P xyOAPByxQOPBA联立，得，22221ykxmb xa y2222222221a kbxkma xamb，2122222kmaxxa kb 2122222222b myyk xxma kb再由平行四边形的性质可得，OPOAOBuuu ruuu ruuu r，则点,312xxx312yyy2222222222,kmab mPa kba kb将点代入椭圆中可得，P22442222222222214141k m ab maba kba kb即即，得，得222241ma kb22224ma kb 在椭圆方程已知的情况下（1）当直线 过定点，或直线斜率确定，我们可以求出直线的方程；l（2）若直线 不过定点，也未知直线斜率，我们可以得到的关系，结合，我们l,k m0 可以求出、点到直线 的距离，或平行四边形的面积等OPABOldAOBOAPB几何量的取值范围（3）若点在以为邻边的平行四边形的对角线上，则，可以得出POAOB、OPOAOBuuu ruuu ruuu r，进而得到，这也是一个很有用的结3121xxx3121yyy222224ma kb 论例 6：已知椭圆 C：，直线 经过点交椭圆于两点，以为22132xyl0,1PAB、OBOA、邻边做平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点OAPBPO（1）验证当直线 斜率不存在时，是否存在这样的点；lkP（2）记直线 的斜率为，用含的式子表示，；lkk12xx12yy（3）由，将点的坐标用含的式子表示；OAOBOPuuu ruuu ruuu rPk（4）将点代入椭圆方程，得到方程；P 1f k（5）解方程，求出直线方程练习练习 3：1已知椭圆：，点为椭圆的右焦点，则椭圆上是否存在点，使得当 绕C22132xyFPl点转动到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标和直FOAPBP线方程；反之，请说明理由2已知椭圆：，直线 过点与椭圆相交于两点，为椭圆上一C2212xyl2,0MAB、P点，且满足，当时，求实数 的取值范围OAOBtOPu u u ru u u ru u u r2 53PAPBuu u ruu u rt3如图，已知椭圆：，斜率为的直线 经过椭圆的左焦点与椭圆交于E2214xyklF两点，直线：与椭圆交于两点，点是线段的中点AB、l40 xkyECD、MAB（1）证明：点在直线上；（运用点差法即可证明）M l（2）已知；3BDMACMSS（i）证明：；3DMCM（ii）证明四边形是平行四边形；OACB（iii）求直线 的方程l