资源描述
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时间：50分钟
基础组
1.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是( )
A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8
答案 A
解析 根据题意，直线x－y＋1＝0与x轴的交点为得(－1,0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝＝，则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.故选A.
2．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝
C．x2＋2＝ D．x2＋2＝
答案 C
解析 由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣孤所对圆心角为π，设圆心为(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.
3．圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－＝1的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝1 B．x2＋2＝3
C．x2＋2＝ D．x2＋(y－2)2＝4
答案 A
解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，结合图形可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x2＋(y－1)2＝1，选A.
4．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为( )
A．－3或7 B．－2或8
C．0或10 D．1或11
答案 A
解析 由题意可知，将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位长度后，所得直线l的方程为2(x＋1)－y＋λ＝0.由已知条件知圆的圆心为O(－1,2)，半径为.
解法一：直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离等于圆的半径，即＝，解得λ＝－3或λ＝7.
解法二：设直线l与圆相切的切点为C(x，y)，由直线与圆相切，可知CO⊥l，所以×2＝－1.又C(x，y)在圆上，满足方程x2＋y2＋2x－4y＝0，解得切点坐标为(1,1)或(－3,3)．又C(x，y)在直线2(x＋1)－y＋λ＝0上，则λ＝－3或λ＝7.
5. 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交A，B两点，则△OAB的面积为( )
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A．1 B.
C．2 D．2
答案 A
解析 圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径为2，直线l的斜率为－1，方程为x＋y－1＝0.圆心到直线l的距离d＝＝，弦长|AB|＝2＝2＝2，又坐标原点O到AB的距离为，∴△OAB的面积为×2×＝1，故选A.
6．已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，则|2x－y－2|的最小值是( )
A．5－ B．4－
C.－1 D．5
答案 A
解析 将x2＋y2－4x＋6y＋12＝0化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，|2x－y－2|＝×，几何意义表示圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上的点到直线2x－y－2＝0的距离的倍，要使其值最小，只使最小，由直线和圆的位置关系可知min＝－1＝－1，∴|2x－y－2|的最小值为×(－1)＝5－，选A.
7．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8
C．4 D．2
(注：此题条件还经常论述为“圆x2＋y2－2y－5＝0关于直线ax＋by＋c－1＝0对称”．)
答案 A
解析 依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有b＋c＝1，＋＝(b＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当，即b＝2c＝时取等号，因此＋的最小值是9，选A.
8. 已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是( )
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A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，2) D．[，2)
答案 C
解析 如右图，当|＋|＝||时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)的距离为1，此时k＝；当k>时，|＋|>||，又直线与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，故<k<2，综上，k的取值范围为[，2)．
9．已知点N(3,4)，圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，M是圆C上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
答案 5－1
解析 作点N关于x轴的对称点N′(3，－4)，则(|PC|＋|PN|)min＝|CN′|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－1.
10．已知圆C过定点A(0，a)(a>0)，且被x轴截得的弦MN的长为2a，若∠MAN＝45°，则圆C的方程为________．
答案 (x＋a)2＋(y－a)2＝2a2或(x－a)2＋(y－a)2＝2a2
解析 设圆C的圆心坐标为(x，y)，依题意，圆C的半径r＝，又圆C被x轴截得的弦MN的长为2a，所以|y|2＋a2＝r2，即y2＋a2＝x2＋(y－a)2，化简得x2＝2ay.因为∠MAN＝45°，所以∠MCN＝90°.从而y＝a，x＝±a，圆的半径r＝＝a，所以圆C的方程为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2或(x－a)2＋(y－a)2＝2a2.
11．设圆C：(x－k)2＋(y－2k＋1)2＝1，则圆C的圆心轨迹方程为________，若k＝0，则直线l：3x＋y－1＝0截圆C所得的弦长为________．
答案 2x－y－1＝0
解析 由圆的方程(x－k)2＋(y－2k＋1)2＝1得圆心坐标C(k,2k－1)，令消去k，得2x－y－1＝0，即圆C的圆心轨迹方程为2x－y－1＝0；当k＝0时，圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心到直线l：3x＋y－1＝0的距离d＝＝，则直线l：3x＋y－1＝0截圆C所得的弦长为2＝.
12．已知圆O的方程为x2＋y2＝2，圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是________．
答案 1或－7
解析 由圆的性质易知，当切线过圆M的圆心(1,3)时，|PQ|取最大值，这个最大值即为圆M的直径，设此直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0(k显然存在)．由＝得k＝1或－7.
能力组
13.圆C：(x－1)2＋y2＝25，过点P(2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A．10 B．9
C．10 D．9
答案 C
解析 因为圆的方程为(x－1)2＋y2＝25，所以圆心坐标为C(1,0)，半径r＝5，因为P(2，－1)是该圆内一点，所以经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC|＝，所以与PC垂直的弦长为2＝2.因此所求四边形的面积S＝×10×2＝10.
14．在圆x2＋y2＝5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差为d∈，那么n的取值集合为( )
A．{4,5,6,7} B．{4,5,6}
C．{3,4,5,6} D．{3,4,5,6,7}
答案 A
解析 圆的标准方程为2＋y2＝，∴圆心为，半径r＝，则最大的弦为直径，即an＝5，当圆心到弦的距离为，即点为垂足时，弦长最小为4，即a1＝4，由an＝a1＋(n－1)d得d＝＝＝，
∵≤d≤，∴≤≤，即3≤n－1≤6，
∴4≤n≤7，即n＝4,5,6,7，选A.
15．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点M的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
解 (1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r＝2，
当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
当过点M的直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴2＋2＝4，解得a＝－.
16. 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
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(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
解 (1)曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±2，0)，故可设圆的圆心坐标为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1，则圆的半径为＝3.
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组
消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，
由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a2>0.
由根与系数的关系可得
x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.
所以y1y2＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2，
即2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①②可得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
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