高二数学数列练习题(答案).doc

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高二《数列》专题
1．与的关系： ，已知求，应分时 ；时，= 两步，最后考虑是否满足后面的.
2.等差等比数列

等差数列
等比数列
定义
（）

通项
，

，
中项
如果成等差数列，那么叫做与的等差中项．。
等差中项的设法：
如果成等比数列，那么叫做与的等比中项．
等比中项的设法：，，
前项和
，

性
质

若，则
若，则

、、为等差数列
、、为等比数列
函数看数列

判定方法
（1）定义法：证明为一个常数；
（2）等差中项：证明，
（3）通项公式:为常数)()
（4）为常数)()
（1）定义法：证明为一个常数
（2）中项：证明
（3）通项公式：均是不为0常数）
（4）为常数，
3.数列通项公式求法。（1）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（2）累加法
（3）累乘法（型）；(4)利用公式；(5)构造法（型）(6) 倒数法 等
4.数列求和
（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。
5. 的最值问题：在等差数列中,有关 的最值问题——常用邻项变号法求解：  
(1)当 时，满足   的项数m使得取最大值.
(2)当 时，满足 的项数m使得取最小值。
也可以直接表示，利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
6.数列的实际应用
现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.

训练题
一、选择题
1.已知等差数列的前三项依次为、、，则2011是这个数列的 ( B )
A.第1006项 B.第1007项 C. 第1008项 D. 第1009项
2.在等比数列中，，则等于 （A ）
A．1023 B．1024 C．511 D．512
3．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝ (　　)
A．－2　　B．－ C. D．2
由等差中项的定义结合已知条件可知2a4＝a5＋a3，∴2d＝a7－a5＝－1，即d＝－.故选B.

4.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,则S20为( A )
A.180 B.－180
C.90 D.－90
5.（2010青岛市）已知为等差数列,若,则的值为（ A ）
A． B． C． D．
6．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为 (　　)
A．9 B．1 C．2 D．3
解析　由等比数列性质可知a3a5a7a9a11＝a＝243，所以得a7＝3，又＝＝a7，故选D.
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a5＝S5，且a9＝20，则S11＝(　　)
A．260 B．220
C．130 D．110
解析　∵S5＝×5，又∵S5＝a1＋a5，∴a1＋a5＝0.∴a3＝0，∴S11＝×11＝×11＝×11＝110，故选D.
8各项均不为零的等差数列{an}中，若a－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则S2 009等于 (　　)
A．0 B．2
C．2 009 D．4 018
解析　各项均不为零的等差数列{an}，由于a－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则a－2an＝0，an＝2，S2 009＝4 018，故选D.
9．数列{an}是等比数列且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于 (　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
解析　由于a2a4＝a，a4a6＝a，所以a2·a4＋2a3·a5＋a4·a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25.所以a3＋a5＝±5.又an>0，所以a3＋a5＝5.所以选A.
10. 首项为1，公差不为0的等差数列{an}中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是 (　　)
A．8 B．－8
C．－6 D．不确定
答案　B
解析　a＝a3·a6⇒(1＋3d)2＝(1＋2d)·(1＋5d)
⇒d(d＋1)＝0⇒d＝－1，∴a3＝－1，a4＝－2，∴q＝2.
∴a6＝a4·q＝－4，第四项为a6·q＝－8.
11.在△ABC中，tanA是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形
12、（2009澄海）记等差数列的前项和为，若，且公差不为0，则当取最大值时，（　)C
A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．7或8
13．在等差数列{an}中，前n项和为Sn，且S2 011＝－2 011，a1 007＝3，则S2 012的值为 (　　)
A．1 006 B．－2 012
C．2 012 D．－1 006
答案　C解析　方法一　设等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意可得，

即解得
所以，S2 012＝2 012a1＋d
＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2
＝2 012×(4 022－4 021)＝2012.
方法二　由S2 011＝＝2 011a1 006＝－2 011， 解得a1 006＝－1，则
S2 012＝＝＝＝2 012.
14．设函数f(x)满足f(n＋1)＝(n∈N*)，且f(1)＝2，则f(20)＝(　B　)
A．95 B．97
C．105 D．192　
解析　f(n＋1)＝f(n)＋，∴
累加，得f(20)＝f(1)＋(＋＋…＋)＝f(1)＋＝97.
15.已知数列的前项和满足，则通项公式为（B ）
A. B.
C. D. 以上都不正确

16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ D ）
A．15分钟 B．30分钟 C．45分钟 D．57分钟
二、填空题
1、等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1,a3=3,则S4= 8.
2.（2008·广东理，2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6= . 48
3..（2010广州一模）．在等比数列中，，公比，若，则的值为 ．7
4.（2008·海南、宁夏理，4）设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则= .
5.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________.
答案　 解析　＝＝＝
6、数列的前项和记为则的通项公式
解：（Ⅰ）由可得，两式相减得
又 ∴ 故是首项为，公比为得等比数列 ∴
7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________．答案　4
解析　设等比数列{an}的公比为q，其中q>0，依题意得a＝a2·a4＝4.又a3>0，因此a3＝a1q2＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝，a1＝8，an＝8×()n－1＝24－n，an·an＋1·an＋2＝29－3n.由于2－3＝>，因此要使29－3n>，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为4.
8． 等比数列{an}的首项为a1＝1，前n项和为Sn，若＝，则公比q等于________．
答案　－ 解析　因为＝，所以＝＝－，即q5＝(－)5，所以q＝－.
三、解答题
1（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）
已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求及； （Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．
1【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有
，解得，
所以；==。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，
所以==，
即数列的前n项和=。
2．（全国新课标理17）
已知等比数列的各项均为正数，且．
（I）求数列的通项公式． （II）设，求数列的前n项和．
2解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．由条件可知c>0，故．
由得，所以． 故数列{an}的通项式为an=．
（Ⅱ ）
故
所以数列的前n项和为

3. (本小题满分12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，
且a1＋a2＝2(＋)，a3＋a4＋a5＝64(＋＋)．
(1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(an＋)2，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1. 由已知，有
化简，得
又a1>0，故q＝2，a1＝1. 所以an＝2n－1.
(2)由(1)知，bn＝2＝a＋＋2＝4n－1＋＋2.
因此，Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋＋…＋)＋2n＝＋＋2n＝(4n－41－n)＋2n＋1.
4.（山东省济南市2011）
已知为等比数列，；为等差数列的前n项和，.
（1） 求和的通项公式；（2） 设，求.
解：（1） 设{an}的公比为q，由a5=a1q4得q=4
所以an=4n-1.设{ bn }的公差为d，由5S5=2 S8得5(5 b1+10d)=2(8 b1+28d)，
,
所以bn=b1+(n-1)d=3n-1.（2） Tn=1·2+4·5+42·8+…+4n-1(3n-1),①
4Tn=4·2+42·5+43·8+…+4n(3n-1),②
②-①得：3Tn=-2-3(4+42+…+4n)+4n(3n-1) = -2+4(1-4n-1)+4n(3n-1)
=2+(3n-2)·4n∴Tn=（n-）4n+

5．（2013广东理） 设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 求数列的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
【解析】(Ⅰ) 依题意,,又,所以；
(Ⅱ) 当时,,

两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,
所以,所以.
(Ⅲ) 当时,；当时,；
当时,,此时

综上,对一切正整数,有.
6．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．
(1) 证明：； (2) 求数列的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数，有．
1.【解析】（1）当时，，
（2）当时，，
,
当时，是公差的等差数列.
构成等比数列，，，解得,
由（1）可知，
是首项,公差的等差数列.
数列的通项公式为.
（3）

7.（本题满分14分）,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.
(1)求数列,的通项公式; (2)记=,求数列的前项和.
2.解：(1)由.且得 …………… 2分
, …………… 4分
在中,令得当时,T=,
两式相减得, …………… 6分
. …………… 8分
(2), ……………… 9分
,,……… 10分
=2
=, ………………13分
…………… 14分

8.（全国大纲理20） 设数列满足且
（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设
解： （I）由题设 即是公差为1的等差数列。
又 所以
（II）由（I）得
， …………8分
…………12分