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如何求实际问题中自变量取值范围

一般地求实际问题中的自变量取值范围，可以从静止和运动变化的角度去考虑，下面举例说明．
一、用静止的观点求自变量的取值范围．
由于学生认识能力有限，运动的变化观念和意识尚不成熟，他们往往习惯于用静止的观点看问题．学生在求自变量取值范围时，一般喜欢用静止的观点来求．从静止的角度考虑这个问题一般遵循以下原则：
1．尊重事实．现实世界，“人数”“字数”等均用零和自然数表达，线段的长度，时间均为非负数，这些都是不可违背的事实．
例1 设电报费标准是每字0.14元，电报纸每张0.20元，写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系及x的取值范围．
解：y＝0.14x＋0.20，x取正整数．
例2 矩形周长20，一边长x，面积为y，试写出y与x关系及x取值范围．
解：y＝10x－x2，一边长为x，另一边长为10－x，由于边长不能为负，则x＞0，10－x＞0，∴0＜x＜10．
2．遵循定律公理等．
例3 等腰梯形腰长和底长均为x，下底长y，其周长为20，写出y与x之间函数关系及x的取值范围．
解：y＝20－3x，根据两点间距离线段最短，有：x＋x＋x＞y，

例4 等腰三角形腰长x，底边长y，周长30，写出y与x的函数关系及自变量的取值范围．
解：y＝30－2x，因三角形两边之和大于第三边，∴x＋x＞y，

3．符合题目要求
例5 一根弹簧，不挂物体时长12厘米，挂上物体以后，它伸长的长度(不超过22厘米)与所挂重物质量成正比．如果挂3千克重物，弹簧总长13.5厘米．求弹簧总长y与所挂重物质量x之间的函数关系，并写出自变量取值范围．
解：y＝12＋0.5x，因为最长伸长y不超过22厘米，∴12＋0.5x≤22，x≤20，又∵x≥0，∴x的取值范围是0≤x≤20．
二、用运动变化的观点求自变量取值范围．
1．让两变量对应的图形或值进行大小变化，从而确定自变量最大值和最小值或者临界值．
例6 等腰三角形底角为x，顶角为y，写出y与x之间函数关系及x取值范围．
解：y＝180°－2x，我们让x变大，x不可大到90°，让x变小x不能小到0°，这里0°就是x的临界值，∴x的取值范围是0°＜x＜90°．
例7 拖拉机油箱里有油54千克，使用时平均每小时耗油6千克，求箱中剩下油y(千克)与使用时间t(小时)之间函数关系及自变量的取值范围．
解：y＝54－6t．当拖拉机不使用时，t＝0；开始使用，t在增加，y在减小，到油耗干时，y＝0，54－6t＝0，t＝9，这里，0和9是它的最大值和最小值．∴t的取值范围是0≤t≤9．
2．让动点动起来．

B点运动到C点，设PB＝x，四边形APCD面积为y，写出y与x之间的函数关系及x的取值范围．

例9 如图2，在矩形ABCD中，边CD上有一动点P(异于C、D)，设DP＝x，AD＝a，AB＝b，△APD和△QCP面积之和为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

从靠近C点向D点靠近时，Q沿BC延长线上迅速远离C点，x则由大变小，∴0＜x＜b．
3．让某部分图形整体移动．
例10 如图3，OM⊥ON，AB＝a，点A、B分别在ON、OM上滑动．设OB＝x，△OAB面积为y，写出y与x的函数关系及x的取值范围．

逐渐提起，A点仍不离ON，并向左推动，此过程x在减小，当AB竖立在ON线上时，x＝0，∴0≤x≤a．
例11 如图4，△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC边上点，E是AB边上点，∠ADE＝∠B，设AD＝x，AE＝y，则x与y之间函数关系式是 [ ]

＝0°，不符合题意．在∠ADE向下平移过程中，x在增大，当顶点D到达C处，且∠BDE＝∠B，x＝4，故0＜x≤4，故选(C)．
总而言之，求实际问题中的自变量取值范围，如果用静止观点研究，必须遵守三条原则，如果用运动观点研究，动点必须在一定的轨道上运动，而且要时刻兼顾到图形其它的部分的变化．当然，对于此类问题，有时也可动静结合综合考察．