微型机继电保护基础2数字滤波器.doc

数字滤波器
2.1﹑概述
电力系统信号﹑
有效信号
干扰信号
滤波：从中提取出，消除

Ｆ

Ｆ：滤波器　　物理器件，Ｒ﹑Ｃ﹑Ｌ﹑运放等，模拟滤波
程序﹑算法—数字滤波
数字滤波一般框图
Ｓ／Ｈ
Ａ／Ｄ
数字处理
Ｄ／Ａ

微机保护中，数字处理的结果无须在变成模拟量，所以不需要Ｄ／Ａ转换器。
数字滤波的优点：
（１） 特性一致性好
（２） 不受温度影响
（３） 不存在阻抗匹配问题
微机保护一般都采用数字滤波器。
问题：前置低通滤波器的作用？
2-2连续时间系统的频率特性和冲击响应
一、 基本知识和定义
T[.]
1.系统：x(t) y(t) y(t)=T[x(t)]
2. 线形系统：
3.时不变系统：
4.因果系统：输出变化不会发生在输入变化之前
5.稳定系统：
1. 冲激函数
二、 连续时间系统的频率响应
连续系统：
为输入﹑输出信号﹑的付氏变换成频谱。
系统的频率特性，为复数

——幅频特性
——相频特性
物理意义：输入中任一频率经系统后，幅值乘了，相位移了
是对滤波器的 充分描述。
三﹑连续系统的冲激响应﹑
输入输出称为冲激响应
由于具有筛分性质所以可以表示为

可见，只要知道，利用该式就可以计算出对任意输入的输出所以也是对系统的充分描述。
等式右端的积分称为卷积，记为

四﹑冲激响应和频率特性之间的关系。
与互为付氏变换对。
五﹑卷积的图解法和滤波的响应时间
（略） P30 图2-8，图2-9
六﹑周期性时间函数的付氏变换和付氏级数。
周期函数 付氏级数 离散频谱
非周期付氏变换 连续频谱
周期函数付氏变换是否存在？答案是肯定的，但含有冲激函数
例2-2 =1付氏变换
例2-3 复指数信号

例2-4正弦和余弦信号
-

- 例2-5﹑周期为T的任意周期函数

例2-6 一串等间隔的冲激的付氏变换
先求付氏级数 变换
2-3离散时间信号的频谱

=
不连续，严格意义上的付氏变换不存在，它的付氏变换定义为：
或
此处，付氏变换变量写成，而不写成或，是因为总是以
=的形式出现。
现推导与的频谱的关系
定义：
F[]=
可见再考虑与的关系
=
=*F[]
=*[]
=[*]

-fs fs/2 fs 0 fs 2fs -f fs/2 fs

即为的同期延拓
若 >fs/2时，=0，则在-fs/2到fs/2范围内，与完全相同，也就是说，可以唯一的确定出。
已知，可求出，对在[-fs/2，fs/2]范围内积分，就可求出
若 >fs/2时，0，，则在[-fs/2，fs/2]范围内的值与的值不同，这样就无法根据求出，即无法复原出，这就是采样定理。
2-4 Z变换
连续时间函数、拉氏变换

s=
与付氏变换相比，拉氏变换相当于将先乘上后再做付氏变换，称为收敛因子，=0的拉氏变换就是付氏变换，在S复平面上，=0相当于虚轴，所以虚轴上的拉氏变换就是付氏变换。
对离散信号，也有拉氏变换，定义为：

由于变换后S总以的形式出现，令Z=，进行变量置换

称为Z变换，也就是离散信号的付氏变换。
S平面和Z平面的影射关系如下图，S平面上的虚轴影射到Z平面上是一个单位圆。

S沿着虚轴在-到+变化时，Z沿着单位圆变化多圈。所以单位圆上的Z变换既离散信号的付氏变换。
2-5离散时间系统的单位冲激响应和频率特性
一﹑离散时间系统﹑
输入和输出都定义在离散域的系统称为离散系统。

二﹑单位冲激序列和单位冲激响应﹑
单位冲激序列的定义：
1 n=0
0 n
一个离散系统对的响应记作，称为该系统的单位冲激响应，即：

x(-2) x(-1) x(0) x(1) x(2) x(3) x(4)

对应的输出为：

=
=
=.
=
=
=
三、离散时间系统的频率特性
=.
取付氏变化
=
=[]
=[][]
=
就是离散系统的频率特性，它与单位冲激响应构成付氏变换对，是以fs为周期的周期函数。它在-fs/2到fs/2内的形状描述了它的滤波特性。
的Z变换是：
称为系统的传递函数
2-6简单滤波单元及其级联滤波
一. 简单滤波单元
1.概念：用加减法构成的线性滤波单元。
2.基本假设：输入信号是由稳恒直流，稳恒基波加上稳恒整次谐波构成。
3.适用范围：中低压网络的慢速保护。
4.作用原理
（1）.加法滤波：
设需要滤除的谐波周期是TN，则可以用当前采样值与半个周期前的采样值相加将其滤除。

由上图
例：设谐波次数为5，则 若采样周期为 则五次谐波一个周期采样四点，半个周期采样两点，离散化的滤波公式为
既只要将当前采样值与两点前的采样值相加，即可滤除五次谐波。
（2）.减法滤波
用当前采样值与某次谐波一个周期前的采样值相减，就可以滤除某次谐波。
二. 基本形式及其特性
（一）.相减（差分）滤波单元
差分方程为：

对其做Z变换，得到转换函数（传递函数）

令 代入上式，可得

所以幅频特性为：

对微机保护来说，最为关心的是幅频特性。
式中，W= 为输入信号的角频率，
为采样周期，
通带要求，为 的整数倍，
既 N=1，2，……
由上述公式，可以绘出 的波形

设可以滤除的谐波的次数为m，相位的角频率为w，则
将该频率代入幅频特性表达式，结果应为零，既

既 （I=0，1，……，

可见，m的取值为0，
既直流分量，次及 的整数倍次谐波均可以滤除
例如： N=12，K=4，则=3这时直流，三次，六次，九次，十二次谐波均可有差分滤波y（n）=x（n）-x（n-4）滤除。
若，则可滤去基波、直流及所有整数次谐波，稳态无输出，故障是输出一个周波的故障分量。

可以用来启动保护、选相及构成反应故障分量的继电保护。
（二）相加滤波单元
差分方程为：
曲线如下

为滤除m次谐波，令，代入上式使 可得

所以无论N﹑K取何值均不能滤除直流，能滤除的最低次谐波为，还能滤除次……谐波
例如：N=12 ﹑K=2 则
可滤除三次，九次，十五次谐波
若取，也可算出突变量。
（三）积分滤波单元
差分方程：

转移函数：

幅频特性

欲使M次谐波 为零，要求
且
既 且
就是说，这种滤波器能够滤除除N的整数倍次之外， 的整数倍次谐波。
例如：若N=12，K=5则
则积分滤波器能够滤除除二次，四次，六次，八次，十次，十四次等谐波。但不能滤除零次，十二次，二十四次及各种奇次谐波。
实际上，为满足采样定理，在每周采样12点的情况下，输入信号中最高谐波频率为 既最高为六次谐波，上述滤波单元能滤去2，4，6次。保留直流﹑基波，3，5次谐波。
（四）加减滤波单元
差分方程为

转移函数为：

1﹑K为奇数

代入，得幅频特性。

欲滤去M次谐波，则

且
既能够滤除 次谐波之外，的整数倍谐波
例如：N=12，K=3则
可能的取值有，0，3，6，9，12……
可能的取值有，6，18……
所以上述滤波器可以滤除6，18……次之外，3的整数倍的谐波：0，3，9，12……
再如：
N=12，K=5
可能的取值有，0，2，4，6，……
可能的取值有，6，18，……
所以上述滤波器可以滤除6，18……次之外，2的整数倍的谐波：0，2，4，8，……
2，K为偶数：

为滤去m次谐波，要求
且

可见，m的取值范围不包括零，所以无法滤除直溜分量，
设N=12，K=5则
可能的取值为1，3，5，7……
可能的取值为6，18……
不会发生冲突，可滤除基波，3次，5次等谐波
简单滤波器的特点
（1） 运算简单
（2） 梳妆特性，频谱上有较大旁瓣。仅能滤除某些整数次谐波，频率变化时误差大。
（3） 时延 反比于 ， 故有结论
（4） 运算结构为非递归结构，冲击响应有限（书上的第四条仅对一，二 两种滤波器适用，积分。加减交替却有极点，都存在稳定问题。）

三 简单滤波单元的组合
优点：运算简单。
简单滤波
缺点：特性旁瓣大，误差大。

并联：应用不多
组合
级联：上级的输出作为下级的输入。

M个简单滤波单元组成的级联滤波器。
转移函数：
幅频特性：

相频特性：
时延特性：
运算量（指最少加减法数）为：
级联后，仍具有简单梳妆的几个主要特点，但性能会有较大改善（旁瓣下降）以例说明。
例一：设采样频率为 ，要求完全滤除直流及2，3，4，6次谐波分量。
解： 所以 点
欲滤除直流及2，4，6，次谐波，可用K=6的差分滤波，
可能取值0，2，4，6……

欲滤除三次谐波，可选取K=3的积分滤波。

可能取值3，6，……
可见，只要两极级联就能够完成上述要求，但此时仍会有较大旁瓣，为减小旁瓣，可分别增加一个对高频部分衰减较大的差分和积分滤波。

K=2。 可滤除直流分量和6次
K=2
可滤除4次
这样级联后，可使旁瓣进一步减小，滤波效果有较大改善。
2-7非递归型数字滤波器
1﹑概念
非递归型数字滤波器是将输入信号和滤波器的单位冲激响应作卷积而实现的。

（１） 因果系统，K〈0时无输入，也无输出，所以下限取为0。
（２） 必须是有限长的，否则运算量无穷大，无法实现。
（３） 等式右端与Y无关，非递归。非递归一定要求有限冲激响应。
2﹑设计。
（１） 样本设计
根据频域要求：带通（中心频率﹑截止频率）﹑带阻﹑高通﹑低通。找到一个合适的和。
（２） 按采样频率对采样，得到代入上式，即可实现滤波。
要求：
在对采样时，如果满足：
当时
的条件，则所设计的数字滤波器的频率特性在-到范围内将和的形状完全相同，否则由于频率混淆，数字滤波器的特性与不同。
在满足
和
情况下

可以证明

证明过程略
（３） 截断
必须是有限长的，但根据求出的往往是无限长的，必须截断从而使与有所不同
例2-7，对照书上讲。
窗函数的选择：
A） 窗函数的形状
矩形窗最为直观，但截断后得到的频率特性会有较大的旁瓣，吉布斯现象比较严重，解决办法是用比较圆滑的窗口截取 ，如Tukey窗﹑Hanning 窗等。
B） 截取长度
截取的长度增加，特性理想，但运算量增加，所以应根据实际情况折中。
（４） 具体实现
理想的与窗函数相乘后得到，对其采样得采样得，的不连续点，取实际值的一半。

2-8递归型数字滤波器
非递归：取项增加，特性好
理想特性
n减小 特性变差（截断）
n增加 运算工作量大，对硬件要求高
递归：=+
即不仅取决于输入、、…，而且还用到了前几次的输出值、、…，所以称为递归滤波器。
对上式两端求付氏变换，
=

由于递归作用，一般情况下，递归型数字滤波器都是冲激响应的无限的，称为无限冲激响应滤波器IIR。
非递归：n>N后，取决于0以后的输入，若t=0时发生故障，则NTs后，不再反映故障前状态。
递归：一直受影响
递归型数字滤波器的设计：
1） 设计H(f),以分式多项式的形式出现
2） 付氏变换求
3） 对采样，得
4） 离散付氏变换求出
5） 通过与2-40式比较，求出及M、N
例题自己看
2-9数字滤波器的选择
微机保护倾向于用FIR，非递归
此外，数字滤波器还可以用零极点配置法等方法设计，此处略