同济版《高等数学》稿WORD版导数与微分.doc

第二章 导数与微分
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系.
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数.
4、 会求分段函数的导数.
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数.
教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数.
教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数.
§2. 1 导数概念
一、引例
1．直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数:
s=f(t),
求动点在时刻t0的速度.
考虑比值
,
这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t0®0, 取比值的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即
,
这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度.
2．切线问题
设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT, 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.
设曲线C就是函数y=f(x)的图形. 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0=f(x0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M外另取C上一点N(x, y), 于是割线MN的斜率为
,
其中j为割线MN的倾角. 当点N沿曲线C趋于点M时, x®x0. 如果当x® 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即

存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k=tan a, 其中a是切线MT的倾角. 于是, 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线.
二、导数的定义
1. 函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:
.
令Dx=x-x0, 则Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0), x®x0相当于Dx ®0, 于是
成为
或.
定义 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量Dx(点x0+Dx仍在该邻域内)时, 相应地函数y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0); 如果Dy与Dx之比当Dx®0时的极限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处可导, 并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数, 记为, 即
,
也可记为, 或.
函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在.
导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有
,
.
在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.
如果极限不存在, 就说函数y=f(x)在点x0处不可导.
如果不可导的原因是由于,
也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.
如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导, 就称函数f(x)在开区间I内可导, 这时, 对于任一x ÎI, 都对应着f(x)的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数, 记作 ,, , 或.
导函数的定义式:
=.
f ¢(x0)与f ¢(x)之间的关系:
函数f(x)在点x0处的导数f ¢(x)就是导函数f ¢(x)在点x=x0处的函数值, 即
.
导函数f ¢(x)简称导数, 而f ¢(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ¢(x)在x0处的值.
左右导数: 所列极限存在, 则定义
f(x)在的左导数:;
f(x)在的右导数:.
如果极限存在, 则称此极限值为函数在x0的左导数.
如果极限存在, 则称此极限值为函数在x0的右导数.
导数与左右导数的关系: Û.
2．求导数举例
例1．求函数f(x)=C（C为常数）的导数.
解: .
即 (C ) ¢=0.
例2. 求的导数.
解: .
例3. 求的导数.
解:
.
例2．求函数f(x)=x n (n 为正整数)在x=a处的导数.
解: f ¢(a)(x n-1+ax n-2+ × × × +a n-1)=na n-1.
把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x)=nx n-1, 即 (x n)¢=nx n-1.
(C)¢=0, , , .
更一般地, 有(x m)¢=mx m-1 , 其中m为常数.
例3．求函数f(x)=sin x 的导数.
解: f ¢(x)

.
即 (sin x)¢=cos x .
用类似的方法, 可求得 (cos x )¢=-sin x .
例4．求函数f(x)= a x(a>0, a ¹1) 的导数.
解: f ¢(x)

.
特别地有(e x )=e x .
例5．求函数f(x)=log a x (a>0, a ¹1) 的导数.
解:

.
解:
.
即 . :
特殊地 .
, .
3．单侧导数:
极限存在的充分必要条件是
及
都存在且相等.
f(x)在处的左导数:,
f(x)在处的右导数:.
导数与左右导数的关系:
函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢-(x0) 和右导数f ¢+(x0)都存在且相等.
如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数f ¢+(a) 和左导数f ¢-(b)都存在, 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导.
例6．求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.
解: ,
,
因为f ¢-(0)¹ f ¢+(0), 所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导.
四、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数f ¢(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率, 即
f ¢(x 0)=tan a ,
其中a是切线的倾角.
如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线x=x0. :
由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为
y-y0=f ¢(x0)(x-x0).
过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果
f ¢(x0)¹0, 法线的斜率为, 从而法线方程为
.
例8. 求等边双曲线在点处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解: , 所求切线及法线的斜率分别为
, .
所求切线方程为, 即4x+y-4=0.
所求法线方程为, 即2x-8y+15=0.
例9 求曲线的通过点(0, -4)的切线方程.
解 设切点的横坐标为x0, 则切线的斜率为
.
于是所求切线的方程可设为
.
根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此
,
解之得x0=4. 于是所求切线的方程为
, 即3x-y-4=0.
四、函数的可导性与连续性的关系
设函数y=f(x)在点x0 处可导, 即存在. 则
.
这就是说, 函数y=f(x)在点x0 处是连续的. 所以, 如果函数y=f(x)在点x处可导, 则函数在该点必连续.
另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.
x
例7． 函数在区间(-¥, +¥)内连续, 但在点x=0处不可导. 这是因为函数在点x=0处导数为无穷大
.
§2. 2 函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数, 并且
[u(x) ±v(x)]¢=u¢(x) ±v¢(x) ;
[u(x)×v(x)]¢=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x);
.
证明 (1)
=u¢(x)±v¢(x).
法则(1)可简单地表示为
(u±v)¢=u¢±v¢ .
(2)

=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x),
其中v(x+h)=v(x)是由于v¢(x)存在, 故v(x)在点x连续.
法则(2)可简单地表示为
(uv)¢=u¢v+uv¢.
(3)

.
法则(3)可简单地表示为
.
(u±v)¢=u¢±v¢, (uv)¢=u¢v+uv¢, .
定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如, 设u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可导, 则有
(u+v-w)¢=u¢+v¢-w¢.
(uvw)¢=[(uv)w]¢=(uv)¢w+(uv)w¢
=(u¢v+uv¢)w+uvw¢=u¢vw+uv¢w+uvw¢.
即 (uvw)¢ =u¢vw+uv¢w+uvw¢.
在法则(2)中, 如果v=C(C为常数), 则有
(Cu)¢=Cu¢.
例1．y=2x 3-5x 2+3x-7, 求y¢
解: y¢=(2x 3-5x 2+3x-7)¢= (2x 3)¢-(5x 2)¢+(3x)¢-(7)¢= 2 (x 3)¢- 5( x 2)¢+ 3( x)¢
=2×3x 2-5×2x+3=6x 2-10x+3.
例2. , 求f ¢(x)及.
解: ,
.
例3．y=e x (sin x+cos x), 求y¢.
解: y¢=(e x )¢(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x)¢
= e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x)
=2e x cos x.
例4．y=tan x , 求y¢.
解:
.
即 (tan x)¢=sec2x .
例5．y=sec x, 求y¢.
解: =sec x tan x .
即 (sec x)¢=sec x tan x .
用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式:
(cot x)¢=-csc2x ,
(csc x)¢=-csc x cot x .
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数x=f(y)在某区间Iy 内单调、可导且f ¢(y)¹0, 那么它的反函数y=f -1(x)在对应区间Ix={x|x=f(y), yÎIy}内也可导, 并且
. 或.
简要证明: 由于x=f(y)在I y内单调、可导(从而连续), 所以x=f(y)的反函数y=f -1(x)存在,
且f -1(x)在I x内也单调、连续.
任取x ÎI x, 给x以增量Dx(Dx¹0, x+DxÎI x), 由y=f -1(x)的单调性可知
Dy=f -1(x+Dx)-f -1(x)¹0,
于是
.
因为y=f -1(x)连续, 故

从而
.
上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6．设x=sin y, 为直接函数, 则y=arcsin x是它的反函数. 函数x=sin y在开区间内单调、可导, 且
(sin y)¢=cos y>0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(-1, 1)内有
.
类似地有: .
例7．设x=tan y, 为直接函数, 则y=arctan x是它的反函数. 函数x=tan y在区间内单调、可导, 且
(tan y)¢=sec2 y¹0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(-¥, +¥)内有
.
类似地有: .
例8设x=a y(a>0, a ¹1)为直接函数, 则y=loga x是它的反函数. 函数x=a y在区间I y=(-¥, +¥)内单调、可导, 且
(a y)¢=a y ln a ¹0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x=(0, +¥)内有
.
到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、、的导数怎样求？
三、复合函数的求导法则
定理3 如果u=g(x)在点x可导, 函数y=f(u)在点u=g(x)可导, 则复合函数y=f[g(x)]在点x可导, 且其导数为
或.
证明: 当u=g(x)在x的某邻域内为常数时, y=f[j(x)]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立.
当u=g(x)在x的某邻域内不等于常数时, Du¹0, 此时有

,
= f ¢(u)×g ¢(x ).
简要证明:
.
例9 , 求.
解 函数可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
.
例10 , 求.
解 函数是由y=sin u , 复合而成的,
因此 .
对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量,
例11．lnsin x, 求.
解: .
例12．, 求.
解: .
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=j(v), v=y(x), 则
.
例13．y=lncos(e x), 求.
解:
.
例14．, 求.
解:
.
例15设x>0, 证明幂函数的导数公式
(x m)¢=m x m-1.
解 因为x m=(e ln x)m=e m ln x, 所以
(x m)¢=(e m ln x)¢= e m ln x×(m ln x)¢= e m ln x×m x-1=m x m-1.
四、基本求导法则与导数公式
1．基本初等函数的导数:
(1)(C)¢=0,
(2)(xm)¢=m xm-1,
(3)(sin x)¢=cos x,
(4)(cos x)¢=-sin x,
(5)(tan x)¢=sec2x,
(6)(cot x)¢=-csc2x,
(7)(sec x)¢=sec x×tan x,
(8)(csc x)¢=-csc x×cot x,
(9)(a x)¢=a x ln a,
(10)(e x)¢=ex,
(11) ,
(12) ,
(13) ,
(14) .
(15) ,
(16) .
2．函数的和、差、积、商的求导法则
设u=u(x), v=v(x)都可导, 则
(1)(u ±v)¢=u¢±v¢,
(2)(C u)¢=C u¢,
(3)(u v)¢=u¢×v+u×v¢,
(4).
3．反函数的求导法则
设x=f(y)在区间Iy 内单调、可导且f ¢(y)¹0, 则它的反函数y=f -1(x)在Ix=f(Iy)内也可导, 并且
. 或.
4．复合函数的求导法则
设y=f(x), 而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导, 则复合函数y=f[g(x)]的导数为
或y¢(x)=f ¢(u)×g¢(x).
例16. 求双曲正弦sh x的导数.
解: 因为, 所以
,
即 (sh x)¢=ch x.
类似地, 有
(ch x)¢=sh x.
例17. 求双曲正切th x的导数.
解: 因为, 所以
.
例18. 求反双曲正弦arsh x的导数.
解: 因为, 所以
.
由, 可得.
由, 可得.
类似地可得, .
例19．y=sin nx×sinn x (n为常数), 求y¢.
解: y¢=(sin nx)¢ sin n x + sin nx × (sin n x)¢
= ncos nx ×sin n x+sin nx × n × sin n-1 x ×(sin x )¢
= ncos nx ×sin n x+n sin n-1 x × cos x =n sin n-1 x × sin(n+1)x .
§2. 3 高阶导数
一般地, 函数y=f(x)的导数y¢=f ¢(x)仍然是x 的函数. 我们把y¢=f ¢(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数, 记作 y¢¢、f ¢¢(x)或,
即 y¢¢=(y¢)¢, f ¢¢(x)=[f ¢(x)]¢ , .
相应地, 把y=f(x)的导数f ¢(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数.
类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, × × ×, 一般地, (n-1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作
y¢¢¢, y (4), × × × , y (n) 或, , × × × , .
函数f(x)具有n 阶导数, 也常说成函数f(x)为n 阶可导. 如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.
y¢称为一阶导数, y¢¢, y¢¢¢, y (4), × × ×, y(n)都称为高阶导数.
例1．y=ax +b , 求y¢¢.
解: y¢=a, y¢¢=0.
例2．s=sin w t, 求s¢¢.
解: s¢=w cos w t , s¢¢=-w 2sin w t .
例3．证明: 函数满足关系式y 3y¢¢+1=0.
证明: 因为,
,
所以y 3y¢¢+1=0.
例4．求函数y=ex 的n 阶导数.
解; y¢=ex , y¢¢=ex , y¢¢¢=ex , y( 4)=ex ,
一般地, 可得
y( n)=ex ,
即 (ex)(n)=ex .
例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.
解: y=sin x,
,
,
,
,
一般地, 可得
, 即.
用类似方法, 可得.
例6．求对函数ln(1+x)的n 阶导数
解: y=ln(1+x), y¢=(1+x)-1, y¢¢=-(1+x)-2,
y¢¢¢=(-1)(-2)(1+x)-3, y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4,
一般地, 可得
y(n)=(-1)(-2)× × ×(-n+1)(1+x)-n,
即 .
例6．求幂函数y=xm (m是任意常数)的n 阶导数公式.
解: y¢=mxm-1,
y¢¢=m(m-1)xm-2,
y¢¢¢=m(m-1)(m-2)xm-3,
y ( 4)=m(m-1)(m-2)(m-3)xm-4,
一般地, 可得
y (n)=m(m-1)(m-2) × × × (m-n+1)xm-n ,
即 (xm )(n) =m(m-1)(m-2) × × × (m-n+1)xm-n .
当m=n时, 得到
(xn)(n) = m(m-1)(m-2) × × × 3 × 2 × 1=n! .
而 (x n)( n+1)=0 .
如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u(x)±v(x)也在点x 处具有n 阶导数, 且
(u±v)(n)=u(n)+v(n) .
(uv)¢=u¢v+uv¢
(uv)¢¢=u¢¢v+2u¢v¢+uv¢¢,
(uv)¢¢¢=u¢¢¢v+3u¢¢v¢+3u¢v¢¢+uv¢¢¢ ,
用数学归纳法可以证明
,
这一公式称为莱布尼茨公式.
例8．y=x2e2x , 求y(20).
解: 设u=e2x , v=x2, 则
(u)(k)=2k e2x (k=1, 2, × × × , 20),
v¢=2x , v¢¢=2, (v)(k) =0 (k=3, 4, × × × , 20),
代入莱布尼茨公式, 得
y (20)=(u v)(20)=u(20)×v+C 201u(19)×v¢+C 202u(18)×v¢¢
=220e2x × x2+20 × 219e2x × 2x218e2x × 2
=220e2x (x2+20x+95).
§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数
显函数: 形如y=f(x)的函数称为显函数. 例如y=sin x , y=ln x++e x .
隐函数: 由方程F(x, y)=0所确定的函数称为隐函数.
例如, 方程x+y3 -1=0确定的隐函数为y .
如果在方程F(x, y)=0中, 当x取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F(x, y)=0在该区间内确定了一个隐函数.
把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.
例1．求由方程e y+xy-e=0 所确定的隐函数y的导数.
解: 把方程两边的每一项对x 求导数得
(e y)¢+(xy)¢-(e)¢=(0)¢,
即 e y× y¢+y+xy¢=0,
从而 (x+e y¹0).
例2．求由方程y5+2y-x-3x7=0 所确定的隐函数y=f(x)在
x=0处的导数y¢|x=0.
解: 把方程两边分别对x求导数得
5y×y¢+2y¢-1-21x 6=0,
由此得 .
因为当x=0时, 从原方程得y=0, 所以
.
例3. 求椭圆在处的切线方程.
解: 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得
.
从而 .
当x=2时, , 代入上式得所求切线的斜率
.
所求的切线方程为
, 即.
解: 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得
.
将x=2, , 代入上式得
,
于是 k=y¢|x=2.
所求的切线方程为
, 即.
例4．求由方程所确定的隐函数y
的二阶导数.
解: 方程两边对x求导, 得
,
于是 .
上式两边再对x求导, 得
.
对数求导法: 这种方法是先在y=f(x)的两边取对数, 然后再求出y的导数.
设y=f(x), 两边取对数, 得
ln y = ln f(x),
两边对x 求导, 得
,
y¢= f(x)×[ln f(x)]¢.
对数求导法适用于求幂指函数y=[u(x)]v(x)的导数及多因子之
积和商的导数.
例5．求y=x sin x (x>0)的导数.
解法一: 两边取对数, 得
ln y=sin x × ln x,
上式两边对x 求导, 得
,
于是
.
解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:
y=x sin x=e sin x·ln x ,
.
例6. 求函数的导数.
解: 先在两边取对数(假定x>4), 得
ln y[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)],
上式两边对x求导, 得
,
于是 .
当x<1时, ; 当2<x<3时, ;
用同样方法可得与上面相同的结果.
注: 严格来说, 本题应分x>4, x<1, 2<x<3三种情况讨论, 但结果都是一样的.
二、由参数方程所确定的函数的导数
设y与x的函数关系是由参数方程确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.
在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数.
设x=j(t)具有单调连续反函数t=j-1(x), 且此反函数能与函数y=y(t)构成复合函数y=y[j-1(x) ], 若x=j(t)和y=y(t)都可导, 则
,
即 或.
若x=j(t)和y=y(t)都可导, 则.
例7. 求椭圆在相应于点处的切线方程.
解: .
所求切线的斜率为.
切点的坐标为, .
切线方程为,
即 bx+ayab =0.
例8．抛射体运动轨迹的参数方程为,
求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向. y=v2t -g t 2
解: 先求速度的大小.
速度的水平分量与铅直分量分别为
x ¢(t)=v1, y¢(t)=v2-gt,
所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为
.
再求速度的方向,
设a是切线的倾角, 则轨道的切线方向为
.
已知x=j(t), y=y(t), 如何求二阶导数y¢¢?
由x=j(t), ,

.
例9．计算由摆线的参数方程所确定
的函数y=f(x)的二阶导数.
解:
(t¹2np, n为整数).

(t¹2np, n为整数).
三、相关变化率
设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数, 而变量x与y间存在某种关系, 从而变化率与间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.
例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m时, 观察员视线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升t(秒)后, 其高度为h, 观察员视线的仰角为a, 则
.
其中a及h都是时间t的函数. 上式两边对t求导, 得
.
已知(米/秒). 又当h=500(米)时, tan a=1, sec2 a=2. 代入上式得
,
所以 (弧度/秒).
即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度.
§2. 5 函数的微分
一、微分的定义
引例 函数增量的计算及增量的构成.
一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由x0变到x0+Dx, 问此薄片的面积改变了多少？
设此正方形的边长为x, 面积为A, 则A是x的函数: A=x2. 金属薄片的面积改变量为
DA=(x0+Dx)2-(x0)2 =2x0Dx +(Dx)2.
几何意义: 2x0Dx表示两个长为x0宽为Dx 的长方形面积; (Dx)2表示边长为Dx的正方形的面积.
数学意义: 当Dx®0时, (Dx)2是比Dx 高阶的无穷小, 即(Dx)2=o(Dx); 2x0Dx是Dx的线性函数, 是DA的主要部分, 可以近似地代替DA.
定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义, x0及x0+Dx在这区间内, 如果函数的增量
Dy =f(x0+Dx)-f(x0)
可表示为
Dy=ADx+o(Dx),
其中A是不依赖于Dx的常数, 那么称函数y=f(x)在点x0是可微的, 而ADx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分, 记作 dy, 即
dy =A Dx.
函数可微的条件: 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导, 且当函数f(x)在点x0可微时, 其微分一定是
dy=f ¢(x0)Dx.
证明: 设函数f(x)在点x0可微, 则按定义有
Dy=ADx+o(Dx),
上式两边除以Dx, 得
.
于是, 当Dx®0时, 由上式就得到
.
因此, 如果函数f(x)在点x0可微, 则f(x)在点x0也一定可导, 且A=f ¢(x0).
反之, 如果f(x)在点x0可导, 即

存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成
,
其中a®0(当Dx®0), 且A=f(x0)是常数, aDx =o(Dx). 由此又有
Dy =f ¢(x0)Dx+aDx .
因且f ¢(x0)不依赖于Dx, 故上式相当于
Dy=ADx+o(Dx),
所以f(x)在点x0 也是可导的.
简要证明: 一方面
.
别一方面
.
以微分dy近似代替函数增量 Dy的合理性:
当f ¢(x0)¹0时, 有
.
Dy=dy+o(d y).
结论: 在f ¢(x0)¹0的条件下, 以微分dy=f ¢(x0)Dx近似代替增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)时, 其误差为o(dy). 因此, 在|Dx|很小时, 有近似等式
Dydy .
函数y=f(x)在任意点x的微分, 称为函数的微分, 记作dy或 d f(x), 即
dy=f ¢(x)Dx ,
例如 d cos x =(cos x)¢Dx =-sin x Dx ; dex=(e x)¢Dx=exDx .
例1 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分.
解 函数y=x2在x=1处的微分为
dy=(x2)¢|x=1Dx=2Dx;
函数y=x2在x=3处的微分为
dy=(x2)¢|x=3Dx=6Dx .
例2．求函数 y=x3当x=2, D