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2019年普通高等学校招生全国统一考试（卷1）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
1、已知集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
2、设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知，则（ ）
A、 B、 C、 D、
4、古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A、165cm B、175cm C、185cm D、190cm
5、函数在的图像大致为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6 个
爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“――”，右图为一重卦，在所有重卦中随机取一
重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、已知非零向量a，b满足∣a∣=2∣b∣，且(a－b)b，则a与b的夹角为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、右图是的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A、 B、
C、 D、
9、记为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A、 B、 C、 D、
10、已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点，若，，则的方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
11、关于函数在下述四个结论：其中所有正确结论的编号是（ ）
是偶函数 在区间单调递增
在有4个零点 的最大值为2
A、 B、 C、 D、
12、已知三棱柱的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，则球的体积为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13、曲线在点处的切线方程为_______________.
14、记为等比数列的前项和，已知，则____________.
15、甲，乙两队篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队4:1获胜的概率是____________.
16、已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线交于两点，若，，则的离心率为____________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
的内角，，的对边分别为，，，设.
（1）求；
（2）若，求.
18.（12分）
如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
19.（12分）
已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.
（1）若，求的方程；
（2）若，求.
20.（12分）
已知函数，为的导数，证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点.
21.（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案
如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。
一轮的治疗结果得出来后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，
就停止试验，并认为治愈只数的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠
治愈且施以乙药的折刀未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的折刀未
治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种的治愈率分别记
为和，一轮试验中甲药的得分记为.
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为
甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中
，，.假设，.
（ⅰ）证明：为等比数列；
（ⅱ）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）求上的点到距离的最小值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知为正数，且满足.证明：
（1）；
（2）.
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