资源描述
1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cosx B．y＝sinx
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
答案 A
解析 y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A.
2．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 f(－x)＝＝，由f(－x)＝－f(x)得＝－，即1－a·2x＝－2x＋a，化简得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝.由f(x)>3得0<x<1.故选C.
3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案 C
解析 令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，
∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
即f(1)＋g(1)＝1.故选C.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 当x≥0时，
f(x)＝画出图象，再根据f(x)是奇函数补全图象．
∵满足∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则只需3a2－(－3a2)≤1，
∴6a2≤1，即－≤a≤，故选B.
5．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
答案 D
解析 因为f(x)＋g(x)＝ex①，则f(－x)＋g(－x)＝e－x，即f(x)－g(x)＝e－x②，故由①－②可得g(x)＝(ex－e－x)，所以选D.
6.若函数f(x)＝xln (x＋)为偶函数，则a＝________.
点击观看解答视频
答案 1
解析 解法一：由题意得f(x)＝xln (x＋)＝f(－x)＝－xln (－x)，所以＋x＝，解得a＝1.
解法二：由f(x)为偶函数有y＝ln (x＋)为奇函数，令g(x)＝ln (x＋)，有g(－x)＝－g(x)，以下同解法一．
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
点击观看解答视频
答案 (－5,0)∪(5，＋∞)
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－4x(x<0)，
∴f(x)＝
①当x>0时，由f(x)>x得x2－4x>x，解得x>5；
②当x＝0时，f(x)>x无解；
③当x<0时，由f(x)>x得－x2－4x>x，解得－5<x<0.
综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f(x)是R上的偶函数；
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x＋3x0)成立．试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．
解 (1)证明：因为对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数．
(2)由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立，
令t＝ex(x>0)，则t>1，
所以m≤－＝－对任意t>1成立．
因为t－1＋＋1≥2＋1＝3，所以－≥－，当且仅当t＝2，即x＝ln 2时等号成立．
因此实数m的取值范围是.
(3)令函数g(x)＝ex＋－a(－x3＋3x)，
则g′(x)＝ex－＋3a(x2－1)．
当x≥1时，ex－>0，x2－1≥0，又a>0，故g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0，
故e＋e－1－2a<0，即a>.
令函数h(x)＝x－(e－1)ln x－1，则h′(x)＝1－.
令h′(x)＝0，得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；
当x∈(e－1，e)⊆(e－1，＋∞)时，h(x)<h(e)＝0.所以h(x)<0对任意的x∈(1，e)成立．
①当a∈⊆(1，e)时，h(a)<0，即a－1<(e－1)ln a，从而ea－1<ae－1；
②当a＝e时，ea－1＝ae－1；
③当a∈(e，＋∞)⊆(e－1，＋∞)时，h(a)>h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1<ae－1；
当a＝e时，ea－1＝ae－1；
当a∈(e，＋∞)时，ea－1>ae－1.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
