2018年中考总复习专题：二次函数之平行四边形的存在性问题方法总结.doc

平行四边形的存在性问题

知识结构

已知三点的平行四边形问题

平行四边形的存在性问题

存在动边的平行四边形问题

知识概述

在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形。
模块一：已知三点的平行四边形问题

知识精讲

A
B
C
M1
M2
M3

1、 知识内容：
已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图△ABC．第四个点M则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M点）．

2、 解题思路：
（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标；
（2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点；
（3） 更换顶点，求出所有可能的点；
（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．
例题解析

【例1】 如图，抛物线y＝x2＋bx－c经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC︰S△ACD＝5︰4的点P的坐标；
（3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．

【例2】 如图，已知抛物线y＝ax2＋3ax＋c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为(1, 0)，tan∠OBC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形，若存在，写出点P的坐标；
（3）抛物线的对称轴与AC交于点Q，说明以Q为圆心，以OQ为半径的圆与直线BC的关系．

模块二：存在动边的平行四边形问题

知识精讲

1、 知识内容：
在此类问题中，往往是已知一条边，而它的对边为动边，需要利用这组对边平行且相等列出方程，进而解出相关数值．更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示后才可列出方程进行求解．
2、 解题思路：
（1） 找到或设出一定平行的两条边（一组对边）；
（2） 分别求出这组对边的值或函数表达式；
（3） 列出方程并求解；
（4） 返回题面，验证求得结果．
例题解析

【例3】 如图，抛物线与y轴交于点A(0,1)，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．
①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②联结CM、BN，当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形？

【例4】 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

【例5】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

随堂检测

【习题1】 已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

【习题2】 如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，F、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．
（1）求证四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；
（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．

课后作业

【作业1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在线段AB上，且S△AOB＝2S△AOC．
（1）求点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）将△AOC沿x轴翻折，当点C的对应点C′恰好落在抛物线上时，求该抛物线的表达式；
（3）设点M为（2）中所求抛物线上一点，当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

【作业2】 如图，点A(2, 6)和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图像上，点C在y轴上，BC//x轴，tan∠ACB＝2，二次函数的图像经过A、B、C三点．
（1）求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图像上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长．

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