2019-2020年高考数学大题综合练习(一)(含答案).doc

2019-2020年高考数学大题综合练习（一）

1.在△ABC中，已知
（1）求证: △ABC的内角B是锐角;
（2）若△ABC的最短边的长等于，求△ABC的面积.

【解析】（1）由于，则不是直角。
假设为钝角，由于，则。又由求得，
则，则,则角也是钝角，这与为钝角的假设相矛盾，于是假设不成立. 综上，的内角是锐角
（2）由于，则.由于且为锐角，则.于是，，则

2.如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，,,，，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
（1）证明：；
（2）求二面角的大小.

【解析】以为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，设，则，，.
（1）证明：，，设平面的法向量为，由，，得到，，故，，取，则，又设，则
，,
设平面的法向量为，由，，得到，，故，，令，则，
由平面平面，得到，
所以，，，故.
（2）解：由（1）知，取的中点，则，，故，，又，故，因此向量与的夹角等于二面角的平面角，于是
，所以二面角的大小为.

3.已知数列{an}，{bn}满足，，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）令，求数列{cn}的前n项和Tn．

【解析】（1）∵，∴，由，
∴，化简得，
∵，∴，即（），
而，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴，即，∴（）．
（2）由（1）知，，∴，∴，
两式相减得，，
故．

4. 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情況如表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
保类型
浮动因素
浮动比率
A1 
上一个年度未发生有责任道路交通事故 
下浮10% 
A2 
上两个年度未发生有责任道路交通事故 
下浮20% 
A3 
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 
下浮30% 
A4 
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事 
0% 
A5 
上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 
上浮10% 
A6 
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
 上浮30%
某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
A1
A2
A3
A4
A5
A6
数量
20
10
10
20
15
5
以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该车在第四年续保时的费用，求X的分布列；
（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.
①若该销售商购进三辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；
②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利800元.若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.
【解析】（1）由题意可知的可能取值为.
由统计数据可知：
，，，，
，.
所以的分布列为:

（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有2辆事故车的概率为
.
②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为，8000.
所以的分布列为：
Y
-4000
8000
P

所以，
所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元.

5.在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点在双曲线C上.不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形的周长为.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点，线段MN的中点为G，已知点在圆上，求的最大值，并判断此时的形状.

【解析】（1）设点、分别为
由已知，所以，，
又因为点在双曲线上，所以
则，即，解得，
所以
连接，因为，所以四边形为平行四边形
因为四边形的周长为
所以
所以动点的轨迹是以点、分别为左、右焦点，
长轴长为的椭圆（除去左右顶点）
可得动点的轨迹方程为：
（2）因为,所以
所以

等号当仅当,即
所以,即为直角三角形

6.已知常数，函数.
（1）讨论在区间(0,+∞)上的单调性；
（2）若存在两个极值点，，且，求a的取值范围.
【解析】（1），
当时，，此时在区间上单调递增.
当时，由得（舍去）.
当时，；当时，.
故在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上所述，时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由式知，当时，，此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有.
又的极值点只可能是和，
且由的定义域可知，且，
所以，，解得.
此时，由式易知，，分别是的极小值点和极大值点.
而

.
令.由且知，当时，；当时，.
记.
（i）当时，，所以，
因此，在区间上单调递减，从而.
故当时，.
（ii）当时，，所以，
因此，在区间上单调递减，从而.
故当时，.
综上所述，满足条件的的取值范围为.
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