江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题.doc

南京师大附中2018届高三年级模拟考试
数 学 2018.05
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x| x2－x－2＜0}，则A∩B＝．
2. 若复数z＝1－i，则z＋ 的虚部是．
3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验
产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的
产品中抽取件．
4. 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－2x＋y的最大值是 ▲ ．
5. 小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率
是．
6. 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是．
（第7题）
（第6题）

7. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC
的体积是 ▲ ．
8. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x
的焦点相同，则双曲线的方程是．
9. 若直线y＝2x＋b是曲线y＝ex－2的切线，则实数b＝．
10. “a＝1”是“函数f(x)＝＋sinx－a为奇函数”的条件．（填“充分不必要”，“必
要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）
11. 在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝．
12. 已知直线x－y＋b＝0与圆x＋y＝9交于不同的两点A，B．若O是坐标原点，且
|＋|≥||，则实数b的取值范围是．
13. 在△ABC中，已知·＋2·＝3·，则cosC的最小值是．
14. 已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实
数根（互不相同），则实数a的取值范围是．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把
答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量 ＝(－1，)，＝(cosA，sinA)，且·＝1．
（1）求A的值；
（2）若＝－3，求tanC的值．

16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），
平面ABE与棱PD交于点F．
（1）求证：AB//EF；
（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD．

（第16题）

17．(本小题满分14分)
如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向
6千米处．
（1）警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；
（2）警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前
往B，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度
为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B
后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效
通（第17题）
话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系
的总时长？
18．(本小题满分16分)
如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆C经过点(0，)，
离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的
比值；
（3）设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为
点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l
的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于
定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，
请说明理由．
（第18题）

19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．
（1）若a＝1，求函数f(x)的极值；
（2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；
（3）对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x，f(x))，Q(x，f(x))，记直线PQ的斜率为k，
若y＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′()＜k．

20．(本小题满分16分)
已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，
4b2，2b3，b4成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，
求m＋n的最小值；
（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{}的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对"n≥2，
n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．

南师大附中2018届高三年级模拟考试
数学附加题 2018.05
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲

在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN=2AM．

（第21A题）

B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M＝ 的一个特征值为3，求M的另一个特征值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C：ρ＝2cosθ和直线l：θ＝(ρ∈R)相交于A，B两点，求线
段AB的长．

D．选修4—5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同
点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．
（1）求S＝的概率；
（2）求S的分布列及数学期望E(S)．

（第22题）

23．(本小题满分10分)
设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．
（1）若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对(A，B)的个数；
（2）若M＝{a1，a2，a3，…，an}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集
合对(A，B)的个数．

南师大附中2018届高三年级校模考试
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{0，1} 2．－ 3．10 4．5 5． 6．4
7． 8． 9．－2ln2 10．充分不必要
11．9 12． 13． 14．

二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
解：（1） 因为，
所以(－1，)·(cosA，sinA)＝1，
即 ， ………2分
则，即， ………4分
又 ，所以，
故，所以． ………6分
（2）由题知 ，整理得
………8分
易知 ，所以 ，
所以或 ， ………10分
而时，不合题意舍去，
所以 ， ………12分
故
． ………14分

16．(本小题满分14分)
证明：（1） 因为四边形ABCD是矩形，
所以AB//CD． ………2分
又ABË平面PDC，CDÌ平面PDC，
所以AB//平面PDC， ………4分
又因为ABÌ平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，
所以AB//EF． ………7分
     （2） 因为四边形ABCD是矩形，
所以AB⊥AD． ………8分
因为AF⊥EF，（1）中已证AB//EF，
所以AB⊥AF， ………9分
又AB⊥AD，
由点E在棱PC上（异于点C），所以F点异于点D，
所以AF∩AD＝A，
AF，ADÌ平面PAD，
所以AB⊥平面PAD， ………12分
又ABÌ平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD． ………14分

17．(本小题满分14分)
解：（1）在中，，，
由正弦定理，，
即，
故的距离是9－3千米． ………4分
（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．
设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．
当时，

， ………6分
即，解得，又
所以， ………8分
时长为小时．
当时，

， ………10分
即，解得，又
所以， ………12分
时长为3小时．
3＋＝（小时）．
答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时． ………14分
（注：不答扣1分）

18．(本小题满分16分)
解：（1）由题意，b＝，又因为＝，所以＝，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1. ………4分
（2）因为点N为△F1AF2的内心，
所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r.
则＝＝＝＝. ………8分
（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，
此时AE与BD交于F2G的中点(，0)， ………9分
下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).
设直线l的方程为y＝k(x－1)，
化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
因为直线l经过椭圆C内的点(1，0)，所以△＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝. ………11分
由题意，D(4，y1)，E(4，y2)，
直线AE的方程为y－y2＝(x－4)，
令x＝，此时y＝y2＋×(－4)＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝0，
所以点T(，0)在直线AE上，
同理可证，点T(，0)在直线BD上. ………16分
所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).

19．(本小题满分16分)
解：（1），，
当时，，在上单调递增，无极值； ………2分
当时，，在上单调递增；
，在上单调递减，
函数有极大值，无极小值． ………4分
（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；
当a＞0时，函数有极大值，
令（x＞0）， ，
，，在(0，1)上单调递减；
，，在(1，＋∞)上单调递增，
函数有最小值．
要使若函数有两个零点时，必须满足， ………6分
下面证明时，函数有两个零点．
因为，
所以下面证明还有另一个零点．
①当时，，
，
令()，，
在上单调递减，，则，
所以在上有零点，又在上单调递减，
所以在上有惟一零点，从而有两个零点．
②当时，，
，
易证，可得，
所以在上有零点，又在上单调递减，
所以在上有惟一零点，从而有两个零点．
综上，的范围是． ………10分
（3）证明：，
，
又，， ………12分

不妨设0＜x2＜x1， t＝，则t＞1，
则．
令（），
则，
因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.
又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，
所以f ′()－k＜0，即f ′()＜k． ………16分

20．(本小题满分16分)
解：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：

解得d＝1，q＝2， ………4分
所以.
（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，
有，
即 ，
由于，且为正整数，所以，
所以， ………6分
可得 ， 即，
①当1≤m≤2时，不等式不成立；
②当 或 时 成立； ………8分
③当时，，，即，则有；
所以的最小值为6，
当且仅当，且 或 时取得． ………10分
（3）由题意得：

………11分
（1）
（2）
（1）—（2）得
， ………12分
求得 ，
所以 ，
设，则，
所以 在上单调递增，有，
可得 . ………14分
当，且N*时，，
有 ，
所以，
可得，
所以. ………16分

南师大附中2018届高三年级校模考试
数学附加题参考答案及评分标准
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明： 如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，
所以 ＝ ．
又AC＝AB，所以 ＝ ① …………… 4分
因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，
所以，BM·BA＝BN·BC，即 ＝ ② ……………8分
由①、②可知 ＝ ，
所以 BN=2AM． ……………10分

B．选修4—2：矩阵与变换
解： 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4． …………… 3分
因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，
所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1． …………… 6分
由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1． ……………10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：圆C：ρ＝2cosθ直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－)2＋y2＝2．
直线l：θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x． …………… 6分
圆心C到直线l的距离d＝＝1． …………… 8分
所以AB＝2． ……………10分

D．选修4—5：不等式选讲
证明：证法一 因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋
≥5＋2＝9． ……………8分
而 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．　 …………… 10分
证法二 因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得
()[(2a＋1)＋(2b＋1)]
≥(＋)2
＝(1＋2)2＝9． …………… 8分
由a＋b＝1，得 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4，
所以．　 ……………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，
其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，
所以P(S＝)＝＝. ……………3分
（2）S的所有可能取值为，，.
S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，
所以P(S＝)＝＝. ……………5分
S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，
所以P(S＝)＝＝. ……………7分
又由（1）知P(S＝)＝＝，故S的分布列为

S

P

所以E(S)＝×＋×＋×＝. ……………10分

23．(本小题满分10分)
解：（1）若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，
则A＝Æ，{a1}，{a2}，则(A，B)的个数为3；
若集合B含有1个元素，则B有种，不妨设B＝{a1}，则A＝Æ，
此时(A，B)的个数为×1＝2.
综上，(A，B)的个数为5. …………3分
（2）集合M有2n子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，
则不同的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1). …………5分
若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为
C(C－1)＋C(C－1)＋C(C－1)＋…＋C(C－1)
＝(C)＋(C)＋(C)＋…＋(C)－(C＋C＋C＋…＋C). …………7分
又(x＋1)n(x＋1)n的展开式中xn的系数为(C)＋(C)＋(C)＋…＋(C)，
且(x＋1)n(x＋1)n＝(x＋1)2n的展开式中xn的系数为C，
所以(C)＋(C)＋(C)＋…＋(C)＝C.
因为C＋C＋C＋…＋C＝2n，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，
有序集合对(A，B)的个数为C－2n. …………9分
所以，A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为
＝. …………10分