资源描述
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时间：60分钟
基础组
1.已知x0是f(x)＝x＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0
答案 C
解析 如图，在同一坐标系下作出函数y＝x，y＝－的图象，由图象可知当x∈(－∞，x0)时，x>－，当x∈(x0,0)时，x<－，所以当x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0，选C.
2．函数f(x)＝xcos2x在区间上的零点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 令f(x)＝xcos2x＝0，得x＝0或cos2x＝0.由cos2x＝0，得2x＝kπ＋(k∈Z)，故x＝＋(k∈Z)．又因为x∈，所以x＝，，，.所以零点的个数为1＋4＝5.故选D.
3．已知函数f(x)＝ln x，则函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 函数f(x)的导数为f′(x)＝，所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝ln x－.因为g(1)＝ln 1－1＝－1<0，g(2)＝ln 2－>0，所以函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
4. 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈时，0<f(x)<1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0，则函数y＝f(x)－sinx在上的零点个数为( )
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A．2 B．4
C．5 D．8
答案 B
解析 ∵f(x)是最小正周期为2π的偶函数，
∴f(x＋2π)＝f(x)＝f(－x)，∴y＝f(x)的图象关于y轴和直线x＝π对称，又∵0<x<时，f′(x)>0，∴0<x<时，f′(x)<0.同理，<x<π时，f′(x)>0.又∵0≤x≤π时，0<f(x)<1，∴y＝f(x)的大致图象如图所示．又函数y＝f(x)－sinx在上的零点个数⇔函数y＝f(x)与y＝sinx图象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选B.
5．已知函数f(x)＝x－cosx，则f(x)在上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 函数f(x)＝x－cosx的零点个数为x－cosx＝0⇒x＝cosx的根的个数，即函数h(x)＝x与g(x)＝cosx的图象的交点个数．如图所示，在区间上交点个数为3，故选C.
6．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是( )
A．a> B．a>或a<－1
C．－1<a< D．a<－1
答案 B
解析 当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，f(－1)f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a<－1或a>，选择B.
7．已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x<1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是( )
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A.∪(5，＋∞) B.∪定义域为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈时，f(x)＝－2x2＋12x－18，若函数y＝f(x)－loga(|x|＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 令x＝－1，则f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)．
又f(x)为定义域在R上的偶函数，所以f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为T＝2，又f(－x＋2)＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，根据f(x)＝－2x2＋12x－18(x∈)作出f(x)与函数y＝loga(x＋1)(x>0)的图象，则y＝f(x)－loga(|x|＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，也就是函数f(x)的图象与y＝loga(x＋1)(x>0)至少有三个交点，如图所示，则解得0<a<.
9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，2ln 2－2]
解析 f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝ex－2＝0，得x＝ln 2.当x>ln 2时，f′(x)>0，当x<ln 2时，f′(x)<0，所以当x＝ln 2时，函数取得极小值，所以要使函数有零点，则f(ln 2)≤0，即eln 2－2ln 2＋a≤0，解得a≤2ln 2－2，所以a的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．
10．已知函数f(x)＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________．
答案 m>1
解析 函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根．当m＝0时，不合题意，舍去；当m≠0时，∵＝m|x|⇔＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足0<<1，解得m>1.
11．若方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则的取值范围是________．
答案
解析 令f(x)＝x2＋ax＋2b，∵方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴
∴.根据约束条件作出可行域，得到△ABC及其内部(如图)不含边界，其中A(－3,1)，B(－2,0)，C(－1,0)，设E(a，b)为区域内任意一点，则k＝表示点E(a，b)与点D(1,2)连线的斜率，kAD＝，kCD＝1，结合图形可知<<1.
12．已知函数f(x)＝
有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (1＋ln 2,3]
解析 要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝2x－＝0有一个根，此时解得0<a≤3.而当x>0时，f(x)＝ln x－2x＋a＝0需有两个不同的实根，令g(x)＝2x－ln x，g′(x)＝2－，当x>时，g′(x)>0，函数g(x)在上单调递增，当0<x<时，g′(x)<0，函数g(x)在上单调递减，∴g(x)min＝g＝1－ln ＝1＋ln 2，当x→0时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，要使方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个不同的实数根，则有a>1＋ln 2.
综上可知，a的取值范围为(1＋ln 2,3]．
能力组
13.已知函数f(x)＝
若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(1,3) B．(0,3)
C．(0,2) D．(0,1)
答案 D
解析 画出函数f(x)的图象如图所示．
观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，此时需满足0<a<1，故选D.
14．已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 作出函数f(x)＝，x∈上有10个根，即函数y＝f(x)的图象和直线y＝a在上有10个交点．由于函数f(x)的周期为3，则直线y＝a与f(x)的图象在函数f(x)对一切实数x都满足f＝f，并且方程f(x)＝0有三个不同的实根，则这三个实根的和为________．
答案
解析 由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个是，另外两个关于直线x＝对称，其和为1，故方程f(x)＝0的三个实根之和为.
16. 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
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(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解 (1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e等号成立的条件是x＝e， 故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因此，只需m≥2e，g(x)＝m就有实数根．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)与f(x)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
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