资源描述
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时间：60分钟
基础组
1.已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( )
A．5x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．5x2－＝1
答案 D
解析 ∵抛物线的焦点为F(1,0)，∴c＝1.
又＝，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝1－＝.
故所求方程为5x2－＝1，故选D.
2．“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 方程－＝1表示双曲线，则(m－8)(m－10)>0，解得m<8或m>10，故“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
3. 已知点M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，分别过点M、N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为( )
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A．x2－＝1(x>1) B．x2－＝1(x>0)
C．x2－＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1)
答案 A
解析 如图所示，设两切线分别与圆相切于点S、T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，故点P的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
4．以正三角形ABC的顶点A，B为焦点的双曲线恰好平分边AC，BC，则双曲线的离心率为( )
A.－1 B．2
C.＋1 D．2
答案 C
解析 如图，设|AB|＝2c，显然|AD|＝c，|BD|＝c，即(－1)c＝2a，
∴e＝＝＋1，
∴选C.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
答案 A
解析 由题意得，双曲线的离心率e＝＝，故＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，选A.
6. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，抛物线y＝x2＋1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )
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A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
答案 D
解析 由对称性，取一条渐近线y＝x即可，把y＝x代入y＝x2＋1，得x2－x＋1＝0，由题意得Δ＝－4××1＝0，即a2＝4b2，又c＝，∴c2＝a2＋b2＝5b2＝5，∴b2＝1，a2＝4，选D.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上情况都有可能
答案 B
解析 设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，若P在双曲线左支，如图所示，则|O2O1|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a＝r1＋r2，即圆心距为半径之和，两圆外切，若P在双曲线右支，同理求得|O2O1|＝r1－r2，故此时，两圆相内切，综上，两圆相切，故选B.
8．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意可知a＝b＝，∴c＝2.
∵|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝4.
由余弦定理得cos∠F1PF2＝
＝＝，故选C.
9．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 B．8
C．24 D．48
答案 C
解析 双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，
∴|PF2|＝6，|PF1|＝8.
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴PF1⊥PF2，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24，故选C.
10．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝x对称，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．2
答案 B
解析 由题意可知渐近线为PF2的中垂线，设M为PF2的中点，所以OM⊥PF2.tan∠MOF2＝＝，因为OF2＝c，所以MF2＝b，OM＝a.因此PF2＝2b，PF1＝2a，又因为PF2－PF1＝2a，所以b＝2a，则c2＝a2＋b2＝5a2，即c＝a，故e＝＝.
11．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为________．
答案
解析 双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：＝×2c，所以c＝2b，a＝＝b，所以e＝＝＝.
12．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若||是||和||的等比中项，则该双曲线的离心率为________．
答案
解析 由题意可知||2＝||×||，即2＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，又c2＝a2＋b2，则a2＝b2，所以e＝＝＝＝.
能力组
13.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( )
A. B．1＋
C．2 D．2＋
答案 B
解析 抛物线的焦点为F，且c＝，所以p＝2c.根据对称性可知公共弦AB⊥x轴，且AB的方程为x＝，当x＝时，yA＝p，所以A.又因为双曲线左焦点F1的坐标为，所以|AF1|＝＝p，又|AF|＝p，所以p－p＝2a，即(－1)×2c＝2a，所以＝＝＋1，选B.
14．焦点为(0,6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又焦点在y轴上，所以λ＝－12，选B.
或利用排除法：因为焦点为(0,6)，故排除A、D，又－y2＝1的渐近线为y＝±x，故选B.
15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是( )
A．|OA|>|OB|
B．|OA|<|OB|
C．|OA|＝|OB|
D．|OA|与|OB|大小关系不确定
答案 C
解析 如图，由于点Q为三角形PF1F2内切圆的圆心，故过点F2作PQ的垂线并延长交PF1于点N，易知垂足B为F2N的中点，连接OB，
则|OB|＝|F1N|＝(|F1P|－|F2P|)＝a，
又设内切圆与PF1，PF2分别切于G，H，
则由内切圆性质可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|，
故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a，
设|OA|＝x，则有x＋c－(c－x)＝2a，
解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故选C.
16. 已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．
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答案 y＝±x
解析 解法一：设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，代入方程得y0＝±，
∵PQ⊥x轴，∴|PQ|＝.
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝·.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)，
∵a>0，b>0，∴＝.
故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
解法二：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|.
由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a，
由已知易得|F1F2|＝|PF2|，
∴2c＝2a，∴c2＝3a2＝a2＋b2，∴2a2＝b2，∵a>0，b>0，∴＝，
故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
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