导数及其应用高考题(含答案).doc

导数及其应用高考题精选
1.（2010 ·海南高考·理科T3）曲线在点处的切线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.
2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
(A) 13万件 (B) 11万件
(C) 9万件 (D) 7万件
【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.
【思路点拨】利用导数求函数的最值.
【规范解答】选C，,令得或（舍去），当时；当时，故当时函数有极大值，也是最大值，故选C.
3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（ ）
（A） (B) (C) (D)
【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先求出曲线y=,y=的交点坐标，再利用定积分求面积.
【规范解答】选A,由题意得: 曲线y=,y=的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为,故选A.
4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
(A)[0,) (B) (D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。
【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。
【规范解答】选D.

5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）等于（ ）
A、 B、 C、 D、
【命题立意】考查积分的概念和基本运算.
【思路点拨】记住的原函数.
【规范解答】选D .=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.
【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________
【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x2(x>0)得，，
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
当时，解得，
所以.
【答案】21
7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____ ____。
【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为，然后用分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决.
【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为，
则：
方法一：利用导数的方法求最小值。
，

，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S的最小值是。
方法二：利用函数的方法求最小值
令，则：
故当时，S的最小值是。
【答案】
【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。
8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 ；

【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。
【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可
【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为
答案：
9．（2010 ·海南高考·理科T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数,…,和,…,,由此得到N个点（i=1,2,…,N）,在数出其中满足≤（（i=1,2,…,N））的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 .
【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.
【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.
【规范解答】由题意可知，所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足≤的点落在y=f(x)、以及、围成的区域内，由几何概型的计算公式可知的近似值为.
答案：
10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数()=In(1+)-+， (≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间。
【规范解答】（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为

即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故的单调递增区间是.
当时，，得，.
所以在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
【方法技巧】
（1）过的切线方程为。
（2）求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。
11.（2010·安徽高考文科·Ｔ20）设函数，，求函数的单调区间与极值。
【命题立意】
本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能
力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。
【思路点拨】
对函数求导，分析导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值。
【规范解答】

+

-
0
+

极大值

极小值

【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，
简单易行，具体操作流程如下：
（1）求导数；
（2）求方程的全部实根；
（3）列表，检查在方程的根左、右的值的符号；
（4）判断单调区间和极值。
12.（2010·北京高考文科·Ｔ１8） 设定函数，，且方程的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。
【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。
【思路点拨】(1)由的两个根及过原点，列出三个方程可解出；（2）是开口向上的二次函数，无极值点，则恒成立。
【规范解答】由 得
因为的两个根分别为1,4，所以 （*）
（Ⅰ）当时，（*）式为
解得
又因为曲线过原点，所以
故
（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。
由（*）式得。
又
解 得
即的取值范围
【方法技巧】（1）当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点
（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。恒大于0，则；恒小于0，则；
13.（2010·安徽高考理科·Ｔ17）设为实数，函数。
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，。
【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。
【思路点拨】
(1)先分析的导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值；
(2) 设，把问题转化为：求证：当且时，。
【规范解答】（1），
令，得，

极小值

在上单调递减，在上单调递增；
当时，取得极小值为
（2）设，
由（1）问可知，恒成立，
当时，则0恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，
即当且时，。
【方法技巧】
1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；
2、证明函数不等式问题，如证，通常令，转化为证明：。
14.（2010·天津高考文科·Ｔ20）已知函数f（x）=，其中a>0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。
【规范解答】
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X

0

f’(x)
+
0
-
f(x)

极大值

当等价于
解不等式组得-5<a<5.因此.

若a>2，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X

0

f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)

极大值

极小值

当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此2<a<5.
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0<a<5.