二阶常系数齐次线性微分方程电子教案.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五节 二阶常系数齐次线性微分方程,一、定义,二、,线性微分方程的解的结构,三、二阶常系数齐次线性方程的解法,四、,n,阶常系数齐次线性方程解法,五、小结,一、定义,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,其中,p、q,为常数,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,三、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入方程,得,故有,特征方程,特征根,特征根,有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,有一对共轭复根,由欧拉公式,重新组合,得齐次方程的通解为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,解,特征方程为,解得特征根,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得特征根,故所求通解为,例2,四、,n,阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,注意,n,次代数方程有,n,个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例3,五、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;,（2）求出特征根;,（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),练 习 题,练习题答案,