期中三角与向量专题复习(答案).doc

东厦中学2016-2017学年度第二学期高一数学 2017-
向量与解三角形专题
一、 选择题
．在△ABC中，已知a＝，b＝1，A＝130°，则此三角形解的情况为(　　)
A．无解　　　　　　 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定
答案　B

已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶，则此三角形的最大内角的度数是(　　)
A．60° B．90° C．120° D．135°
答案　C

若△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案　D

已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为(　　)
A．1<a<5 B．1<a<7 C.<a<5 D.<a<7
答案　C
．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ A ）
A． B． C． D．
4． 已知和均为单位向量,它们的夹角为60°,那么| + 3| =（ C ）
A． B． C． D．4
设，为不共线向量， ＝+2,＝－4－,＝－5－3,则下列关系式中正确的是 （ B ）
（A）＝ （B）＝2 （C）＝－（D）＝－2

设与是不共线的非零向量，且k＋与＋k共线，则k的值是（ C ）
（A） 1 （B） －1 （C） （D） 任意不为零的实数
9．已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为（ D ）
（A） （－14，16）（B） （22，－11）（C） （6，1） （D） （2，4）

10．已知＝（1，2），＝（－2，3），且k+与－k垂直，则k＝（ A ）
（A） （B） （C） （D）
下面给出的关系式中正确的个数是（ C ）
① ②③④⑤
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

答题卷
班级 姓名 学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

二、填空题
已知向量，，，若用和表示，则=

如果向量与的夹角为θ，那么我们称×为向量与的“向量积”， ×是一个向量，它的长度| ×|=| |||sinθ，如果| |=4, ||=3, ·=-2，则| ×|=_____ 2
在△ABC中，已知·＝9，△ABC的面积S△ABC＝6，BC＝4，则△ABC的周长为________．

如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________．12

三、解答题

如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．

设我艇追上走私船所需最短时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知
(14t)2＝(10t)2＋122－2×12×10tcos 120°，
所以t＝2(t＝－舍去)．
故我艇追上走私船所需要的最短时间为2小时．

在△ABC中，C－A＝，sinB＝.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
解析　(1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，得2A＝－B,0<A<.
故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝.
(2)由(1)得cosA＝.
又由正弦定理，得＝，BC＝AC＝3.
所以S△ABC＝AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝3.

已知△ABC的面积是30，其内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且cosA＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
解析　由cosA＝，得sinA＝＝.
又∵bcsinA＝30，∴bc＝156.
(1)·＝bccosA＝156×＝144.
(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×(1－)＝25.
又∵a>0，∴a＝5.

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.
(1)求B；
(2)若A＝30°，b＝2，求a，c.
解析　(1)由题意结合正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝.
又B为三角形的内角，因此B＝45°.
(2)a= b=

在△ABC中，＝c2，sin Asin B＝，试判断△ABC的形状．

由＝c2⇒a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2⇒a3＋b3－c2(a＋b)＝0⇒(a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0.
因为a＋b＞0，所以a2＋b2－c2－ab＝0.①
由余弦定理①式可化为a2＋b2－(a2＋b2－2abcos C)－ab＝0，
得cos C＝.又0°＜C＜180°，得C＝60°.
由正弦定理＝＝，
得sin A＝，
sin B＝，所以sin Asin B＝
＝，所以＝1，即ab＝c2.
将ab＝c2代入①式得a2＋b2－2ab＝0，
即(a－b)2＝0，a＝b.所以△ABC是等边三角形．

向量与解三角形专题答案
1-12、BCDCBA CBCDAC 13、 14、2 15、 16、12
17、设我艇追上走私船所需最短时间为t小时，则BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知 (14t)2＝(10t)2＋122－2×12×10tcos 120°，所以t＝2(t＝－舍去)．
故我艇追上走私船所需要的最短时间为2小时．
18、(1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，得2A＝－B,0<A<.故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，sinA＝.
(2)由(1)得cosA＝.又由正弦定理，得＝，BC＝AC＝3.
所以S△ABC＝AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝3.
19、由cosA＝，得sinA＝＝.又∵bcsinA＝30，∴bc＝156.
(1)·＝bccosA＝156×＝144.
(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×(1－)＝25.又∵a>0，∴a＝5.
20、(1)由题意结合正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，
故cosB＝.又B为三角形的内角，因此B＝45°.
(2)a= c=
21、由＝c2⇒a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2⇒a3＋b3－c2(a＋b)＝0⇒(a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0.
因为a＋b＞0，所以a2＋b2－c2－ab＝0.①由余弦定理①式可化为a2＋b2－(a2＋b2－2abcos C)－ab＝0，
得cos C＝.又0°＜C＜180°，得C＝60°.
由正弦定理＝＝，得sin A＝，sin B＝，
所以sin Asin B＝＝，所以＝1，即ab＝c2.将ab＝c2代入①式得a2＋b2－2ab＝0，
即(a－b)2＝0，a＝b.所以△ABC是等边三角形
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