数值分析第五版答案(全).doc

第一章 绪论
1．设,的相对误差为，求的误差。
解：近似值的相对误差为
而的误差为
进而有
2．设的相对误差为2%，求的相对误差。
解：设，则函数的条件数为
又,
又
且为2

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,, , ,
解：是五位有效数字；
是二位有效数字；
是四位有效数字；
是五位有效数字；
是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .
其中均为第3题所给的数。
解：

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？
解：球体体积为
则何种函数的条件数为

又%1
故度量半径R时允许的相对误差限为εrV*=13*1%=1300

6．设，按递推公式 （n=1,2,…）
计算到。若取（5位有效数字），试问计算将有多大误差？
解：

……

依次代入后，有
即，
若取,

的误差限为。
7．求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字（）。
解：，
故方程的根应为
故
具有5位有效数字

具有5位有效数字
8．当N充分大时，怎样求？
解
设。
则

9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过？
解：正方形的面积函数为
.
当时，若,
则
故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过
10．设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：

当增加时，的绝对误差增加

当增加时，保持不变，则的相对误差减少。
11．序列满足递推关系 (n=1,2,…),
若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
解：

又

又

计算到时误差为，这个计算过程不稳定。
12．计算，取，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
, , ， 。
解：设，
若，，则。
若通过计算y值，则

若通过计算y值，则

若通过计算y值，则

通过计算后得到的结果最好。
13．,求的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。
计算，求对数时误差有多大？
解
,
设
则

故

若改用等价公式

则
此时，

第二章 插值法
1．当时，,求的二次插值多项式。
解：

则二次拉格朗日插值多项式为

2．给出的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：由表格知，

若采用线性插值法计算即，
则

若采用二次插值法计算时，

3．给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。
解：求解近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
当时，
令
取
令
则
当时，线性插值多项式为

插值余项为

又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且，故计算中有误差传播过程。

总误差界为

4．设为互异节点，求证：
（1）
（2）
证明
（1） 令
若插值节点为，则函数的次插值多项式为。
插值余项为
又

由上题结论可知

得证。
5设且求证：

解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为

=

插值余项为

6．在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？
解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为

设步长为h，即

若截断误差不超过，则

7．若，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

8．如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（为正整数）。
解：函数的展式为

其中
又是次数为的多项式

为阶多项式

为阶多项式
依此过程递推，得是次多项式
是常数
当为正整数时，

9．证明
证明

得证
10．证明
证明：由上题结论可知

得证。
11．证明
证明

得证。
12．若有个不同实根，
证明：
证明：有个不同实根
且

令
则
而

令

则
又

得证。
13．证明阶均差有下列性质：
（1）若，则
（2）若，则
证明：
（1）

得证。

+

得证。
14．求及。
解：
若
则

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

解：
若，且插值多项式满足条件

插值余项为
由插值条件可知
且
可写成
其中是关于的待定函数，
现把看成上的一个固定点，作函数

根据余项性质，有

由罗尔定理可知，存在和，使

即在上有四个互异零点。
根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，
故在内至少有三个互异零点，
依此类推，在内至少有一个零点。
记为使

又

其中依赖于

分段三次埃尔米特插值时，若节点为，设步长为，即
在小区间上

16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

设
其中，A为待定常数

从而
17．设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点处的与值，并估计误差。
解：
若
则步长

在小区间上，分段线性插值函数为

各节点间中点处的与的值为
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
误差

又

令
得的驻点为和

18．求在上分段线性插值函数，并估计误差。
解：
在区间上，

函数在小区间上分段线性插值函数为

误差为

19．求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。
解：
在区间上，
令

函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为

误差为

又

20．给定数据表如下：
Xj
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
Yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280

试求三次样条插值，并满足条件：

解：

由此得矩阵形式的方程组为
2 1 M0
2 M1
2 M2
2 M3
1 2 M4

求解此方程组得

三次样条表达式为

将代入得

由此得矩阵开工的方程组为

求解此方程组，得

又三次样条表达式为

将代入得
21．若是三次样条函数，证明：

若，式中为插值节点，且，则

证明：

从而有

第三章 函数逼近与曲线拟合
1． ，给出上的伯恩斯坦多项式及。
解：

伯恩斯坦多项式为

其中
当时，

当时，

2． 当时，求证
证明：
若，则

3．证明函数线性无关
证明：
若
分别取，对上式两端在上作带权的内积，得

此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，
只有零解a=0。
函数线性无关。
4。计算下列函数关于的与：

m与n为正整数，

解：
若，则

在内单调递增

若，则

若m与n为正整数
当时,

当时,
在内单调递减
当时,
在内单调递减。

若
当时，

在内单调递减。

5。证明
证明：

6。对，定义

问它们是否构成内积。
解：
令（C为常数，且）
则
而
这与当且仅当时，矛盾
不能构成上的内积。
若，则

,则

若，则
,且

即当且仅当时，.
故可以构成上的内积。
7。令，试证是在上带权的正交多项式，并求。
解：
若，则

令，则，且，故

又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且

是在上带权的正交多项式。
又

8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式
解：
若，则区间上内积为

定义，则

其中

9。试证明由教材式给出的第二类切比雪夫多项式族是上带权的正交多项式。
证明：
若
令，可得

当时，

当时，

又，故

得证。
10。证明切比雪夫多项式满足微分方程

证明：
切比雪夫多项式为

从而有

得证。
11。假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式？
解：
在闭区间上连续
存在，使

取
则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。
由切比雪夫定理知
P为的零次最佳一致逼近多项式。
12。选取常数，使达到极小，又问这个解是否唯一？
解：
令
则在上为奇函数

又的最高次项系数为1，且为3次多项式。
与0的偏差最小。

从而有
13。求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。
解：

于是得的最佳一次逼近多项式为

即

误差限为

14。求在上的最佳一次逼近多项式。
解：

于是得的最佳一次逼近多项式为

15。求在区间上的三次最佳一致逼近多项式。
解：

令，则
且

令，则
若为区间上的最佳三次逼近多项式应满足

当
时，多项式与零偏差最小，故

进而，的三次最佳一致逼近多项式为，则的三次最佳一致逼近多项式为

16。，在上求关于的最佳平方逼近多项式。
解：

若
且，则

则法方程组为

解得

故关于的最佳平方逼近多项式为

17。求函数在指定区间上对于的最佳逼近多项式：

解：

若
且，则有

则法方程组为

从而解得

故关于的最佳平方逼近多项式为

若
且，则有

则法方程组为

从而解得

故关于的最佳平方逼近多项式为

若
且，则有

则法方程组为

从而解得

故关于的最佳平方逼近多项式为

若
且则有

则法方程组为

从而解得

故关于最佳平方逼近多项式为

18。，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
解：

按勒让德多项式展开

则

从而的三次最佳平方逼近多项式为

19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
时间t(s)
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(m)
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程

令
则

则法方程组为

从而解得

故物体运动方程为

20。已知实验数据如下：

19
25
31
38
44

19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方误差。
解：
若，则

则

则法方程组为

从而解得

故
均方误差为
21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：
时间
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
浓度
0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
用最小二乘法求。
解：
观察所给数据的特点，采用方程

两边同时取对数，则

取
则

则法方程组为

从而解得

因此

22。给出一张记录用FFT算法求的离散谱。
解：

则

0 1 2 3 4 5 6 7
4 3 2 1 0 1 2 3
4 4 4 4 0 4
8 4 0 4 8 0
16 0 0 0

23，用辗转相除法将化为连分式。
解

24。求在处的阶帕德逼近。
解：
由在处的泰勒展开为

得

从而

即

从而解得

又
则

故

25。求在处的阶帕德逼近。
解：
由在处的泰勒展开为

得

从而

即

解得

又
则

故

第四章 数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若
令，则

令，则

令，则

从而解得

令，则

故成立。
令，则

故此时，

故
具有3次代数精度。
（2）若
令，则

令，则

令，则

从而解得

令，则

故成立。
令，则

故此时，

因此，

具有3次代数精度。
（3）若
令，则

令，则

令，则

从而解得
或
令，则

故不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
（4）若
令，则

令，则

令，则

故有

令，则

令，则

故此时，

因此，
具有3次代数精度。
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

解：

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。
证明：
柯特斯公式为

令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。
4。用辛普森公式求积分并估计误差。
解：
辛普森公式为

此时，

从而有

误差为

5。推导下列三种矩形求积公式：

证明：

两边同时在上积分，得

即

两边同时在上积分，得

即

两连边同时在上积分，得

即

6。若用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不超过？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间应分多少等分？
解：
采用复化梯形公式时，余项为

又
故

若，则

当对区间进行等分时，

故有

因此，将区间213等分时可以满足误差要求
采用复化辛普森公式时，余项为

又

若，则

当对区间进行等分时

故有

因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。
解：采用梯形公式计算积分时，余项为

又且

又

即计算值比准确值大。
其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。
8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过.

解：

0
0.7717433

1
0.7280699
0.7135121

2
0.7169828
0.7132870
0.7132720

3
0.7142002
0.7132726
0.7132717
0.7132717
因此

0
3.451313

1
8.628283
-4.446923
因此

0
14.2302495

1
11.1713699
10.1517434

2
10.4437969
10.2012725
10.2045744

3
10.2663672
10.2072240
10.2076207
10.2076691

4
10.2222702
10.2075712
10.2075943
10.2075939
10.2075936

5
10.2112607
10.2075909
10.2075922
10.2075922
10.2075922
10.2075922
因此
9。用的高斯-勒让德公式计算积分

解：

令，则
用的高斯—勒让德公式计算积分

用的高斯—勒让德公式计算积分

10 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是

这是是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则

我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。
解：

从而有。

0
1.564640

1
1.564646
1.564648

2
1.564646
1.564646
1.564646

即人造卫星轨道的周长为48708km
11。证明等式

试依据的值，用外推算法求的近似值。
解
若
又
此函数的泰勒展式为

当时,
当时,
当时,
由外推法可得
n

3
2.598076

6
3.000000
3.133975

9
3.105829
3.141105
3.141580

故
12。用下列方法计算积分，并比较结果。
(1)龙贝格方法；
(2)三点及五点高斯公式；
(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。
解

(1)采用龙贝格方法可得
k

0
1.333333

1
1.166667
1.099259

2
1.116667
1.100000
1.099259

3
1.103211
1.098726
1.098641
1.098613

4
1.099768
1.098620
1.098613
1.098613
1.098613

故有
(2)采用高斯公式时

此时
令则

利用三点高斯公式，则

利用五点高斯公式，则

(3)采用复化两点高斯公式
将区间四等分，得

作变换，则

作变换，则

作变换，则

作变换，则

因此，有

13.用三点公式和积分公式求在，和1.2处的导数值，并估计误差。的值由下表给出：
x
1.0 1.1 1.2
F(x)
0.2500 0.2268 0.2066
解：

由带余项的三点求导公式可知

又

又

又

故误差分别为

利用数值积分求导，
设

由梯形求积公式得

从而有

故

又
且
从而有

故
即

解方程组可得

第5章 数值分析课后习题全解
第5章：解线性方程组的直接方法

1． 证明：由消元公式及A的对称性得

故对称
2．证明：（1）因A对称正定，故

其中=（0,…,0,1,0,...,0）为第i个单位向量.
(2)由A的对称性及消元公式得
=-=
-=，I,j=2,…,n
故也对称.
又 =
其中
显然非其异,从而对任意的x0,有
X0,(x,AX)=(x, AX)>0 (由A的正定性)
故正定.
又=,而>0,故正定.
3.证明 由矩阵乘法简单运算即得证.
4.解 设有分解
=
由公式

其中,,分别是系数矩阵的主对角线元素及下边和上边的次对角线元
素.故有

从而有
=
故 = =, ==
=, =
故=1,=,=,=
5. 解 (1)设U为上三角阵
=
因=，故=.
因 +=,故
=,i=n-1,n-2,,1
当U为下三角阵时
=
得,=, =,i=2,3,…,n.
(2)除法次数为n,乘法次数为
1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
故总的乘法次数为n+n(n-1)/2=n(n+1)/2.
(3)设U为上三角阵,=S,侧S也是上三角阵.由
=
得 , i=1,2,…,n
=-,j=i+1,i+2,…,n; i=n-1,n-2,…,1
当U为下三角阵时,由
=
得 ,i=1,2,…,n
=,i=2,3,…,n;j=1,2,…,i-1
6. 证明 (1)因A是对称正定阵,故存在唯一的分解A=L,其中L是具有正对
角元素的下三角阵.从而
=(L)=()L=(L) L
(A)===
故是对称矩阵.
又非奇异,故对任意的 x0,有x0,故
X==>0
故是对称正定矩阵,即也对称正定.
(2)由A对称正盯,故A的所有顺序主子式均不为零,从而A有唯一的
Doolittle分解A=U.又
U==D
其中D为对三角阵, 为单位上三角阵,于是
A=U=D
又 A==D
由分解的唯一性即得
=
从而有 A=D
又由A的对称正定性知
=>0, =>0 (i=2,3,…,n)
故 D==
=
故A=D==()()=LL
其中L=为三角元为正的下三角矩阵.
7. 解[A|I]=->
->
->
->
->
==

8． 解 设有分解
=

由公式

其中，，分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元
素，则有
， ， ， ，
， ， ，
由

得=，，，，
由

得=，=，=，=，=
9．解 设
=
由矩阵乘法得
=2， ，
，

由

得 ，，
由

得
故==2.555 555 6，=0.777 777 8，==1.111 111 1
10． 解 A中=0，故不能分解。但det(A)=-100,故若将A中第一行
与第三行交换，则可以分解，且分解唯一。
B中，==0，但它仍可以分解为
B=
其中为一任意常数，且U奇异，故分解且分解不唯一，
对C，0，i=1,2,3,故C可分解且分解唯一。
C=
11． 解

=0.842 615 0
=
=0.685 340 7
故 =0.827 853 1
12．证明 （1）有定义知

故
（2）由范数定义，有

=

故
13． 证明 （1）因P非奇异，故对任意的x0，有0，故，
当且仅当x=0时，有成立。
（2对任意，有

（3）

故是上的一种向量范数。
14．证明（1）因A正定对称，故当x=0时，=0，而当x0时，
=。
（2）对任意实数c，有

（3）因A正定，故有分解A=L，则

故对任意向量x和y，总有

综上所知，是一种向量范数。
15．证明 因为

由向量范数的等价性知，存在常数>0,使对任意x,有

故
令,则有

即
16. 证明
故
17． 证明 设，则

又

故

从而当时，即时，有最小值，且
min=7
18. 解

故 =
=39 205.9745
19．证明 因A正交，故，从而有

故 =1
20．证明

21．证明（1）
故为对称矩阵。
又A非奇异，故对任意向量，有，从而有

即为对称正定矩阵。
（2）

第六章课后习题解答

K

0
0
0
0
1
-2.6000000
3.5650000
1.8005500
2
-4.0274990
3.1400652
2.0228224
3
-4.0572814
2.9908481
2.0101219
4
-4.0042554
2.9935725
2.0000427
5
-3.9981193
2.9997612
1.9996013
6
--3.9996542
3.0002334
1.9999609
7
-4.0000424
3.0000314
2.0000122
8
-4.0000177
2.9999937
2.0000027

第七章
1、用二分法求方程的正根,要求误差小于0.05.
解 设,故[1,2]为的有根区间.又,故当时,单增,当时单增.而,由单调性知的惟一正根.根据二分法的误差估计式(7.2)知要求误差小于0.05,只需,解得,故至少应二分6次.具体计算结果见表7-7.
表7-7

0
1
2
3
4
5
1
1.5
1.5
1.5
1.5625
1.59375
2
2
1.75
1.625
1.625
1.625
1.5
1.75
1.625
1.5625
1.59375
1.609375
-
+
+
-
-
-
-
即.
2、为求在附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
(1),迭代公式;
(2),迭代公式;
(3),迭代公式.
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.
解 取的邻域[1.3,1.6]来考察.
(1)当时,,故迭代公式在上整体收敛.
(2)当时

故在[1.3,1.6]上整体收敛.
(3)故发散.
由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需

即

取计算结果见表7-8.
表7-8

1
2
3
1.481248034
1.472705730
1.468817314
4
5
6
1.467047973
1.466243010
1.465876820
由于,故可取.
3、比较求的根到三位小数所需的计算量:
(1)在区间[0,1]内用二分法;
(2)用迭代法,取初值.
解 (1)因,故,用二分法计算结果见表7-9.
表7-9

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0
0
0
0
0.0625
0.0625
0.0778125
0.0859375
0.08984375
0.08984375
0.08984375
0.090332031
0.090332031
0.090454101
0.090515136
1
0.5
0.25
0.125
0.125
0.09375
0.09375
0.09375
0.09375
0.091796875
0.090820312
0.090820312
0.090576171
0.090576171
0.090576171
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.09375
0.078125
0.0859375
0.08984375
0.091796875
0.090820312
0.090332031
0.090576171
0.090454101
0.090515136
0.090545653
+
+
+
-
+
-
-
-
+
+
-
+
-
-
+
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.0078125
0.00390625
0.001953125
0.000976562
0.000488281
0.00024414
0.00012207
0.000061035
0.000030517

此时具有三位有效数字.
(2)当时,,故迭代试在[0,0.5]上整体收敛.取,迭代计算结果如表7-10所示.
表7-10