数值分析部分课后答案第二版.doc

<p>数值分析第二版 朱晓临
第一章 习题
3.
324.045≈324.0
60.0876≈60.09
0.00035167≈0.0003517
2.00043≈2.000
6.
&nbsp; ①≤（1≤≤9）
&nbsp; &nbsp; &nbsp;故它的相对误差限为0.005%

②∵＜ &nbsp;
相对误差限＝0.03%
&nbsp; &nbsp; &nbsp;∴至少有3位有效数字。
7.

&nbsp; 时，
&nbsp; ⑴
&nbsp; ⑵
⑶
⑷
所以利用第三个得到的计算结果的绝对误差最小。
8.
&nbsp; 由函数的绝对误差公式： &nbsp; &nbsp; ①
令cm
由题目得，， &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;②
把②代入①，得：
&nbsp; &nbsp;1
&nbsp; &nbsp;1
&nbsp; &nbsp;
边长的测量误差不超过0.005cm时，才能使其面积的误差不超过1。
11.

&nbsp; &nbsp;，得：
&nbsp; &nbsp;
&nbsp;又，
由此可知，

所以的相对误差限为，有位有效数字。
14.
&nbsp;
第3章 习题
1.解：

0
1.00000000
2.00000000
1.50000000
+
1
1.00000000
1.50000000
1.25000000
-
2
1.25000000
1.50000000
1.37500000
+
3
1.25000000
1.37500000
1.31250000
-
4
1.31250000
137500000
1.34375000
-
5
1.34375000
1.37500000
1.35937500
-
6
1.35937500
1.37500000
1.36718750
+
7
1.35937500
1.36718750
1.36328125
-

10.解：

13.解：
原方程变形为：
此时迭代函数为：
以该迭代公式形成的Steffensen迭代公式为：

依次类推可得满足的根：
16.解
令
Newton迭代公式为：

由本章例14.4.4（1）知，此迭代公式收敛。

17.解：

相应的Newton迭代公式为：

23.解：有些不同
设
所以弦截法迭代公式为：

29.解：
将方程组写成等价形式：

由此构造不动点迭代公式：
&nbsp; &nbsp;（2）。

k
0
1
2
3
4
…

0
0.50000000
0.52700617
0.53194494
0.53276252
…

0
0.33333333
0.35648148
0.35844274
0.35908070
…
由表可知，此迭代公式收敛。
30.解：

第5章 习题
4.证明：
Hermite多项式为
由
（1）
（2）
（3）
综合（1）（2）（3）得：
由此得证。

9.解：
三次Chebyshev多项式
在区间上[-1,1]上当时轮流取得最大值1和最小值-1，因为
&nbsp;
所以，就是的交错点组。由Chebyshev定理知：

为函数在区间[-1,1]上的一次最佳一致逼近多项式。

12.解：
令，则，

由Chebyshev级数的系数公式有：
&nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（1）
所以
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(2) &nbsp;
综合（1）（2），得：

13.解：
将在x=0进行Taylor展开：
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（1）

于是， &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（2）

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （3）
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （4）

&nbsp; &nbsp;（5）
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(6)
整理（6）得f(x)近似最佳一致逼近多项式：
&nbsp;
结合（1）（3）（5）得：

进而利用式（2）（4）（6）得误差估计：
&nbsp; &nbsp;

第6章 习题
6.解类似 ：
由复化梯形公式知，存在使得

5.解：
（1）
用Romberg算法将结果进行加速，

由复化Simpson公式，得：

由复化Cotes公式，得：

最后由，得：

以上所得结果列于下表：

0
1.33333

1
1.16667
1.11111

2
1.11667
1.10000
1.09926

3
1.10321
1.09873
1.09864
1.09963
与的值比，的值更接近准确值。因此，Simpson算法外推加速的效果十分明显。
（2）
将则4等份为，即

用两点Guass公式：在上，

反复如此，可求得
最后，

6.解：
用两点Gauss公式，由教材表7.7.1得，

用三点Gauss公式，由教材表7.7.1得

7.解：
设。对两点Guss-Chebyshev求积公式，有

因为两点Gauss-Chebyshev求积公式得代数精度是3，所以由
得，

对三点Guss-Chebyshev求积公式，有</p>