线性变换测验试题.doc

线 性 变 换 测 验 试 题

姓名________ 班级______ 学号_______ 成绩_____
1、设是数域上全体阶方阵组成的线性空间，是两个阶矩阵，定义上的变换AX=AXB, , 求证：
（1）A是上的线性变换。
（2）A是可逆变换的充分必要条件是都是可逆矩阵。
2、设A是数域上维线性空间上的线性变换，若存在中的个数使 ，
其中是表示恒等变换，假定，证明A是可逆的，并写出的表示式。
3、在实四维线性空间中，线性变换A在基下的矩阵为

求证：是A的不变子空间。
4、设A是数域上的维线性空间上的线性变换，是的子空间，且，若A, A, 证明：
A的秩A+A
其中AA.
5、设A是数域上的维线性空间上的线性变换，且A2=A，则必存在的子空间使，有A；又若A的秩，则必存在上的非零子空间，使得A，并且.
6、利用第5题的结论证明：设，，
并且秩(A)= 秩(B), 求证：必存在可逆矩阵，使
7、已知：相似，
（1）求的值；
（2）求一个满足的可逆矩阵；
（3）求的表示式（其中是正整数）。
8、设都是阶方阵，它们有相同的特征值，并且这个特征值互不相同，求证存在阶矩阵，使.
9、利用命题“若存在正整数，使矩阵满足，但，则必不能与对角矩阵相似。”来证明以下题目：
已知向量是两个非零向量，且，求矩阵的全部特征值，并说明是否能与一个对角矩阵相似。
10、设矩阵是阶方阵，试证明：
（1）若是的一个特征值，并且是一个多项式， 则是
的特征值；
（2）若满足：，则的特征值也必满足;
（3）若是矩阵满足，则在实数域上不能相似对角化。