数值分析每节课的教学重点、难点.doc

计算方法教案

新疆医科大学

数学教研室

张利萍

一、课程基本信息
1、课程英文名称：Numerical Analysis
2、课程类别：专业基础课程
3、课程学时：总学时54
4、学 分：4
5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》
二、课程的目的与任务：
计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
三、课程的基本要求：
1． 掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法
2． 掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理
3． 能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力
4． 了解科学计算的发展方向和应用前景
四、教学内容、要求及学时分配：
(一) 理论教学：
引论 （2学时）
第一讲（1-2节）
1．教学内容：
计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。
2．重点难点：
算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。
3．教学目标：
了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。

A 算法
B 误差
第二讲
典型例题

第二章 线性方程组的直接法（4学时）

第三讲

1．教学内容：
线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。

2．重点难点：
约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法

3．教学目标：
了解线性方程组的解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去的基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制相应的应用程序。

1、约当消去法
2、Gauss消去法
3、Gauss列主元素消去法
典型例题

第三讲

1．教学内容：
三对角方程组及其解的唯一性定理、追赶法的计算公式、追赶法的代数基础。
2．重点难点：
唯一性定理、追赶法的计算公式、追赶法的代数基础

3．教学目标：
了解追赶法的基本思想、掌握追赶法的计算公式，能运用追赶法对线性方程组进行求解。

1、三对角方程组
2、追赶法的计算公式
3、追赶法的代数基础

典型例题

第三章 插值方法

第一讲
1.教学内容：

代数插值多项式的存在唯一性；Lagrange插值及其误差估计。

2．重点难点：

Lagrange插值基函数、插值公式的构造、插值余项。

3．教学目标：

了解插值问题的背景及提法、代数插值多项式的存在唯一性；掌握Lagrange插值基函数及其构造法。

1． 问题的提出
2． 拉格朗日查值公式
3． 插值余项
典型例题

第二讲
教学内容：

差商、差分的概念与性质，Newton插值公式及其余项。

重点难点：

差商表、差分表，Newton插值公式的构造。

教学目标：

理解差商、差分的定义及其性质，掌握Newton插值公式及其余项。

4． 牛顿插值公式
5． 埃尔米特插值
典型例题

第三讲（7-8节）

1．教学内容：
曲线拟合的概念、直线拟合、多项式拟合、正则方程组。
2．重点难点：
拟合曲线的类型、正则方程组的建立、拟合多项式的求解。
3．教学目标：
了解曲线拟合的概念、对给出的一组数据点，能判断其拟合曲线的类型、建立相应的正则方程组、求得拟合多项式

6． 曲线拟合的最小二乘法
典型例题

第四章 数值积分与数值微分（6学时）

第五讲（9-10节）

1．教学内容：
代数精度的概念、插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分的误差估计。
2．重点难点：
代数精度的概念、插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分的误差估计。

3．教学目标：
了解代数精度的概念、掌握插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式；对给出的一组数据点，能正确使用插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式进行数值计算，并能够进行误差分析。

1． 机械求积
2． 牛顿—柯特斯公式
典型例题

第六讲（11-12节）

1．教学内容：
梯形法的递推化、龙贝格公式、龙贝格算法程序设计

2．重点难点：
龙贝格算法的思想、龙贝格算法加速的过程、龙贝格算法程序设计

3．教学目标：
了解梯形法的递推化的方法、掌握龙贝格算法的加速过程、能利用变步长的梯形法和龙贝格公式计算实际问题、编写龙贝格算法程序

3． 龙贝格算法
典型例题

第七讲（13-14节）

1．教学内容：
通过对高斯公式的定义的讲解，介绍什么是高斯公式、什么是高斯点、什么是高斯求积系数；然后对高斯点的基本特性进行分析分析，推导出节点是高斯点的充分必要条件，从而引导出几种求高斯点的方法及勒让德多项式。
从微分的定义出发，用差商引导出几个微分的数值方法；再对中心差商公式，介绍一种加速的方法；然后利用插值公式，推导出插值型的数值微分公式并进行误差估计。

2．重点难点：
高斯点的基本特性、正交多项式、高斯点的计算
3．教学目标：
理解高斯公式的定义、掌握高斯点的基本特性、能利用梯形法的递推化的方法、掌握龙贝格算法的加速过程、能利用勒让德多项式得出几个低阶的高斯公式并能利用高斯公式解决实际问题。了解差商公式及插值型求导公式，并能利用它们进行数值微分的计算。
4． 高斯公式
5． 数值微分
典型例题

第五章 常微分方程数值解（4学时）

第八讲（15-16节）

1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行微分方程数值求解

1． 欧拉法
2． 改进欧拉法
典型例题

第九讲（17-18节）

1．教学内容：
龙格-库塔方法：龙格-库塔方法的设计思想、二阶龙格-库塔方法、三阶龙格-库塔方法、四阶龙格-库塔方法、变步长的龙格-库塔方法；亚当姆斯方法：亚当姆斯格式、亚当姆斯预报-效正系统、误差分析。
2．重点难点：
龙格-库塔方法的设计思想；各阶龙格-库塔方法系数的确定。
3．教学目标：
理解龙格-库塔方法的设计思想，熟悉二阶龙格-库塔方法的推导，能利用龙格-库塔方法进行微分方程数值求解。了解亚当姆斯格式。

3． 龙格—库塔法
4． 亚当姆斯
典型例题

第六章 方程求根的迭代法（4学时）

第十讲（19-20节）

1．教学内容：
首先，简单介绍二分法；然后讲解迭代法的设计思想、通过对同一方程的不同迭代格式的计算结果的分析，推导出迭代收敛性定理及局部迭代迭代收敛性定理。然后对收敛速度进行分析。讲解迭代加速的方法，并介绍埃特金加速算法的程序设计。
2．重点难点：
牛顿迭代法及局部收敛性、迭代法及收敛性定理

3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解

1． 二分法
2． 迭代法的概念
典型例题

第十一讲（21-22节）

1．教学内容：
首先介绍牛顿迭代公式及其几何意义，分析其收敛速度；然后利用牛顿迭代公式推导出开方公式，并分析其收敛速度；讲解牛顿下山法的基本思想及下山因子的选取。最后介绍牛顿迭代法的程序设计。

2．重点难点：
牛顿迭代法及局部收敛性、牛顿下山法及下山因子的选取

3．教学目标：
掌握牛顿迭代法，能利用牛顿迭代法进行方程求根的数值计算。并能够编制相应的应用程序。

3． 牛顿法
典型例题

第七章 线性方程组的迭代法（2学时）

第十二讲（23-24节）

1．教学内容：
首先通过例子介绍解线性方程组的迭代法的基本思想；然后介绍雅可比迭代公式及其程序设计；介绍高斯-塞德尔迭代公式；超松驰迭代法及其程序设计；以及迭代公式的矩阵表示。

2．重点难点：
雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、超松驰迭代法

3．教学目标：
掌握三种迭代公式，能利用这三种迭代公式进行线性方程组的迭代求解，并编制相应的应用程序。

1． 雅可比迭代法
2． 高斯—塞德尔迭代法
3． 超松驰迭代法
典型例题

第十五讲（29-30节）

总复习

(二) 实验教学：

实验一、二　插值方法(4学时)
（1） 实验目的：
（1） 学会拉格朗日插值、牛顿插值等基本方法
（2） 设计出相应的算法，编制相应的函数子程序
（3） 会用这些函数解决实际问题
2．实验内容
（1）设计拉格朗日插值算法，编制并调试相应的函数子程序
（2）设计牛顿插值算法，编制并调试相应的函数子程序
（3）给定函数四个点的数据如下：
X
1.1
2.3
3.9
5.1
Y
3.887
4.276
4.651
2.117
试用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处的函数值。
（4）已知用牛顿插值公式求的近似值。
3．实验原理
写出本次实验所用算法的算法步骤叙述或画出算法程序框图
4．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4． 实验结果及分析
输出计算结果，CPU时间，结果分析和小结等。

实验三　数值微积分(2学时)
1．实验目的：
（1）学会复化梯形、复化辛浦生求积公式的应用
（2）学会数值微分方法的应用
（3）设计出相应的算法，编制相应的函数子程序
（4）会用这些函数解决实际问题

2．实验内容
（1）设计复化梯形公式求积算法，编制并调试相应的函数子程序
（2）设计复化辛浦生求积算法，编制并调试相应的函数子程序
（3）设计一种数值微分算法，编制并调试相应的函数子程序
（4）分别用复化梯形公式和复化辛浦生公式计算定积分

取n=2，4，8，16，精确解为0.9460831
3、 实验原理
写出本次实验所用算法的算法步骤叙述或画出算法程序框图
4．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
5． 实验结果及分析
输出计算结果，CPU时间，结果分析和小结等。

实验四　估计水塔的水流量(2学时)
1．实验目的：
（1）学会对实际问题的分析方法
（2）学会利用所学的知识解决实际问题
（3）设计出相应的算法，编制相应的应用程序

2．实验内容
某居民区，其自来水是有一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m，水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次。按照设计，当水塔中的水位降低至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水。当水位升至最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。
下表给出了某一天的测量记录，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，由3个时刻无法测量到水位（表中为—）。
时刻
0
0.921
1.843
2.949
3.871
4.978
5.900
水位
9.677
9.479
9.308
9.125
8.982
8.814.
8.686
时刻
7.006
7.928
8.967
9.981
10.925
10.945
12.032
水位
8.525
8.388
8.220
—
—
10.820
10.500
时刻
12.954
13.875
14.982
15.903
16.826
17.931
19.037
水位
10.210
9.936
9.653
9.409
9.180
8.921
8.662
时刻
19.959
20.839
22.015
22.958
23.880
24.986
25.908
水位
8.433
8.220
—
10.820
10.591
10.354
10.180
试建立数学模型，计算居民的用水速度和日总用水量。
3、 实验原理
写出本次实验所用算法的算法步骤叙述或画出算法程序框图
4．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
6． 实验结果及分析
输出计算结果，CPU时间，结果分析和小结等。

实验五　常微分方程的数值解法(2学时)
1．实验目的：
（1）学会显式欧拉公式的使用
（2）学会二阶龙格-库塔方法的使用
（3）设计出相应的算法，编制相应的函数子程序
（4）会用这些函数解决实际问题

2．实验内容
（1）分别取h=0.05，N=10；h=0.025，N=20；h=0.01，N=50，用显式欧拉方法求解微分方程初值 问题：y’=-50y，y(0)=10
（2）某跳伞者在t=0时刻从飞机上跳出，假设初始时刻的垂直速度为0，且跳伞者垂直下落。已知空气阻力为F=cv2，其中c为常数，v为垂直速度，向下方方向为正。写出此跳伞者的速度满足的微分方程；若此跳伞者的质量为M=70kg，且已知c=0.27kg/m，利用二阶龙格-库塔公式计算t<=20s的速度（取h=0.1s）
3、 实验原理
写出本次实验所用算法的算法步骤叙述或画出算法程序框图
4．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4、 实验结果及分析
输出计算结果，CPU时间，结果分析和小结等。

实验六　线性方程组的数值解法(2学时)
1．实验目的：
（1）熟悉用高斯消去法求解线性方程组的过程
（2）熟悉用超松弛迭代法求解线性方程组的过程
（3）设计出相应的算法，编制相应的函数子程序

2．实验内容
分别用高斯消去法求、超松弛迭代法求解线性方程组

3、 实验原理
写出本次实验所用算法的算法步骤叙述或画出算法程序框图
4．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
5、 实验结果及分析
输出计算结果，CPU时间，结果分析和小结等。

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